Vidéo de la leçon: Inéquations à plusieurs étapes Mathématiques • Première préparatoire

Transcription de la vidéo

Dans cette leçon, ce que nous cherchons à faire c’est de résoudre les inéquations à plusieurs étapes. Et c’est exactement ce dont il s’agit, des inéquations qui se résolvent en plusieurs étapes. Et lorsque nous traitons des inéquations, nous avons un ensemble de notations. Et j’ai montré ici avec la flèche rose des signes comme strictement inférieur, strictement supérieur, inférieur ou égal à et supérieur ou égal à. Nous allons donc voir comment utiliser cela.

Eh bien, avec quelque chose comme ça, vous pourriez penser « par où commencer ? Que ferai-je si je veux résoudre une inéquation à plusieurs étapes ? » En fait, c’est très similaire à la résolution d’équations. Nous suivons les mêmes étapes. Nous nous travaillons juste, comme je l’ai dit, avec cette notation, qui est notre notation pour une inéquation.

La première chose que nous allons envisager c’est la notation d’une inéquation. Donc, tout d’abord, nous avons 𝑥 est strictement inférieur à 𝑦. Et nous pouvons le voir parce que l’extrémité pointue est orientée vers le 𝑥 et la grande extrémité est orientée vers le 𝑦. Et nous avons toujours le grand côté ouvert qui pointe vers le plus grand nombre. Ensuite, le suivant en bas, 𝑥 est strictement supérieur à 𝑦 parce que nous pouvons voir que le signe d’inéquation a été inversé.

Ensuite nous avons 𝑥 est inférieur ou égal à 𝑦. Et c’est vraiment la clé. Nous avons donc 𝑥 est inférieur ou égal à 𝑦. La partie qui indique que c’est « ou égal à » est le petit trait au-dessous de notre signe d’inéquation. Cela signifie donc que 𝑥 peut être tout ce qui est plus petit que 𝑦 ou peut être 𝑦 même. Et enfin, nous avons 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑦. Très bien, nous allons maintenant voir la notation que nous allons utiliser. Prenons un exemple et voyons si nous pouvons résoudre une inéquation à plusieurs étapes.

Déterminez l’ensemble solution de l’inéquation : moins 14𝑥 moins 52 est inférieur ou égal à moins 18𝑥 sur l’ensemble des nombres réels. Donnez votre réponse sous forme d’intervalle.

La première chose que nous voulons voir dans cette question est ce symbole en forme de la lettre R. Et cela signifie que ce sont tous des nombres réels. Ainsi, nous saurons que les résultats de notre inéquation seront des nombres réels. Eh bien, vous pourriez penser : « tous les nombres ne sont-ils pas réels ?»

Eh bien, en fait, non, il y a des nombres imaginaires que nous traitons en mathématiques. Mais nous les traitons plus tard dans le programme de maths. Donc maintenant, quand nous allons résoudre notre inéquation, nous allons le faire de la même manière pour résoudre une équation. Nous avons donc moins 14𝑥 moins 52 inférieur ou égal à moins 18𝑥. Nous allons donc chercher à ajouter 18𝑥 à chaque côté de l’inéquation et ajouter aussi 52. Et lorsque nous ferons cela, nous obtiendrons quatre 𝑥 est inférieur ou égal à 52.

Et vous pouvez voir ici que j’ai complété deux étapes. En fait, il s’agit d’une inéquation à plusieurs étapes, car nous avons fait deux étapes. Mais nous n’avons pas encore tout à fait terminé parce que nous avons une autre étape à compléter pour résoudre notre inéquation.

La dernière étape consiste donc à diviser par quatre. Et c’est parce que nous voulons déterminer la valeur de un 𝑥. Quand nous ferons cela, nous obtiendrons 𝑥 est inférieur ou égal à 13. Très bien, nous avons résolu l’inéquation. Alors, avons-nous résolu le problème ?

Eh bien, non, pas tout à fait, parce qu’on nous demande dans la question de donner notre réponse sous la forme d’intervalle. Alors, comment cela sera représenté par un intervalle ? Eh bien, quand nous écrivons cela comme intervalle, nous avons cela ici. Nous avons des parenthèses, puis moins ∞, virgule 13, et ensuite un crochet. Alors réfléchissons à ce que tout cela signifie.

