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Vidéo de la leçon : Énergie potentielle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’énergie potentielle et ses variations ainsi qu’à les utiliser pour résoudre différents problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’énergie potentielle de pesanteur et ses variations ainsi qu’à les utiliser pour résoudre différents problèmes.

Certains types d’énergie sont faciles à visualiser. Par exemple, un objet en mouvement rapide a plus d’énergie cinétique qu’un objet en mouvement lent. La loi de conservation de l’énergie nous dit que l’énergie totale dans un système est constante. Elle n’est ni créée ni perdue. Cela signifie que l’énergie ne peut être que changée d’une forme à une autre ou transférée d’un objet à un autre.

Considérons la situation où une voiture monte une colline et qui s’arrête en raison de la pente. Qu’est-il arrivé à l’énergie cinétique de la voiture? La réponse est qu’elle se transforme en énergie potentielle de pesanteur, ou EPP. Cela peut être considéré comme une énergie liée à la hauteur. Plus un objet est placé haut, plus il a d’énergie potentielle de pesanteur.

L’EPP d’un objet à tout moment est égal à la masse multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur. Lors de la modélisation des problèmes dans cette vidéo, nous supposerons que 𝑔, l’accélération due à la gravité, est égale à 9,8 mètres par seconde carrée. Nous allons mesurer la hauteur en mètres. La masse sera en kilogrammes. Et l’énergie potentielle de pesanteur sera mesurée en joules. Pour les premières questions de cette vidéo, nous utiliserons cette formule dans différentes situations.

Une grue soulève un corps de masse de 132 kilogrammes à une hauteur de 20 mètres. Trouvez l’augmentation de l’énergie potentielle de pesanteur du corps. Prenez l’accélération due à la gravité 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

On nous dit que la grue soulève un corps de 132 kilogrammes à une hauteur de 20 mètres. On sait que l’énergie potentielle de pesanteur, ou EPP, d’un corps est égale à la masse multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur. Comme la gravité est égale à 9,8 mètres par seconde carrée, on doit multiplier 132 par 9,8 puis par 20. Cela vaut 25.872. L’augmentation de l’énergie potentielle de pesanteur du corps est donc égale à 25 872 joules.

Dans la prochaine question, nous devrons calculer la hauteur d’un corps en fonction du changement d’énergie potentielle de pesanteur.

Un corps de masse de quatre kilogrammes a une énergie potentielle de pesanteur de 2.136,4 joules par rapport au sol. Déterminez sa hauteur. Prenez l’accélération due à la gravité comme étant de 9,8 mètres par seconde carrée.

On nous dit que le corps de masse quatre kilogrammes a une énergie potentielle de pesanteur, ou EPP, égale à 2136,4 joules. On sait que son accélération due à la gravité est égale à 9,8 mètres par seconde carrée. Et on doit calculer la hauteur du corps par rapport au sol. On sait que l’EPP est égale à la masse multipliée par l’accélération due à la gravité, multipliée par la hauteur. Dans cette question, on multiplie quatre par 9.8 par ℎ. On sait que cela vaut 2136.4. Quatre multiplié par 9,8 est égal à 39,2, donc le côté gauche de l’équation devient 39,2ℎ.

On peut alors diviser les deux côtés de cette équation par 39.2, ce qui nous donne une valeur de ℎ égale à 54.5. La hauteur du corps de quatre kilogrammes avec une énergie potentielle de pesanteur de 2136,4 joules est de 54,5 mètres.

Dans la prochaine question, nous considérerons un corps qui monte sur un plan incliné.

Un corps de masse de huit kilogrammes se déplace de 238 centimètres sur la droite de plus grande pente d’un plan lisse incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Calculez l’augmentation de son énergie potentielle de pesanteur. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

On nous dit que le plan est incliné de 30 degrés et que le corps parcourt une distance de 238 centimètres. La première étape ici est de convertir cela en mètres. Comme il y a 100 centimètres dans un mètre, 238 centimètres est égal à 2,38 mètres.

