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Vidéo de la leçon : Point d’intersection de deux droites dans le repère cartésien Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le point d’intersection entre deux droites avec un système de coordonnées et utiliser ce concept pour trouver des équations de droites.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le point d’intersection de deux droites dans le plan de coordonnées et utiliser ce concept pour trouver des équations de droites. Commençons par expliquer ce que l’on entend par point d’intersection. On parle d’intersection de deux droites pour désigner le seul point où ces droites se rencontrent ou se croisent. Ainsi, on peut par exemple avoir ce segment AB et un autre segment 𝑃𝑄. On peut alors appeler 𝐹 le point où ces deux segments de droite se croisent. Par conséquent, le point 𝐹 est l’intersection du segment AB et du segment 𝑃𝑄. Ainsi, quand il s’agit de trouver l’intersection de deux droites dans un plan de coordonnées, le même principe s’applique toujours. On cherche à trouver le point où les deux lignes se rencontrent ou se croisent.

On nous donnera généralement les équations de deux droites. Ainsi, le point d’intersection peut être donné sous forme de paire de nombres ou coordonnées. On peut trouver cette paire ordonnée graphiquement ou algébriquement en résolvant pour trouver les valeurs 𝑥 et 𝑦. Notons que puisqu’on a généralement deux équations à deux inconnues 𝑥 et 𝑦, nous devrons souvent résoudre simultanément ou en utilisant une méthode de substitution. Nous allons examiner différentes méthodes de résolution algébrique. Mais voyons la première question où nous utilisons une méthode graphique.

En quel point les droites 𝑥 égale à sept et un sixième de 𝑦 égal à moins un se croisent-elles ?

Dans cette question, on a les équations de deux droites et on nous demande où ces deux droites se croisent, ce qui correspond au point d’intersection de ces droites. Il peut être utile de commencer par visualiser à quoi ressemblent ces deux droites dans le repère de coordonnées. La droite 𝑥 égal à sept correspond à tous les points ayant une valeur 𝑥 de sept. Il s’agit d’une droite verticale qui passe par sept sur l’axe des 𝑥. Pour la deuxième équation d’un sixième de 𝑦 égal moins un, il est plus facile de visualiser si l’on isole 𝑦. Réarranger en multipliant par six nous donne l’équation 𝑦 égal moins six.

Ainsi, l’équation de la droite 𝑦 égal à moins six ou un sixième de 𝑦 égal à moins un est une droite horizontale passant par moins six sur l’axe des 𝑦. Le point d’intersection a alors comme coordonnées le couple de valeurs pour lesquelles ces deux droites se croisent. On peut donc donner comme réponse les coordonnées sept, moins six. Habituellement, lorsque l’on cherche l’intersection de deux points, on peut identifier les équations entre elles. Mais comme nous avions ici une droite horizontale et une droite verticale, les seuls points où ces deux droites ont les mêmes valeurs 𝑥 et 𝑦 sont lorsque 𝑥 est égal à sept et 𝑦 est égal à moins six, ce qui nous donne les coordonnées sept, moins six.

Dans les prochaines questions, nous utiliserons une méthode algébrique pour trouver l’intersection de deux droites.

Déterminer le point d’intersection des deux droites représentées par les équations 𝑥 plus trois 𝑦 moins deux égal à zéro et moins 𝑦 plus un égal à zéro.

Disons que pour répondre à cette question, nous n’allons pas tracer ces droites afin d’obtenir une solution graphique. Au lieu de cela, nous allons les résoudre algébriquement. Au point d’intersection, l’endroit où les deux droites se rencontrent ou se croisent, les valeurs 𝑥 et 𝑦 seront les mêmes sur l’une et l’autre droite. Comme on a deux équations à deux inconnues 𝑥 et 𝑦, nous allons devoir résoudre ce problème simultanément ou en utilisant une méthode de substitution. Cependant, dans notre deuxième équation, nous n’avons pas explicitement une valeur de 𝑥. Alors peut-être, une méthode de substitution ici est plus facile. Si nous prenons notre deuxième équation de moins 𝑦 plus un égal à zéro et réorganisons cela pour isoler 𝑦, alors en ajoutant 𝑦 des deux côtés, nous obtenons un égal à 𝑦 ou 𝑦 égal à un.

Maintenant que l’on a établi que 𝑦 est égal à un, on peut le remplacer dans la première équation. Cela nous donne 𝑥 plus trois fois un moins deux égal à zéro. En évaluant cela, on a 𝑥 plus un égal à zéro. En soustrayant un, on a 𝑥 est égal à moins un. Maintenant, on sait qu’au point d’intersection de ces deux équations, la valeur de 𝑥 est moins un et la valeur de 𝑦 est un, ce qui signifie que l’on peut donner comme réponse les coordonnées moins un, un.

Dans la question suivante, nous trouverons l’équation d’une droite passant par un point et par le point d’intersection de deux autres droites.