Eh bien, tout d’abord, sur le côté gauche, nous avons une parenthèse. Et c’est parce que nous savons que si 𝑥 est inférieur ou égal à 13, alors elle peut aller jusqu’à moins ∞. Mais ça n’inclurait pas le moins ∞. Alors, on peut voir sur le côté droit, on a un crochet. Cela signifie qu’il inclut 13 parce qu’on nous a dit que 𝑥 est inférieur ou égal à 13. Nous savons donc que nos valeurs peuvent prendre n’importe quelle valeur à partir de moins ∞, mais sans inclure moins ∞, jusqu’à 13, mais en incluant également 13.

Cette première question nous a donc aidés à acquérir certaines compétences, car nous avons déjà envisagé comment résoudre les inéquations à plusieurs étapes. C’est ce que nous avons fait. Nous avons également parlé de la notation d’un ensemble qui est ℝ, c’est-à-dire l’ensemble de tous les nombres réels. Nous avons ensuite donné notre réponse sous forme d’intervalle. Nous avons donc couvert beaucoup de choses. Mais voyons où nous pouvons aller ensuite.

Ce que nous allons voir ensuite, c’est une notation d’un autre ensemble. Nous allons également envisager la répartition des parenthèses dans l’inéquation. Puis nous allons aussi voir comment mettre notre inéquation ou la réponse à celle-ci dans un format différent.

Résolvez l’inéquation 10𝑥 plus 16 inférieur ou égal à huit fois 𝑥 moins 19 sur l’ensemble des nombres rationnels.

Et comme nous l’avons dit en lisant la question, ce ℚ signifie l’ensemble des nombres rationnels. Et ce que nous entendons par « nombres rationnels » c’est tous les nombres qui peuvent être représentés par une fraction. Bon, alors maintenant, résolvons notre inéquation.

Eh bien, la première étape de notre inéquation à plusieurs étapes est de distribuer les parenthèses. Et cela signifie que nous allons multiplier huit par les deux termes qui se trouvent entre les parenthèses. Nous allons donc obtenir 10𝑥 plus 16 est plus petit ou égal à. Ensuite, nous avons huit 𝑥 car huit fois 𝑥 est huit 𝑥. Puis nous allons obtenir moins 152. Et c’est parce que huit fois moins 19 donne moins 152.

Donc maintenant, ce que nous pouvons faire pour nous assurer que nous avons 𝑥 d’un côté de notre inéquation et les valeurs numériques de l’autre côté de notre inéquation, c’est de soustraire huit 𝑥 et 16 de chaque côté. Ainsi, lorsque je fais cela, ce que je vais obtenir, c’est deux 𝑥 inférieur ou égal à moins 168. Et il ne nous reste plus qu’à diviser les deux côtés de l’inéquation par deux. Et nous obtenons 𝑥 inférieur ou égal à moins 84.

Cela signifie donc que 𝑥 est toute valeur inférieure à moins 84 mais incluant également moins 84. Nous venons de montrer la réponse en utilisant la notation de l’inéquation car 𝑥 est inférieur ou égal à moins 84. Nous pourrions également utiliser une notation d’intervalle comme je l’ai montré ici, où nous avions une parenthèse. Ensuite, nous avons moins ∞, puis virgule moins 84. Et puis nous avons un crochet. Et cela signifie que les valeurs peuvent prendre n’importe quelle valeur de moins ∞, mais sans moins ∞, jusqu’à moins 84, et en incluant moins 84.

Et puis nous avons aussi cette autre façon de représenter notre réponse qui nous dit que 𝑥 est un élément ou un membre des nombres rationnels, où 𝑥 est inférieur ou égal à moins 84.

Donc, encore une fois, nous nous sommes appuyés sur nos compétences car ce que nous avons fait est indiqué par une notation d’intervalle. Et nous avons également commencé à distribuer les parenthèses.

Donc, pour le dernier type de cet exemple, ce que nous allons faire, c’est résoudre une inéquation qui a des parenthèses des deux côtés. Nous allons donc devoir distribuer les parenthèses. Il va falloir simplifier. Et encore une fois, nous allons donner notre réponse sous cette forme, ce qui implique une notation d’intervalle.