On peut voir sur la figure qu’il y a un triangle rectangle. Cela signifie qu’on peut utiliser les formules de trigonométrie pour calculer la hauteur verticale ℎ. Comme on a affaire au côté le plus long, ou l’hypoténuse, et au côté opposé à l’angle, on peut utiliser la formule selon laquelle sinus 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. En substituant nos valeurs, on a sinus de 30 degrés égal à ℎ sur 2,38. On sait que le sinus de 30 degrés est égal à un demi. On peut alors multiplier les deux côtés de cette équation par 2,38, ce qui nous donne une valeur de ℎ égale à 1,19. La hauteur verticale est donc égale à 1,19 mètres.

On nous demande de calculer l’énergie potentielle de pesanteur. Et on sait que l’EPP est égale à la masse multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur. Comme la masse du corps est de huit kilogrammes et que l’accélération due à la gravité est égale à 9,8 mètres par seconde carrée, on doit multiplier huit, 9,8 et 1,19. Tapant ceci dans la calculatrice, on obtient 93,296. L’augmentation de l’énergie potentielle de pesanteur du corps est donc égale à 93,296 joules.

Pour le reste de cette vidéo, nous considérerons le théorème de l’énergie cinétique et traiterons des problèmes impliquant des vecteurs. Le théorème de l’énergie cinétique stipule que la variation d’énergie cinétique est égale au travail effectué sur le corps par la force résultante, où le travail effectué est égal à la force multipliée par le déplacement. La force est mesurée en newtons et le déplacement en mètres. Le travail effectué, comme pour l’énergie potentielle de pesanteur, est mesuré en joules.

Lorsque l’on traite de vecteurs, comme nous le ferons pour le reste de cette vidéo, on peut calculer le travail effectué en prenant le produit scalaire de la force et du vecteur déplacement. Il est important de noter que, d’après la conservation de l’énergie, la somme du travail effectué et de la variation d’énergie doit donner zéro. L’énergie est uniquement transférée et n’est pas créée ou perdue.

Un corps se déplace en ligne droite du point 𝐴 moins six, zéro au point 𝐵 moins cinq, quatre sous l’action de la force 𝐅, qui est égale à 𝑚𝐢 plus deux 𝐣 newtons. Sachant que la variation de l’énergie potentielle du corps est de deux joules et que le déplacement est en mètres, déterminez la valeur de la constante 𝑚.

On nous dit que le corps se déplace en ligne droite du point 𝐴 au point 𝐵, où 𝐴 et 𝐵 ont des coordonnées de moins six, zéro et de moins cinq, quatre. Cela signifie que l’on se déplace d’une unité vers la droite et de quatre unités vers le haut. Si l’on considère les vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 dans les directions horizontale et verticale, respectivement, le vecteur de déplacement est égal à 𝐢 plus quatre 𝐣.

On nous dit aussi que la force agissant sur le corps est 𝑚 𝐢 plus deux 𝐣 newtons. On sait que le travail effectué est le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement. Le travail effectué est donc égal au produit scalaire de 𝐢 plus quatre 𝐣 et 𝑚 𝐢 plus deux 𝐣.

Pour calculer le produit scalaire, on prend la somme des produits des différentes composantes. Dans cette question, cela vaut un multiplié par 𝑚 plus quatre multiplié par deux. Les composantes 𝐢 sont un et 𝑚, et les composantes 𝐣 sont quatre et deux. Cela se simplifie en 𝑚 plus huit.

On nous dit également dans la question que la variation de l’énergie potentielle est égale à deux joules. Comme l’énergie ne peut être que transférée et non perdue ou créée, on sait que la somme du travail effectué de l’énergie potentielle de pesanteur est égale à zéro. Cela signifie que 𝑚 plus huit plus deux doit être égal à zéro. En rassemblant les termes similaires, on a 𝑚 plus 10 est égal à zéro. Enfin, on peut soustraire 10 des deux côtés de cette équation, ce qui donne une valeur de 𝑚 égale à moins 10. Cela signifie que la force 𝐅 est égale à moins 10 𝐢 plus deux 𝐣.

