Transcription de la vidéo
Déterminez la suite arithmétique vérifiant 𝑎 un fois 𝑎 12 égale 1708, 𝑎 six fois 𝑎 31 moins 𝑎 sept fois 𝑎 26 égale 336 et tous les termes sont positifs.
Lorsqu’il s’agit d’une suite arithmétique, les indices nous indiquent le nombre de termes. Donc, 𝑎 un est le premier terme de cette suite. 𝑎 12 serait le douzième terme. Pour résoudre une suite arithmétique, nous avons besoin de deux éléments clés, 𝑎 un, le premier terme et 𝑑, la raison. Chaque terme peut être écrit en relation avec le premier terme et la raison. 𝑎 𝑛, où 𝑛 est le nombre de termes, est égal au premier terme plus 𝑛 moins un fois 𝑑.
Parce que la question nous ne donne pas la valeur d’aucun terme, on nous dit juste ces deux équations, nous voulons commencer par écrire tout en relation avec le premier terme et la raison. Nous savons que le sixième terme multiplié par le 31e terme moins le septième terme multiplié par le 26e terme est égal à 336. Mais nous voulons réécrire le sixième terme comme premier terme plus cinq fois la raison. Nous pouvons réécrire le 31e terme comme le premier terme plus 30 fois la raison. Nous écrirons le septième terme comme 𝑎 un plus six 𝑑 et le 26e terme comme 𝑎 un plus 25𝑑. Et nous savons que tout cela est égal à 336.
À ce stade, nous allons devoir faire un peu de développement. Nous allons multiplier 𝑎 un fois 𝑎 un, qui est 𝑎 un au carré. Ensuite, 𝑎 un fois 30𝑑 correspond à 30 𝑎 un 𝑑. Cinq 𝑑 fois 𝑎 un équivaut cinq 𝑎 un 𝑑. Cinq d fois 30𝑑 est 150𝑑 au carré. Et nous allons soustraire ce que nous développons des deux termes suivants. 𝑎 un fois 𝑎 un est 𝑎 un au carré. 𝑎 un fois 25𝑑 est 25𝑎 un 𝑑. Six 𝑑 fois 𝑎 un est six 𝑎 un 𝑑. Et six 𝑑 fois 25𝑑 font 150𝑑 au carré, le tout égal à 336.
Nous pouvons combiner les termes similaires, 30𝑎 un 𝑑 plus cinq 𝑎 un 𝑑 est 35𝑎 un 𝑑. Et 25𝑎 un 𝑑 plus six 𝑎 un 𝑑 est 31𝑎 un 𝑑. Maintenant, rappelez-vous que nous soustrayons, et nous devons distribuer cette soustraction aux trois termes entre parenthèses. Donc, nous aurons moins 𝑎 un au carré moins 31𝑎 un 𝑑 moins 150𝑑 au carré. Et nous voyons que certains de ces termes commencent à disparaitre. 𝑎 un au carré moins 𝑎 un au carré disparaît. Et plus 150𝑑 au carré moins 150𝑑 au carré s’annulent également.
À partir de là, nous pouvons soustraire 31𝑎 un 𝑑 de 35𝑎 un 𝑑, ce qui nous donne quatre 𝑎 un 𝑑 égale 336. Donc, nous divisons les deux membres par quatre. Et nous obtenons 𝑎 un 𝑑 est égal à 84. À ce stade, vous vous demandez peut-être ce que cela a à voir avec la recherche de la suite. Rappelez-vous, ces termes représentent quelque chose. 𝑎 un est le premier terme et 𝑑 est la raison. Donc, à partir de cette équation, nous l’avons réduite à dire que la raison multipliée par le premier terme est égale à 84.
Malheureusement, cette information n’est pas suffisante pour nous permettre de déterminer la suite. Mais heureusement nous avons une équation de plus. Nous savons également que 𝑎 un fois 𝑎 12 est égal à 1708. Nous voulons suivre le même processus ici. Nous voulons réécrire le douzième terme en fonction du premier terme et de la raison. Le douzième terme peut être réécrit comme le premier terme plus 11 fois la raison. Nous devrons multiplier 𝑎 un fois les deux termes entre parenthèses. 𝑎 un au carré plus 11𝑎 un 𝑑 est égal à 1708.
Et nous savons ce que vaut 𝑎 un fois 𝑑. C’est égal à 84. Donc, nous insérons 84. 11 fois 84 est égal à 924. Et donc, nous soustrayons 924 des deux membres de l’équation. Et nous découvrons que 𝑎 un au carré, le premier terme au carré, est égal à 784. Donc, nous prenons la racine carrée des deux membres. Et la racine carrée de 784 est plus ou moins 28. Mais notre question précisait que tous les termes sont positifs, ce qui signifie que pour nous, le premier terme 𝑎 un est plus 28.
Rappelez-vous, au début, pour trouver la suite, nous avons besoin du premier terme et de la raison. Nous n’avons pas encore la raison. Mais nous nous souvenons que le premier terme multiplié par la raison est 84. Et maintenant que nous savons que le premier terme est 28, nous pouvons dire que 28 fois la raison doit être égale à 84. Donc, nous divisons les deux membres de l’équation par 28. La raison est égale à 84 divisé par 28, ce qui équivaut à trois.
Et nous avons trouvé les deux informations dont nous avons besoin pour trouver cette suite. Le premier terme est 28. Et pour passer au terme suivant, vous devez ajouter 𝑑, donc ajouter la raison. Nous savons que c’est trois. 28 plus trois égale 31. 31 plus trois égale 34. Donc, nous indiquons que la suite étant données ces conditions est 28, 31, 34 etc.
