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Vidéo de la leçon : Grandeurs scalaires et vectorielles Physique

Dans cette vidéo, on va apprendre à faire la distinction entre des grandeurs scalaires auxquelles on associe des valeurs et des grandeurs vectorielles qui possèdent des directions et des valeurs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, notre sujet se rapporte aux grandeurs scalaires et vectorielles. On va apprendre à définir ces deux termes, ainsi que différentes façons de combiner des grandeurs scalaires et vectorielles. On peut voir que ce dessin, ici, fait allusion à une de leurs différences. Mais pour clarifier les choses au début, définissons ces deux termes.

Une grandeur scalaire, ou un scalaire pour faire court, est une grandeur ou un nombre qui est complètement défini par une valeur ou une magnitude. À titre d’exemple simple, si on a, disons, cinq pommes, alors la grandeur scalaire décrivant le nombre de pommes est simplement cinq pommes. En général, une grandeur scalaire ne peut être qu’un nombre pur. Dans ce cas, ce serait cinq. Ou cela peut être un nombre avec une unité. Et dans cet exemple, on peut considérer le mot pomme comme une unité, le type de chose que nous quantifions.

Mais pensons à d’autres exemples de grandeurs scalaires. Disons que l’on doit aller au magasin et qu’il se trouve à 1,3 kilomètre. C’est une grandeur scalaire. Et en général, c’est vrai pour n’importe quelle distance. Ou si l’on prévoit de rencontrer un ami dans 30 minutes? C’est une durée, et toutes les valeurs de durée sont des scalaires. Il en va de même pour les températures et les vitesses. Cela dit, on peut commencer à nous demander quels types de grandeurs ne sont pas scalaires. Autrement dit, que reste-t-il à décrire pour les grandeurs vectorielles? Mais d’abord, une définition.

On peut dire que les grandeurs vectorielles, ou les vecteurs pour faire court, sont des grandeurs complètement définies par une valeur et une direction. En repensant à l’exemple sur notre écran d’accueil de ces deux oiseaux de proie, s’ils savent que le lapin n’est pas à seulement cinq kilomètres mais à cinq kilomètres à l’est, alors ils connaissent le déplacement du lapin par rapport à eux. On voit que ce déplacement a une valeur, c’est-à-dire cinq kilomètres, ainsi qu’une direction qui est vers l’est, c’est donc un vecteur. Tous les déplacements partagent cette caractéristique.

Un autre type de grandeur vectorielle, ce sont toutes les forces. La description complète d’une force implique sa valeur, dans ce cas, sept newtons, ainsi que la direction dans laquelle elle agit. Donc, une force et une acceleration sont, tous les deux, des vecteurs. Chaque fois que l’on définit complètement une accélération, on décrit sa valeur, souvent en mètres par seconde carré. Et on dit également dans quelle direction elle pointe. Et comme dernier exemple, toutes les vitesses sont aussi des vecteurs. Et notez que dans ce cas, on a choisi une valeur de vélocité qui correspond à notre vitesse. Donc, le vecteur vitesse, qui est un vecteur, est une vitesse, une grandeur scalaire, avec une certaine direction. D’ailleurs, le vecteur déplacement et la distance scalaire sont pareils. Le déplacement vectoriel est constitué d’une distance, d’un scalaire, dans une certaine direction, dans ce cas, vers l’est.

Maintenant que l’on a compris ce qui sont les grandeurs scalaires et vectorielles, examinons les différentes façons de les combiner. Pour commencer, imaginons que nous souhaitons combiner une grandeur scalaire avec une autre grandeur, également scalaire. Disons que ces deux grandeurs sont d’une cotê, cinq mètres, une distance, et d’autre cotê 13 kelvins, une température. On peut tout de suite voir que même si ces deux grandeurs sont des scalaires, cela n’a aucun sens de les ajouter ou de les soustraire. On ne pourrait le faire que si nos deux grandeurs scalaires avaient la même unité. Par exemple, disons que l’on veut combiner cinq mètres avec 27 mètres. Ce sont deux scalaires, et, dans ce cas, il n’y aurait aucun problème à les additionner ou à les soustraire.

