Vidéo question :: Déterminer la distance entre trois droites parallèles Mathématiques

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Déterminez, au centième près, la distance entre les droites parallèles d’équations : 𝑥 égale huit plus trois 𝑡, 𝑦 égale sept plus quatre 𝑡, 𝑧 égale six plus deux 𝑡 et 𝐫 égale deux, un, quatre plus 𝑡 fois moins trois, moins quatre , moins deux.

Nous avons donc ici ces deux droites parallèles. Admettons qu'il s'agisse de 𝐿 un et 𝐿 deux. On nous donne l'équation de la première droite sous ce que l'on appelle la forme paramétrique. Par contre, l'équation de la deuxième droite est écrite sous ce que l'on appelle la forme vectorielle. Dans l'énoncé du problème, il est question de trouver la distance entre ces deux droites, c'est-à-dire la distance minimale possible entre elles, c'est-à-dire leur distance perpendiculaire, que nous appellerons 𝑑. Pour déterminer 𝑑, on peut rappeler cette formule pour calculer la distance perpendiculaire entre deux droites parallèles. Dans ce cas, 𝐬 est un vecteur parallèle aux deux droites. Sur notre dessin, 𝐬 ressemblera donc à quelque chose comme ceci. Dans notre équation pour 𝑑, nous voyons aussi qu'il y a un second vecteur appelé 𝐏 un 𝐏 deux.

Nous connaissons donc un point sur notre première droite. Nous l'appellerons 𝐏 un. Nous connaissons aussi un point sur la deuxième droite, 𝐏 deux. Ce vecteur 𝐏 un 𝐏 deux ressemble à ceci. Nous voyons donc que pour calculer 𝑑 dans notre cas, nous devons connaître un point sur notre première droite, un point sur notre deuxième droite et un vecteur parallèle à ces deux droites. Examinons d'abord un point de notre première droite, 𝐏 un. Comme nous l'avons mentionné précédemment, l'équation de cette droite nous est donnée sous la forme paramétrique. Autrement dit, chaque coordonnée 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de cette droite fait l'objet d'une équation distincte. Rédigée de cette façon, il n'est pas très compliqué d'écrire la droite sous ce que l'on appelle la forme vectorielle.

Nous combinons les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 pour qu'elles deviennent les composantes d'un vecteur. Notre forme paramétrique nous indique que cette droite passe par le point de coordonnées huit, sept, six et est parallèle à un vecteur de composantes trois, quatre, deux. Ainsi, nous avons trouvé un point sur la première droite. En même temps, nous avons trouvé les composantes d'un vecteur parallèle à la première droite, ce qui signifie qu'il est également parallèle à la deuxième droite. Nous pouvons alors écrire que le vecteur 𝐬 a pour composantes trois, quatre et deux.

Maintenant, nous voulons trouver un point sur la deuxième droite. Puisque l'équation de la deuxième droite est donnée sous forme vectorielle, nous pouvons le faire assez rapidement. Nous avons donc un vecteur 𝐫, qui part de l'origine d'un repère de coordonnées et se dirige vers le point deux, un, quatre. Ce point appartient à notre droite 𝐿 deux et se déplace selon ce vecteur de haut en bas de cette droite. Nous avons donc les coordonnées d'un point sur la deuxième droite. Notez que l'on nous donne également un vecteur parallèle à la droite. Ce vecteur ressemble à ceci par rapport à notre vecteur 𝐬. Il est dans le sens inverse de 𝐬.

En tout cas, nous pouvons maintenant calculer le vecteur 𝐏 un 𝐏 deux. Celui-ci est égal à la forme vectorielle de la différence entre les coordonnées du point deux et du point un. Nous obtenons : moins six, moins six, moins deux. Maintenant que nous avons un vecteur 𝐏 un 𝐏 deux et un vecteur 𝐬 parallèle à nos droites, nous pouvons passer au calcul de 𝑑.

La prochaine étape consiste à calculer le produit vectoriel 𝐏 un 𝐏 deux vectoriel 𝐬. Il s'agit du déterminant de cette matrice trois fois trois, dont la première ligne contient nos vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et les deuxième et troisième lignes contiennent les composantes correspondantes de 𝐏 un 𝐏 deux et 𝐬. La composante 𝐢 de ce vecteur est égale au déterminant de cette matrice deux fois deux, soit moins quatre, tandis que la composante 𝐣 est moins le déterminant de cette matrice deux fois deux. Moins six fois deux moins deux moins moins deux fois trois donne moins six. Pour finir, la composante 𝐤 est égale au déterminant de cette matrice deux fois deux. Soit moins six. Voilà donc notre produit vectoriel. Nous pouvons l'écrire comme un vecteur dont les composantes sont : moins quatre, moins six, moins six.

Maintenant que nous savons cela, nous pouvons calculer la norme de ce produit vectoriel et la diviser par la norme de 𝐬. La norme de 𝐏 un 𝐏 deux vectoriel 𝐬 égale racine carrée de moins quatre au carré plus six au carré plus moins six au carré, alors que la norme de 𝐬 égale la racine carrée de trois au carré plus quatre au carré plus deux au carré. En saisissant toute cette expression dans notre calculatrice, au centième près, nous obtenons 1.74. Il s'agit de la distance et plus précisément de la distance minimale entre ces deux droites parallèles.