Transcription de la vidéo
Un objet de poids est placé sur un plan lisse incliné à 60 degrés par rapport à l’horizontale. L’objet est maintenu en équilibre sous l’action d’une force d’intensité 54 newtons qui agit vers le haut de la ligne de plus grande pente. Déterminez l’intensité de la réaction 𝑅 du plan sur l’objet et le poids de l’objet .
Pour répondre à une question de ce type, il convient d’abord de dessiner un schéma. L’objet est au repos sur un plan incliné à un angle de 60 degrés. Son poids agit verticalement vers le bas. La force de réaction 𝑅 est toujours perpendiculaire au plan. Enfin, on nous dit qu’il y a une force d’intensité 54 agissant parallèlement au plan.
Il y a plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour résoudre ce problème. Cependant, comme les trois forces agissent en un point, nous allons utiliser le théorème de Lami. Le théorème de Lami stipule que si nous avons trois forces agissant en un point, dans ce cas 𝐴, 𝐵 et 𝐶, où l’angle entre les forces 𝐵 et 𝐶 est 𝛼, entre 𝐴 et 𝐶 est 𝛽 et entre 𝐴 et 𝐵 est 𝛾. Alors 𝐴 sur sinus 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾. Vous pouvez également reconnaitre cette formule comme la règle du sinus en trigonométrie.
Dans notre question, l’angle entre le poids et le plan est de 30 degrés, comme le montre le schéma. Ceci signifie que l’angle entre le poids et la force de réaction est de 120 degrés, car 30 plus 90 est 120. La force de réaction est perpendiculaire à la force de 54 newtons. Ceci signifie que l’angle entre eux est de 90 degrés.
Comme les angles d’un cercle ou d’un point totalisent 360 degrés, l’angle entre le poids et la force de 54 newtons est de 150 degrés. Remplaçant nos valeurs dans le théorème de Lami nous donne 𝑅 sur sinus 150 est égal à 54 sur sinus 120, ce qui est égal à sur sinus 90. Considérons les deux premiers termes. 𝑅 sur sinus 150 est égal à 54 sur sinus 120.
Bien que nous pouvons taper ceci dans la calculatrice, il convient de rappeler certains des angles trigonométriques connus. Le sinus de 30 degrés est égal à un demi, et le sinus de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux. Si deux angles ont une somme de 180 degrés, alors les sinus de ces angles sont les mêmes. Par conséquent, le sinus de 150 est un demi et le sinus de 120 est racine de trois sur deux.
Nous rappelons également de notre courbe représentative de sinus que le sinus de 90 est égal à un. Donc nous pouvons voir que 𝑅 divisé par un demi est égal à 54 divisé par racine trois sur deux. 𝑅 divisé par un demi est égal à deux . 54 divisé par racine trois sur deux est égal à 108 sur racine trois.
Nous pouvons rationaliser le dénominateur à droite en multipliant le dénominateur et le numérateur par racine de trois. Deux 𝑅 est égal à 108 fois racine de trois divisée par trois. 108 divisé par trois est égal à 36. Donc deux 𝑅 est égal à 36 racine de trois. En divisant les deux membres de cette équation par deux nous donne 𝑅 égale 18 racine trois. L’intensité de la réaction 𝑅 du plan sur l’objet est de 18 racines trois newtons.
Considérons ensuite le premier et le troisième terme de notre équation. 𝑅 sur sinus 150 est égal àsur sinus 90. Encore une fois, sur le membre gauche, nous avons 𝑅 divisé par un demi. Sur le membre droit, nous avons divisé par un. Ceci se simplifie en deux 𝑅 est égal à . Comme la force de réaction 𝑅 est égale à 18 fois racine de trois, alors doit être égal à deux multiplié par 18 racine de trois. 18 multiplié par deux est 36. Donc est égal à 36 racine de trois. Nous pouvons alors conclure que le poids de l’objet sur le plan est de 36 racine de trois newtons.