On peut dire, qu’en général, si l’on veut combiner deux grandeurs scalaires alors leurs unités devraient être les mêmes et on peut les additionner ou les soustraire. Et si l’on envisage de combiner deux grandeurs de vecteur, on trouvera un résultat similaire. Disons, par exemple, que l’on aimerait combiner ces deux vecteurs : une force de huit newtons à l’ouest avec une vitesse de trois mètres par seconde, à droite. De la même manière que nous l’avons fait avec nos deux grandeurs scalaires, nous ne pouvons pas additionner ces vecteurs ou les soustraire car ils sont également de types différents. Le moyen le plus direct de voir cela est de remarquer qu’ils ont des unités différentes : des newtons et des mètres par seconde.

Donc, même si ces deux grandeurs sont des vecteurs, on ne peut pas les additionner ou les soustraire car les unités ne correspondent pas. Mais s’ils avaient les mêmes unités, disons cette force là et celle que l’on vient de définir, alors les combiner en les additionnant ou en les soustrayant aurait du sens. Donc, si l’on veut combiner un scalaire avec un scalaire ou un vecteur avec un vecteur, nous pouvons ajouter ou soustraire ces deux grandeurs tant que leurs unités correspondent. Et maintenant, considérons une troisième possibilité pour combiner des scalaires et des vecteurs.

Et si on voulait combiner une grandeur scalaire avec une grandeur vectorielle? Par exemple, supposons que l’on veuille combiner une durée, par exemple 16 secondes, avec un vecteur d’accélération, par exemple deux mètres par seconde carré à gauche. Avec ces exemples, il est clair immédiatement que l’on ne peut pas simplement ajouter ou soustraire ces grandeurs scalaires et vectorielles. Mais pour explorer un peu cette idée, disons que la grandeur scalaire et la grandeur vectorielle que l’on a choisies avaient en fait le même type d’unités. Par exemple, que se passe-t-il si l’on veut combiner une vitesse, qui est un scalaire avec des unités de mètres par seconde, avec le vecteur vitesse, qui est un vecteur mais qui a les mêmes unités? Il s’avère que même avec les mêmes unités , on ne peut pas ajouter ou soustraire un scalaire et un vecteur.

Imaginez, par exemple, essayer d’ajouter trois mètres par seconde à quatre mètres par seconde au nord. Puisque notre grandeur vectorielle a une direction, on ne sait vraiment pas comment combiner cette direction avec un scalaire sans direction. On n’a tout simplement pas cette information sur la vitesse, donc on ne peut pas l’ajouter à un vecteur vitesse. C’est peut-être étonnamment,mais cela ne signifie pas qu’il n’y a aucun moyen de combiner une grandeur scalaire avec une grandeur vectorielle. C’est parce que les opérations mathématiques de multiplication et de division nous sont toujours ouvertes.

Et aussi étrange que cela puisse paraître, ces opérations entre un scalaire et un vecteur, en général, sont autorisées. Par exemple, disons que l’on divise notre accélération, un vecteur, par cet intervalle de temps, un scalaire. Le résultat de cette opération est une fraction, deux seizièmes, ou l’équivalent d’un huitième, d’un mètre par seconde carré par seconde agissant vers la gauche. Maintenant, un mètre par seconde carré par seconde pourrait aussi s’écrire comme un mètre par seconde au cube. Et donc ce que l’on a ici est essentiellement un taux de variation dans le temps d’une accélération, c’est-à-dire combien une accélération en mètres par seconde carré change chaque seconde.

