Vidéo de la leçon: Addition et soustraction de matrices Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à additionner et soustraire des matrices en utilisant leurs propriétés d’addition et de soustraction.

On rappelle qu’une matrice est un tableau de nombres. Ceux-ci sont disposés en lignes et en colonnes, et chaque nombre est alors appelé un élément. La dimension d’une matrice précise le nombre de lignes et de colonnes, donc cette matrice à l’écran contient deux lignes et trois colonnes et est donc une matrice deux par trois. Avec cela à l’esprit, l’addition de matrices, et même la soustraction, est assez simple. Pour additionner ou soustraire une paire de matrices, il suffit d’additionner ou de soustraire les éléments correspondants. En revanche, on a besoin d’imposer une restriction. Prenons cette paire de matrices deux par deux. On peut voir que le premier élément de la somme de ces matrices est 𝑎 plus 𝑒. Le deuxième élément de la première ligne est 𝑏 plus 𝑓 et ainsi de suite.

Ainsi, il s’en suit que si l’on additionne les éléments des matrices, on doit s’assurer que chaque élément de la première matrice peut s’additionner à quelque chose dans la seconde et vice versa. On ne peut donc que additionner ou soustraire que des matrices de même dimension. Les matrices doivent absolument avoir le même nombre de lignes et de colonnes pour que l’on puisse effectuer une addition ou une soustraction entre elles. Maintenant, l’addition et la soustraction de matrices héritent beaucoup des propriétés de l’addition et la soustraction des nombres réels. En particulier, l’addition de matrices est commutative. C’est-à-dire qu’on peut effectuer l’opération dans n’importe quel ordre. Par ailleurs, il existe un élément neutre pour cette opération. C’est-à-dire que si on additionne une matrice à la matrice nulle, à savoir la matrice dont les éléments sont tous nuls, on obtient la matrice d’origine. Voyons donc un exemple vraiment simple.

Évaluer la matrice dont les éléments sont huit, 11, moins trois, sept plus la matrice dont les éléments sont 10, moins un, trois, un.

On sait que pour additionner des matrices, on additionne simplement les éléments correspondants. Et, bien sûr, cela ne fonctionne que si les matrices ont la même dimension, en d’autres termes, si chaque matrice a le même nombre de lignes et de colonnes. Ici, les deux matrices ont deux lignes et deux colonnes. Leur dimension est deux par deux. La dimension est la même, donc on sait que l’on peut additionner ces matrices. Par convention, on commence par l’élément de la première ligne et de la première colonne. On commence donc par huit dans la première matrice et 10 dans la seconde. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la première colonne de la somme de ces matrices sera huit plus 10, ce qui est bien sûr 18. Passons maintenant à l’élément de la première ligne, mais de la deuxième colonne. C’est 11 dans la première matrice et moins un dans la seconde. Leur somme est donc de 11 plus moins un. C’est la même chose que 11 moins un, qui est simplement 10.

Passons maintenant aux éléments de la deuxième ligne. Commençons par moins trois dans la première matrice et trois dans la seconde. Cette fois, leur somme est moins trois plus trois, ce qui vaut zéro. Et donc le premier élément de la deuxième ligne de la somme de ces matrices est zéro. Il reste une paire d’éléments à traiter, à savoir sept dans la première matrice et un dans la seconde. Et bien sûr, leur somme est de sept plus un, soit huit. La somme des deux matrices est ainsi la matrice dont les éléments sont 18, 10, zéro et huit.

Maintenant que nous avons vu comment additionner une paire de matrices, voyons comment soustraire une paire de matrices.

Trouver la matrice sept, neuf, moins cinq, zéro moins la matrice huit, moins cinq, deux, zéro.

On sait qu’on peut additionner ou soustraire des matrices tant que leur dimension est la même. On a une paire de matrices deux par deux ici, on peut donc passer à l’étape suivante. Pour soustraire une paire de matrices, il suffit de soustraire les éléments correspondants. Par convention, on commence par le premier élément de la première ligne. Donc, dans la première matrice, c’est sept et dans la deuxième matrice, c’est huit. L’élément correspondant dans le résultat de la différence de ces deux matrices est donc sept moins huit, ce qui vaut moins un. Bien sûr, la soustraction matricielle, tout comme la soustraction avec des nombres réels, n’est pas commutative. On ne peut pas changer l’ordre, on doit absolument faire sept moins huit plutôt que l’inverse.