Résolvez l’inéquation neuf 𝑥 moins trois fois moins sept 𝑥 plus neuf est strictement inférieur à moins sept fois moins neuf plus 𝑥 moins deux sur l’ensemble des nombres rationnels.

Comme vous vous souvenez peut-être d’après la notation de l’ensemble, ce ℚ désigne les nombres rationnels. Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être représentés par une fraction.

Pour résoudre ce problème, nous devons tout d’abord répartir nos parenthèses aux deux côtés de notre inéquation. Et c’est parce que nous allons la résoudre de la même manière que nous résoudrions une équation. Donc, sur le côté gauche, nous allons obtenir neuf 𝑥 plus, et ensuite nous avons 21𝑥. C’est plus 21𝑥 parce que nous avons moins trois fois moins sept 𝑥. Puis nous avons moins 27. Et ce sera moins 63. Et c’est parce que moins sept fois moins neuf nous donne 63, parce qu’un nombre négatif multiplié par un nombre négatif nous donne un nombre positif. Puis nous avons moins sept 𝑥 moins deux.

Très bien, donc maintenant ce que nous devons faire c’est simplifier les deux côtés. Quand nous ferons cela, nous obtiendrons 30𝑥 moins 27 strictement inférieur à 61 moins sept 𝑥. L’étape suivante consiste donc à mettre tous les 𝑥s d’un côté de l’inéquation et les valeurs numériques de l’autre. Pour ce faire, je vais ajouter sept 𝑥 à chaque côté de l’inéquation et ajouter 27 à chaque côté de l’inéquation. Ainsi, lorsque nous ferons cela, nous obtiendrons 37𝑥 strictement inférieur à 88.

Il ne reste donc plus qu’à diviser chaque côté de l’inéquation par 37. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 𝑥 est strictement inférieur à 88 sur 37. Et nous pouvons alors montrer qu’en utilisant notre notation d’intervalle de telle sorte que 𝑥 soit un élément de l’ensemble des nombres rationnels, 𝑥 est strictement inférieur à 88 sur 37.

Nous avons donc couvert un problème qui comporte des parenthèses des deux côtés. Nous avons traité un certain nombre d’inéquations à plusieurs étapes. Mais quelle est l’étape suivante ? C’est le moment où l’on peut se dire : « bon, c’est super, mais à quoi bon résoudre les inéquations ?»

Alors, comme nous l’avons dit, à quoi servent les inéquations ? Comment peut-on les utiliser dans la vie réelle ? Eh bien, les inéquations servent en fait à toute une série de choses, et en particulier dans des domaines comme les affaires, où elles peuvent être utiles pour le contrôle des stocks, les salaires, ou dans l’ingénierie lorsque nous examinons les tolérances, par exemple, le nombre de personnes qui peuvent tenir dans un ascenseur ou les tolérances d’un pont. Et nous le faisons en utilisant ce qu’on appelle la programmation linéaire, qui est une autre méthode où nous pouvons utiliser les inéquations pour nous aider à résoudre les problèmes. Les inéquations peuvent également être représentées par des graphiques.

Eh bien, pour notre dernier exemple, allons voir une question qui porte sur la résolution des inéquations dans un contexte. Nous allons donc examiner un contexte de la vie réelle.

Une compagnie de téléphonie mobile propose les deux plans suivants. Le plan A, qui est de 15 dollars par mois et deux dollars pour chaque 300 textes. Plan B, 25 dollars par mois et 0,50 dollar pour 100 textes. Combien de textes devrez-vous envoyer par mois pour le plan B afin d’économiser de l’argent ?

Eh bien, la façon dont nous pouvons résoudre ce problème est de réfléchir d’abord à ce que coûte l’envoi de 100 textes pour le plan A et le plan B. Si nous examinons le plan A, il coûte deux tiers d’un dollar pour 100 textes. Et cela à cause de ses deux dollars pour 300 textes. Il suffit de diviser ce chiffre par trois. Ensuite, si nous regardons le plan B, nous pouvons voir que c’est un demi-dollar ou 50 cents pour 100 textes.