Maintenant, c’est certainement une unité étrange et pas une que l’on rencontre habituellement, mais cela ne signifie pas que c’est interdit ou impossible. On pourrait imaginer un scénario où une accélération change sur une certaine période de temps. Et donc, même si c’est peut-être très rare, cette façon de combiner ces deux grandeurs est autorisée. D'autres exemples pourraient nous montrer que, tout comme la division est autorisée, il en va de même pour la multiplication entre une grandeur scalaire et une grandeur vectorielle. On va donc résumer cela de cette façon. Lorsque l’on veut combiner un scalaire avec un vecteur, on ne peut pas les ajouter ou les soustraire, mais on peut les multiplier ou les diviser.

Maintenant, un dernier point au sujet de la combinaison de scalaires et de vecteurs. Lorsque l’on envisage de rassembler deux vecteurs, en les combinant par addition ou soustraction, alors, si c’est permis, c’est-à-dire si les unités correspondent, on peut le faire graphiquement et arithmétiquement. Pour voir comment cela fonctionne, dégageons un peu d’espace à l’écran, et dessinons deux axes de coordonnées. Maintenant, ce que l’on veut faire ici, c’est combiner graphiquement deux vecteurs, disons des forces. On a déjà une force de huit newtons à l’ouest, définissons-en donc une autre. Disons que c’est deux newtons au sud.

Ces unités de newtons et les directions qui leur sont attachées, ouest et sud, nous montrent comment on peut étiqueter les axes sur notre graphique. Disons que cette direction est vers le nord, cette direction est vers l’est et que nos axes sont marqués en unités de newtons comme ceci. Maintenant, quand on va tracer notre vecteur de huit newtons à l’ouest sur ce graphique, on voit tout de suite que l’on doit étendre notre axe à l’ouest. Une fois qu’on a fait cela, on peut alors tracer notre force de huit newton vers l’ouest. Elle commence à l’origine et va ensuite huit unités, huit newtons, vers l’ouest. Ensuite, on peut tracer notre force de deux newton vers le sud. Cela ressemblera à ceci sur notre graphique.

Maintenant, on a dit plus tôt que si l’on a deux vecteurs et que leurs unités correspondent, on peut les additionner ou les soustraire. Puisque ces vecteurs sont deux forces, ils remplissent cette condition d’avoir les mêmes unités. On devrait donc pouvoir, par exemple, les additionner. Et lorsque les vecteurs sont tracés ensemble sur le même graphique, on utilise ce que l’on appelle la méthode de la queue leu leu. Cette méthode fonctionne ainsi. En commençant par l’un ou l’autre de nos deux vecteurs, on localise la pointe de ce vecteur. Disons que l’on commence par notre vecteur de huit newtons vers l’ouest, cela signifie que la pointe est ici. Donc, c’est notre astuce dans la méthode de la queue leu leu.

Ensuite, nous localisons l’origine de l’autre vecteur. C’est ce point là. Et nous translatons ou déplaçons le deuxième vecteur de sorte que son origine se trouve sur la pointe du premier. Cela implique donc de déplacer notre vecteur, celui qui pointe deux newtons vers le sud, comme ceci. Maintenant que nos vecteurs sont disposés bout à bout, on commence au début, à l’origine du tout premier. Et on trace un vecteur à partir de ce point jusqu’à la pointe de notre deuxième vecteur. On peut donc dire que si notre premier vecteur était le vecteur 𝐀 et le second était le vecteur 𝐁, alors ce vecteur vert que nous venons de tracer est égal à 𝐀 plus 𝐁. Ainsi, il est possible de combiner des vecteurs, non seulement algébriquement, mais aussi graphiquement.

Connaissant tout cela sur les grandeurs scalaires et vectorielles, mettons un peu en pratique ces idées avec un exemple.

Lequel des énoncés suivants est une grandeur vectorielle? (A) énergie, (B) pression, (C) différence de potentiel, (D) force, (E) charge.

