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Vidéo de question : Trouver la vitesse moyenne de la bobine à partir de la f.é.m. induite Physique

Une bobine conductrice a un rayon 𝑟 = 18 cm et 25 spires. La bobine se déplace de telle sorte que la moitié de son aire se trouve dans un champ magnétique uniforme de force 0,12 T, dirigé hors du plan du schéma le long de l’axe de la bobine. Une force électromotrice de 0,33 V est induite pendant que la bobine se déplace. Quelle est la vitesse moyenne à laquelle la bobine se déplace?

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Transcription de vidéo

Une bobine conductrice a un rayon 𝑟 égal à 18 centimètres et 25 spires. La bobine se déplace de sorte que la moitié de son aire se trouve dans un champ magnétique uniforme de force 0,12 teslas, dirigé hors du plan du schéma le long de l’axe de la bobine. Une force électromotrice de 0,33 volts est induite pendant que la bobine se déplace. Quelle est la vitesse moyenne à laquelle la bobine se déplace?

Ici, nous avons une bobine conductrice circulaire qui était entièrement en dehors de ce champ magnétique uniforme. Mais ensuite, au fil du temps, la bobine a bougé de sorte que maintenant la moitié de sa surface se trouve dans ce champ. Cela signifie que le flux magnétique à travers la bobine a changé au cours du temps. Une loi de la physique connue sous le nom de loi de Faraday nous dit qu’un changement de flux magnétique à travers l’aire d’un conducteur induit une f.é.m., représentée par la lettre grecque 𝜀.

Parce qu’il y a un changement de flux magnétique à travers cette bobine conductrice lorsqu’elle se déplace à mi-chemin dans le champ magnétique, elle subira également une f.é.m. induite. La loi de Faraday nous dit que la puissance électromagnétique induite dans la bobine a à voir avec la vitesse à laquelle le flux magnétique à travers cette bobine change. Plus △𝜙 indice B est grand, plus la variation du flux magnétique est grande sur △𝑡, plus la variation du temps est grande, plus grande sera la f.é.m., 𝜀, induite dans la bobine. Cela signifie que plus cette bobine se déplace rapidement dans le champ, plus de force électromagnétique y sera induite.

On nous donne la force électromotrice, 0,33 volts. Et nous voulons utiliser ces informations pour déterminer la vitesse moyenne à laquelle cette bobine se déplace dans le champ. Pour commencer, enregistrons certaines des informations qui nous sont données. Le rayon de notre bobine conductrice 𝑟 est de 18 centimètres. La bobine a 25 spires. Nous appellerons ce nombre 𝑁. La force du champ magnétique uniforme est de 0,12 teslas. C’est 𝐵. Et enfin, la f.é.m. induite dans la bobine 𝜀 est de 0,33 volts.

Sachant tout cela, libérons de l’espace et commençons à réfléchir à la façon dont nous voulons utiliser la loi de Faraday pour trouver la vitesse moyenne de notre bobine conductrice. Rappelons que sur un intervalle de temps que nous avons appelé △𝑡, notre bobine conductrice se déplace d’une distance linéaire de 𝑟 égale au rayon de la bobine. Si nous rappelons que, en général, la vitesse moyenne d’un objet est égale à la distance parcourue par cet objet divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance, alors nous pouvons dire que la vitesse moyenne 𝑣 de notre bobine est égale au rayon de la bobine divisé par △𝑡. Cette vitesse moyenne de notre bobine correspond à une f.é.m. induite de 0,33 volts dans la bobine. Si la vitesse moyenne était plus rapide, nous obtiendrions une plus grande f.é.m. induite, et si elle était plus petite, la f.é.m. induite serait plus petite.

Nous avons maintenant une expression pour la vitesse moyenne 𝑣 de notre bobine. Mais nous ne voyons cette expression nulle part dans la loi de Faraday. Cependant, rappelons que le flux magnétique 𝜙 indice 𝐵 à travers une aire est égal à l’intensité du champ magnétique 𝐵 à travers cette aire multipliée par l’aire 𝐴. Cela signifie que nous pouvons remplacer 𝜙 indice 𝐵 par 𝐵 fois 𝐴 dans cette expression. Dans notre scénario particulier, nous savons que l’intensité du champ magnétique 𝐵 est constante. Cela ne change pas avec le temps. Mais la surface de notre bobine conductrice exposée à ce champ magnétique constant change avec le temps. Cela signifie que nous pouvons réécrire cette valeur △𝐵 fois 𝐴 comme l’intensité du champ magnétique 𝐵 fois △𝐴, la variation de la surface exposée à ce champ. Et quel est ce changement dans l’aire △𝐴?

Nous voyons que, au début, l’aire de notre bobine exposée au champ est nulle. La bobine n’est pas dans le champ. Cependant, après le déplacement de la bobine, la moitié de la section de la boucle est exposée au champ magnétique uniforme. Puisque l’aire d’un cercle entier est 𝜋 fois le rayon du cercle au carré, nous pouvons remplacer △𝐴 par la moitié de l’aire de notre cercle, un demi 𝜋𝑟 au carré, moins zéro, car il s’agit de l’aire initiale de notre bobine exposé au champ magnétique. La soustraction de zéro à notre numérateur ne change rien. Nous pouvons donc laisser cette partie de côté.

Et maintenant, si nous écrivons un demi 𝜋𝑟 au carré comme un demi fois 𝜋 fois 𝑟 fois 𝑟, notez que si nous prenons un de ces 𝑟 et que l’on divise par △ 𝑡, alors nous avons effectivement trouvé un endroit où la vitesse moyenne 𝑣 de notre bobine apparaît dans cette équation. Dans cette équation, nous considérons que la f.é.m. induite pourrait être positive ou négative. Autrement dit, sa direction pourrait être indiquée. Disons cependant que nous ne considérons que l’amplitude de cette f.é.m., auquel cas le signe négatif du côté droit de notre équation peut être supprimé.

Nous pouvons maintenant travailler avec cette équation pour trouver la vitesse moyenne 𝑣 de notre bobine. Si nous multiplions les deux côtés de notre équation par deux, annulant ce facteur à droite, puis divisons les deux côtés par 𝑁 fois 𝐵 fois 𝜋 fois 𝑟, annulant tous ces facteurs à droite, nous trouvons, en changeant les côtés de notre équation, que 𝑣 est égal à deux fois l’amplitude de 𝜀, c’est la f.é.m. induite dans notre bobine, divisée par le nombre de spires dans la bobine multipliés par la force du champ magnétique fois 𝜋 multiplié par le rayon de la bobine.

Et nous connaissons toutes les valeurs du côté droit de cette expression. La valeur de la f.é.m. induite est de 0,33 volts. Le nombre de spires dans la bobine 𝑁 est de 25. L’intensité du champ magnétique 𝐵 est de 0,12 teslas. Et le rayon de la bobine 𝑟 est de 18 centimètres.

Avant de calculer 𝑣, nous voulons effectuer un changement d’unités, en convertissant les unités de centimètres en mètres. Un centimètre, rappelons-le, est égal à un centième de mètre. Et donc pour convertir 18 centimètres en mètres, nous prendrons la virgule et nous la déplacerons de deux rangs vers la gauche. 18 centimètres est égal à 0,18 mètres. En entrant cette expression dans notre calculatrice, à deux décimales près, nous obtenons un résultat de 0,39 mètres par seconde. C’est la vitesse moyenne de notre bobine conductrice lorsqu’elle se déplace dans le champ magnétique.

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