On détermine l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne en calculant neuf moins moins cinq. Lorsqu’on soustrait un nombre négatif, cela revient à additionner un nombre positif. On calcule donc neuf plus cinq, ce qui vaut 14. Ensuite, calculons le premier élément de la deuxième ligne. Dans la première matrice, c’est moins cinq, et dans la deuxième, c’est deux. On a donc moins cinq moins deux, ce qui vaut moins sept. Le dernier élément de la différence des deux matrices est simplement zéro moins zéro, ce qui vaut bien sûr zéro. Et donc le résultat de la soustraction des deux matrices est une matrice deux par deux dont les éléments sont moins un, 14, moins sept, zéro.

Nous allons maintenant voir comment trouver une matrice inconnue en appliquant des opérations avec la matrice nulle.

Étant donné que 𝑋 plus la matrice dont les éléments sont moins six, moins huit, six, cinq est égal à zéro, où zéro est la matrice deux par deux nulle, trouver la valeur de 𝑋.

On commence, bien sûr, par rappeler ce que l’on veut dire par matrice nulle. Il s’agit d’une matrice carrée, en d’autres termes, une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes dont les éléments sont tous égaux à zéro. Et donc dans ce cas, la matrice deux par deux nulle est la matrice représentée ici. On peut donc réécrire l’équation matricielle comme 𝑋 plus moins six, moins huit, six, cinq égal à zéro, zéro, zéro, zéro. Maintenant, essayons de trouver la valeur de 𝑋. Donc, étant donné l’équation qu’on a maintenant écrite, que peut-on déduire de 𝑋? Eh bien, une chose que l’on sait est que si l’on additionne une paire de matrices, on additionne simplement les éléments correspondants. Et on ne peut le faire que si les matrices sont de même dimension. On ne peut pas additionner, par exemple, une matrice deux par deux à une matrice deux par trois, et on ne peut pas non plus additionner une matrice deux par deux à un nombre avec une seule valeur.

Et donc, pour que cette équation de matrice ait un sens, 𝑋 doit nécessairement être une matrice deux par deux. Ensuite, pour résoudre cette équation matricielle, on effectue un série d’étapes similaires à la résolution d’une équation normale. On soustrait cette matrice moins six, moins huit, six, cinq des deux côtés de l’équation. Lorsqu’on la soustrait du côté gauche, bien sûr, on se retrouve simplement avec la matrice 𝑋. Et donc 𝑋 vaut zéro, zéro, zéro, zéro moins la matrice dont les éléments sont moins six, moins huit, six, cinq. Ensuite, tout comme lorsque l’on additionne une paire de matrices on additionne leurs éléments, pour soustraire une paire de matrices, on soustrait leurs éléments un à un.

L’élément de la première ligne et de la première colonne est donc zéro moins moins six. Et soustraire un nombre négatif revient à additionner un nombre positif. Donc, c’est la même chose que faire zéro plus six, soit six. Ensuite, on calcule zéro moins moins huit. Encore une fois, c’est la même chose que zéro plus huit, ce qui fait huit. Passons maintenant aux éléments de la deuxième ligne, donc on calcule zéro moins six. Et, bien sûr, c’est tout simplement moins six. Enfin, on calcule zéro moins cinq, ce qui vaut moins cinq. Donc la matrice deux par deux 𝑋 vaut six, huit, moins six, moins cinq.

Cet exemple illustre quelque chose de vraiment important. On voit que l’addition de matrices satisfait la propriété de l’existence de l’opposé. L’opposé d’un nombre est ce que l’on additionne à ce nombre pour obtenir zéro, et généralement cela est trouvé en changeant le signe du nombre original. Si l’on regarde l’exemple ici, on peut voir que l’on a changé le signe de chaque élément. Et donc la matrice six, huit, moins six, moins cinq est l’opposé de la matrice moins six, moins huit, six, cinq.

Nous allons maintenant examiner un autre exemple impliquant la résolution d’une équation matricielle.

Considérons la matrice 𝐴 qui a les éléments moins un, moins un, cinq, 13, moins un, zéro. Supposons que la somme des matrices 𝐴 et 𝐵 est 𝐴 plus 𝐵 égale un, zéro, moins un, zéro, un, deux. Trouvez la matrice 𝐵.