Ce que nous pouvons faire, c’est commencer à créer une inéquation. Et nous pourrions le faire car ce que nous aurons pour le plan A, c’est 15 plus deux tiers 𝑥, où 𝑥 est le nombre de centaines de textes. Eh bien, nous voulons voir où cela est plus grand que. Et nous voulons voir où c’est plus grand que parce que ce que nous essayons de faire, c’est de trouver combien de textes vous devriez envoyer par mois pour le plan B afin de vous permettre d’économiser de l’argent. Nous voulons donc que le plan B soit strictement inférieur à. Puis nous avons pour le plan B 25 plus un demi 𝑥.

Nous avons donc converti nos deux fractions en sixièmes pour qu’elles aient un même dénominateur. Nous avons maintenant 15 plus quatre-sixièmes 𝑥 est strictement supérieur à 25 plus trois-sixièmes 𝑥. Nous allons donc maintenant soustraire 15 et trois sixièmes 𝑥 des deux côtés de l’inéquation. Et nous allons faire cela parce que nous voulons que 𝑥 soit d’un côté. Ensuite nous voulons les valeurs numériques de l’autre côté. Et quand nous faisons cela, nous allons obtenir un sixième 𝑥 est strictement supérieur à 10.

Donc si nous avons un sixième 𝑥 est strictement supérieur à 10, si nous multiplions les deux côtés par six, nous obtiendrons 𝑥 est strictement supérieur à 60. Eh bien, comme nous l’avons dit au début, 𝑥 représente le nombre de centaines de textes. Donc, le nombre de textes qu’il faudrait envoyer pour le plan B afin de vous faire économiser de l’argent serait strictement supérieur à 6000 textes. Et nous obtenons cela parce que nous avons multiplié 60 par 100, ce qui nous donne 6000.

La dernière compétence que nous recherchons est donc de savoir comment résoudre une inéquation à plusieurs étapes dans un contexte de vie réelle. Et c’est ce que nous avons fait. Nous sommes donc arrivés à la fin de ce que nous essayions d’envisager. Récapitulons maintenant tout ce que nous avons appris dans cette leçon.

Les points clés de cette leçon sont donc, tout d’abord, une inéquation à plusieurs étape est une inéquation qui nécessite plus d’une étape de manipulation algébrique pour être résolue. Deuxièmement, les inéquations sont résolues en utilisant un procédé d’équilibrage similaire à celui des équations. Donc, si vous voyez une inéquation, n’ayez pas peur ni pensez « que vais-je faire ? » Parce que tout ce que vous avez à faire c’est de la résoudre de la même manière dont vous résolvez une équation. Juste gardez à l’esprit que vous avez plutôt un signe d’inéquation.

Ensuite, nous avons nos notations, strictement inférieur, strictement supérieur, inférieur ou égal à et supérieur ou égal à. Et ce sont tous des signes que nous utilisons dans les inéquations. Il est bon de rappeler que la différence entre les deux est le trait en dessous, le trait en bas. Et cela nous indique qu’elle peut être supérieure ou égale, inférieure ou égale. C’est donc qu’elle peut être égale à.

Il est également utile de se rappeler que les côtés les plus grands ou le côté ouvert du signe d’inéquation est orienté vers le plus grand nombre. Et le côté pointu est orienté vers le plus petit nombre. Alors, ce que j’ai montré, c’est un peu notre notation d’intervalle. Ce sont les parenthèses et les crochets. Si nous avons une parenthèse, cela signifie qu’elle n’inclut pas la valeur à côté. C’est donc comme notre strictement inférieur à ou strictement supérieur à. Cependant, si nous avons une parenthèse carrée, cela signifie qu’elle inclut cette valeur. Donc, c’est toujours égal à.

Ensuite, nous savons que les inéquations peuvent être utilisées dans des contextes de la vie réelle. C’est ce que nous avons montré dans notre dernier exemple. Et enfin, les inéquations peuvent être représentées en utilisant des notations différentes. Et j’ai un peu parlé de cela avec notre notation d’intervalle. Nous avons vu les notations des ensembles et nous avons aussi la notation des inéquations elle-même.