Dans la dernière question, nous utiliserons des vecteurs pour trouver la variation de l’énergie potentielle au cours du temps.

Un corps se déplace sous l’action d’une force constante 𝐅, qui est égale à cinq 𝐢 plus trois 𝐣 newtons, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. À l’instant 𝑡 secondes, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, le vecteur position du corps par rapport à un point fixe est donné par 𝐫 égal à 𝑡 au carré plus quatre 𝐢 plus quatre 𝑡 au carré plus huit 𝐣 mètres. Déterminez la variation de l’énergie potentielle du corps dans les neuf premières secondes.

En raison de la conservation de l’énergie et du théorème de l’énergie cinétique, on sait que la somme de la variation de l’énergie potentielle et du travail effectué est égale à zéro. En effet, l’énergie ne peut être que transférée. lle ne peut pas être créée ou perdue. Dans ce cas, essayons de calculer la variation de l’énergie potentielle.

On sait que le travail effectué est égal à la force multipliée par le déplacement. Et lorsqu’il s’agit de vecteurs, on prend le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement. On nous dit que la force est égale à cinq 𝐢 plus trois 𝐣 newtons. Pour le moment, le déplacement est inconnu. On nous donne le vecteur position du corps. Et on cherche la variation d’énergie potentielle dans les neuf premières secondes. Cela signifie qu’on doit calculer le vecteur position lorsque 𝑡 est égal à zéro et lorsque 𝑡 est égal à neuf.

Lorsque 𝑡 est égal à zéro, on a zéro au carré plus quatre 𝐢 plus quatre multiplié par zéro au carré plus huit 𝐣. Cela se simplifie en quatre 𝐢 plus huit 𝐣. Lorsque 𝑡 est égal à neuf, le vecteur position est égal à neuf au carré plus quatre 𝐢 plus quatre multiplié par neuf au carré plus huit 𝐣. Cela vaut 85 𝐢 plus 332 𝐣.

On peut alors calculer le vecteur déplacement en soustrayant la position initiale de la position finale. 85 𝐢 moins quatre 𝐢 est égal à 81 𝐢, et 332 𝐣 moins huit 𝐣 est 324 𝐣. Le déplacement du corps dans les neuf premières secondes est de 81 𝐢 plus 324 𝐣.

On peut maintenant calculer le produit scalaire de la force et du déplacement. Cela vaut la somme de cinq fois 81 et de trois fois 324. Cela vaut 405 plus 972, ce qui nous donne un travail total de 1377.

On peut maintenant utiliser cette valeur pour calculer la variation d’énergie potentielle. Comme cette valeur est positive, on sait que la variation de l’énergie potentielle sera négative. L’EPP plus 1.377 doit être égale à zéro. Cela signifie que la variation de l’énergie potentielle est de moins 1377 joules. L’énergie potentielle du corps a diminué de 1377 joules dans les neuf premières secondes.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. On a découvert dans cette vidéo que la conservation de l’énergie signifie que l’énergie ne peut que être transférée. Elle ne peut pas être créée ou perdue. Ce transfert d’énergie est connu sous le nom de travail effectué, ce qui signifie que le travail effectué plus la variation d’énergie doivent être égaux à zéro. On peut calculer le travail effectué en multipliant la force par le déplacement où la force est mesurée en newtons, le déplacement en mètres et le travail effectué en joules. Lorsque l’on traite de vecteurs, on prend le produit scalaire des vecteurs force et déplacement.

On a également constaté que l’on peut calculer l’énergie potentielle de pesanteur, ou EPP, en multipliant la masse par l’accélération due à la gravité par la hauteur. La masse est mesurée en kilogrammes, l’accélération due à la gravité est prise égale à 9,8 mètres par seconde carrée sur Terre et la hauteur verticale est mesurée en mètres. Cela donne une énergie potentielle de pesanteur mesurée en joules.

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