On nous donne que la somme des matrices 𝐴 et 𝐵 est une matrice deux par trois. Elle comporte deux lignes et trois colonnes. On sait également que l’on peut additionner des matrices en additionnant simplement chacun de leurs éléments correspondants. Mais cela signifie que les matrices que l’on additionne doivent être de même dimension. Et ainsi, pour pouvoir additionner les matrices 𝐴 et 𝐵, où 𝐴 est également une matrice deux par trois et le résultat est une matrice deux par trois, 𝐵 doit également être une matrice deux par trois. Maintenant, on peut résoudre cette équation matricielle comme nous le ferions avec toute autre équation normale. On soustrait 𝐴 des deux côtés. Mais bien sûr, 𝐴 est une matrice, on peut donc écrire ceci comme 𝐵 est égal à un, zéro, moins un, zéro, un, deux moins la matrice dont les éléments sont moins un, moins un, cinq, 13, moins un et zéro.

Maintenant, tout comme lorsqu’on additionne des matrices, on peut soustraire des matrices en soustrayant chacun de leurs éléments correspondants. Et donc commençons par le premier élément de la première matrice et le premier de la seconde. C’est un moins moins un. Mais bien sûr, lorsque l’on soustrait un nombre négatif, cela revient à additionner un nombre positif. Donc, c’est comme calculer un plus un, qui vaut deux. Répétons ce processus avec le deuxième élément de chaque matrice. On calcule maintenant zéro moins moins un, ce qui est égal à zéro plus un, qui vaut un. Passons au troisième élément. C’est moins un dans la première matrice et cinq dans la seconde. Donc on fait moins un moins cinq, ce qui vaut moins six.

Nous allons maintenant répéter cela avec les éléments de la deuxième rangée. On a zéro moins 13, ce qui vaut moins 13. Ensuite, on calcule un moins moins un. Et, bien sûr, c’est la même chose que un plus un, qui vaut deux. Et enfin le calcul final est deux moins zéro, ce qui vaut, bien sûr, simplement deux. On a donc trouvé la matrice 𝐵. C’est la matrice deux par trois avec les éléments deux, un, moins six, moins 13, deux, deux.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment on peut étendre cela en travaillant avec plus de deux matrices.

Sachant que 𝐴 est égal à la matrice quatre, trois, moins un, trois. 𝐵 est moins un, zéro, deux, trois. 𝐶 est moins cinq, un, zéro, sept, trouver 𝐴 plus 𝐵 moins 𝐶.

Réécrivons cette expression en utilisant les matrices données. C’est quatre, trois, moins un, trois plus moins un, zéro, deux, trois moins moins cinq, un, zéro, sept. Maintenant, on sait comment additionner et soustraire des matrices. Tant que les matrices sont de même dimension, c’est-à-dire qu’elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes, on additionne ou on soustrait leurs éléments correspondants. Tout comme pour les nombres réels, l’addition est commutative. En d’autres termes, cela peut être fait dans n’importe quel ordre, mais la soustraction ne l’est pas. On sait également que lorsqu’on considère l’ordre des opérations, si on a une addition et une soustraction dans le même calcul, on se déplace simplement de gauche à droite. Commençons donc par prendre le premier élément de la première ligne de chaque matrice. C’est quatre, moins un et moins cinq.

Utilisons la notation d’indice pour définir le premier élément de la première ligne comme 𝑎 un un. On obtient donc quatre plus moins un moins moins cinq. Quatre plus moins un vaut trois, puis on soustrait moins cinq. Donc, c’est la même chose que d’additionner cinq. On obtient donc trois plus cinq, ce qui vaut huit. Voilà donc le premier élément de la première ligne. Ensuite, 𝑎 un deux est l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne. Donc, c’est trois plus zéro moins un. Trois plus zéro vaut trois, puis on fait trois moins un, ce qui est égal à deux. Passons maintenant à l’élément de la deuxième ligne et de la première colonne. C’est moins un plus deux moins zéro. Et puisque moins un plus deux vaut un, on obtient un moins zéro, ce qui vaut simplement un.

Le dernier élément est défini par 𝑎 deux deux. C’est l’élément de la deuxième ligne et de la deuxième colonne. C’est trois plus trois moins sept. Trois plus trois est égal à six, donc on calcule six moins sept ce qui donne moins un. Et donc tout ce qui reste à faire est de remettre cela sous sa forme matricielle. 𝐴 plus 𝐵 moins 𝐶 est la matrice deux par deux dont les éléments sont huit, deux, un, moins un.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que l’on peut additionner ou soustraire des matrices en additionnant ou en soustrayant les éléments correspondants. Nous avons également vu, cependant, que cela ne fonctionne que si les matrices ont la même dimension, en d’autres termes, si elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. Nous avons vu que l’addition de matrices est commutative. On peut le faire dans n’importe quel ordre, contrairement à la soustraction matricielle. Et tout comme pour les nombres réels, l’addition de matrices satisfait également la propriété d’existence d’un élément neutre et de l’opposé.