Quelle est l’équation de la droite passant par 𝐴 moins un, trois et par l’intersection des droites trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq égal à zéro et cinq 𝑥 plus deux 𝑦 plus trois égal à zéro ?

Dans cette question, on cherche à trouver deux points. On nous donne le point 𝐴 de coordonnées moins un, trois, puis nous trouverons un autre point qui est l’intersection de ces deux droites. Donc, la première étape ici est de trouver l’intersection de ces droites. Au point d’intersection de deux droites, les valeurs 𝑥 et 𝑦 sont les mêmes. Vous remarquerez peut-être qu’on a deux inconnues à trouver, 𝑥 et 𝑦. Mais on a deux équations différentes pour nous aider trouver la solution. Une façon de faire est de résoudre ces deux équations simultanément. Il est utile de numéroter nos équations, l’équation une et l’équation deux. Et puis nous devons décider quelle inconnue éliminer entre 𝑥 et 𝑦.

Afin d’éliminer l’inconnue 𝑥 ou 𝑦, leur facteur doivent être les mêmes en valeur absolue dans les deux équations. Donc, si l’on choisit d’éliminer la valeur 𝑦, alors on doit multiplier toute l’équation un par deux, ce qui nous donne six 𝑥 moins deux 𝑦 plus 10 égal à zéro. On peut alors mettre la deuxième équation en dessous. Afin d’éliminer les deux 𝑦, puisqu’on a moins deux 𝑦 et plus deux 𝑦, on ajoute les deux équations. Six 𝑥 plus cinq 𝑥 donne 11𝑥. Moins deux 𝑦 plus deux 𝑦 donne bien zéro, comme attendu. 10 plus trois donne 13. Et sur le côté droit, on a zéro. Maintenant qu’on a 11𝑥 plus 13 égal à zéro, on peut réorganiser cela pour trouver la valeur de 𝑥. En soustrayant 13 des deux côtés, puis en divisant par 11, on obtient 𝑥 égal moins 13 sur 11.

Maintenant qu’on a trouvé la valeur de 𝑥, on peut la placer dans l’une ou l’autre des équations pour trouver la valeur de 𝑦. Choisir la première équation nous donne trois multiplié par moins 13 sur 11 moins 𝑦 plus cinq égal zéro. La simplification de la première valeur donne moins 39 sur 11, puis on peut ajouter cinq. En écrivant cinq comme cinquante-cinq onzièmes, on a l’équation seize onzièmes moins 𝑦 égal zéro. Ajouter 𝑦 des deux côtés nous donne seize onzièmes égal 𝑦 ou 𝑦 égal seize onzièmes. Maintenant qu’on a trouvé les valeurs de 𝑥 et 𝑦, cela signifie qu’on sait que le point d’intersection de nos deux droites a pour coordonnées moins treize onzièmes, seize onzièmes.

Ensuite, nous devons trouver l’équation de la droite qui relie ce point au point 𝐴 moins un, trois. Commençons par trouver la pente de cette droite. La pente ou la valeur 𝑚 pour deux points quelconques 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est donnée par 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. On est libre de choisir le point dont les coordonnées sont 𝑥 un, 𝑦 un. Prenons donc ces valeurs comme coordonnées du point 𝐴. Cela nous donne que la pente, ou 𝑚, est égal à seize onzièmes moins trois sur moins treize onzièmes moins moins un. En simplifiant le numérateur, seize onzièmes moins trente-trois onzièmes donne moins dix-sept onzièmes. Au dénominateur, on a moins treize onzièmes plus un, et un est égal à onze onzièmes. On a donc un dénominateur de moins deux onzièmes.

Avant de simplifier davantage, on peut éliminer le signe moins du numérateur et du dénominateur. On peut alors reconnaître que dix-sept onzième sur deux onzième équivaut à dix-sept onzième divisé par deux onzième. Lorsque nous divisons des fractions, cela équivaut à multiplier par l’inverse de la deuxième fraction. En retirant le facteur commun 11 du numérateur et du dénominateur avant de multiplier, on obtient alors la réponse 𝑚 égal à 17 sur deux. Cela signifie que la pente de l’équation joignant les deux points est de 17 sur deux. Faisons de la place pour la prochaine partie de notre étude.

Maintenant que l’on a les deux coordonnées et la pente de la droite, on peut utiliser la forme point-pente pour trouver l’équation de la droite. Lorsque l’on a la pente 𝑚 d’une droite et une coordonnée 𝑥 un, 𝑦 un, alors l’équation est donnée par 𝑦 moins 𝑦 un égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Étant donné que l’on a deux points, on peut utiliser l’un ou l’autre dans l’équation, mais utilisons les coordonnées de 𝐴 à savoir moins un, trois pour les valeurs de 𝑥 un et 𝑦 un. En les plaçant dans la formule, on a 𝑦 moins trois, car c’était la valeur de 𝑦 un, égal à 17 sur deux, car c’était la valeur de 𝑚, multiplié par 𝑥 moins moins un, car c’était la valeur de 𝑥 un. À droite, entre parenthèses, on a moins moins un, ce qui équivaut à plus un. Ainsi, lorsque nous développons les parenthèses sur le côté droit, on a 17 sur deux 𝑥 plus 17 sur deux.