D’accord, donc l’idée ici est que l’une de ces cinq grandeurs est un vecteur. Et on peut rappeler qu’une grandeur vectorielle est définie comme ayant à la fois une valeur et une direction. Et plus précisément, c’est le fait qu’un vecteur est associé à une direction qui le distingue de ce qu’on appelle une grandeur scalaire, qui est une grandeur qui est seulement une valeur. Alors, examinons nos différentes réponses, considérons des exemples de chacune de ces grandeurs et voyons si nous trouvons des directions avec des valeurs.

En commençant par le choix (A), l’énergie, un exemple de quantité d’énergie pourrait être ceci : 12 joules. En ce qui concerne les pressions, l’unité standard pour signaler une pression est le pascal. L’unité standard pour signaler une différence de potentiel est le volt. On pourrait avoir, disons, 32 volts. Alors que l’unité de la force basée sur le SI est le newton, on pourrait avoir une force disons de 13 newtons à droite. Et les quantités de charge sont généralement exprimées en coulombs. On pourrait avoir 0,3 coulombs de charge.

Dans tous ces exemples de grandeur, nous voyons qu’il y a des valeurs : 12 joules, 3,1 pascals, 32 volts, etc. Mais avec notre définition de ce qu’est une grandeur vectorielle, la valeur, toute seule, ne suffit pas à créer un vecteur. On a également besoin d’une direction associée à cette valeur. Si cela doit vrai, on voit qu’une seule de nos cinq options a une direction. C’est la force, qui est une force de 13 newtons vers la droite. Ici on a une valeur, 13 newtons et une direction. Et aucune des autres quantités n’a de direction. On va donc choisir la réponse (D), la force, comme seule grandeur vectorielle dans cette liste.

Voyons maintenant un deuxième exemple d’exercice.

Si une aire est multipliée par une longueur, la grandeur résultante est-elle une grandeur vectorielle ou une grandeur scalaire?

Très bien, on parle donc de multiplier une aire par une longueur. Et on pourrait imaginer, disons, que c’est notre aire et que c’est ici notre longueur. Lorsque l’on multiplie cette aire par cette longueur, on obtient un résultat, et on veut savoir s’il s’agit d’une grandeur vectorielle ou d’une grandeur scalaire. Voici la différence entre les deux. Une grandeur scalaire, ou un scalaire pour faire court, n’a qu’une valeur, tandis qu’une grandeur vectorielle, ou un vecteur, a à la fois une valeur et une direction. Donc, pour savoir si notre aire multipliée par une longueur est un scalaire ou un vecteur, on doit regarder si elle a seulement une valeur ou une valeur et une direction.

Le produit de notre aire et de notre longueur est ce volume 𝑉. Et maintenant, on se demande si ce volume n’a qu’une valeur ou s’il a aussi une direction. On peut voir que ce volume a une valeur égale à 𝐴 fois 𝐿. Mais il n’y a pas de direction particulière vers laquelle pointe ce volume ou tout point du volume. Donc, ici, on a une valeur, mais pas de direction. Sur la base de nos définitions des grandeurs scalaires et vectorielles, cela répond alors à notre question. Si une aire est multipliée par une longueur, la grandeur résultante est une grandeur scalaire.

Résumons maintenant ce que nous avons appris sur les grandeurs scalaires et vectorielles. Dans cette leçon, on a défini les grandeur scalaires et vectorielles. Et on a vu que la différence essentielle est qu’une grandeur scalaire n’a qu’une valeur, alors qu’une quantité vectorielle a, à la fois, une valeur et une direction. On a vu plus loin qu’un scalaire et un scalaire ou un vecteur et un vecteur peuvent être ajoutés ou soustraits si leurs unités correspondent. En lien avec cela, on a vu qu’une grandeur scalaire peut multiplier ou diviser un vecteur. Et enfin, on a vu que deux vecteurs ou plus peuvent être combinés graphiquement en utilisant ce que l’on appelle la méthode de la queue leu leu. Ceci est un résumé des grandeurs scalaires et vectorielles.

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