Comme on souhaite rassembler les termes constants, on ajoute trois des deux côtés. Trois est équivalent à six sur deux, donc lorsque l’on ajoute cela à 17 sur deux, on obtient 23 sur deux. À ce stade, on a une réponse parfaitement valide pour l’équation d’une droite, mais il vaut mieux supprimer les fractions si c’est possible. Donc, multiplions cette équation par deux. Cela nous donne deux 𝑦 égal 17𝑥 plus 23. Et alors sous forme d’équation égale à zéro, nous aurions zéro égal à 17𝑥 moins deux 𝑦 plus 23, ce qui signifie que l’on peut écrire la réponse sous la forme légèrement plus lisible 17𝑥 moins deux 𝑦 plus 23 égal zéro. Et c’est l’équation de la droite passant par moins un, trois et l’intersection des deux droites trois 𝑥 moins 𝑦 plus cinq égal zéro et cinq 𝑥 plus deux 𝑦 plus trois égal zéro.

Voyons une autre question.

Trouver l’équation de la droite qui passe par le point d’intersection des deux droites 𝑥 moins huit 𝑦 égal à deux et moins six 𝑥 moins huit 𝑦 égal à un et est parallèle à l’axe des 𝑦.

Dans cette question, nous devons trouver l’équation d’une droite qui passe par le point d’intersection de deux autres droites, c’est-à-dire le point où ces deux droites se croisent ou se rencontrent. Ce ne serait pas assez d’informations pour trouver une équation, donc on nous dit aussi que cette droite est parallèle à l’axe des 𝑦. La première étape est de trouver le point d’intersection entre les deux droites. Au point d’intersection de deux droites, leurs valeurs de 𝑥 sont égales et leurs valeurs de 𝑦 sont égales. On a deux inconnues à trouver, les valeurs 𝑥 et 𝑦, mais on a aussi deux équations pour nous aider. On peut résoudre ce problème algébriquement en utilisant la substitution ou en utilisant des équations simultanées.

En utilisant la méthode des équations simultanées, nous aurions besoin d’éliminer les valeurs de 𝑥 ou de 𝑦. On peut remarquer ici qu’on a moins huit 𝑦 dans les deux équations. Par conséquent, si on soustrait la deuxième équation de la première équation, on peut éliminer la valeur de 𝑦. Cela donne 𝑥 moins moins six 𝑥, soit sept 𝑥. Moins huit 𝑦 moins moins huit 𝑦 donne zéro, comme attendu. Et enfin, deux moins un donne un. Maintenant que l’on sait que sept 𝑥 égal à un, on peut diviser par sept, ce qui donne 𝑥 égal à un septième. Maintenant que l’on a trouvé la valeur de 𝑥, on peut la placer dans l’une ou l’autre des équations pour trouver la valeur de 𝑦.

Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à un septième, en utilisant la première équation, on a un septième moins huit 𝑦 est égal à deux. En soustrayant un septième des deux côtés, on obtient moins huit 𝑦 égal à deux moins un septième. Donc, dans le côté droit, on a treize septièmes. En divisant les deux côtés par moins huit, on a 𝑦 égal 13 sur moins 56, ou 𝑦 est égal à moins 13 sur 56. On a maintenant trouvé les deux valeurs de 𝑥 et 𝑦, ce qui signifie que le point d’intersection des deux droites qui nous ont été données est un septième, moins treize cinquante-sixièmes.

Nous devons maintenant trouver l’équation de la droite qui passe par ce point et qui est parallèle à l’axe des 𝑦. Il est utile d’imaginer ce à quoi cela ressemble sur un repère cartésien. Le point un septième, moins treize cinquante-sixièmes serait approximativement ici. La droite passant par ce point parallèle à l’axe des 𝑦 sera une droite verticale. Mais quelle est exactement l’équation de cette droite ? Toutes les valeurs sur cette droite ont une valeur 𝑥 d’un septième. Par conséquent, l’équation de la droite est 𝑥 égal à un septième. Et donc on a répondu à cette question en trouvant le point d’intersection de deux droites puis en trouvant l’équation de cette droite étant donné qu’elle est parallèle à l’axe des 𝑦.

On peut maintenant résumer certains des points clés de cette vidéo. Premièrement, on a vu que le point d’intersection de deux droites est le seul point où elles se rencontrent ou se croisent. On peut trouver le point d’intersection de deux droites dans le plan graphiquement en traçant les droites sur un repère cartésien ou algébriquement en résolvant simultanément pour trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 du point d’intersection. Une méthode algébrique nous donne toujours une solution exacte, mais il peut être utile d’intégrer des méthodes graphiques pour vérifier la réponse.

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