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Vidéo de question : Utiliser les propriétés des déterminants pour déterminer un déterminant à partir d’un autre Mathématiques

Soit l’équation | 6, −20, 11 et −14, −18, 14 et −16, 1, 2 | = 298. Trouvez, sans développer, le déterminant | 2, −16, 1 et 14, −14, −18 et 11, 6, −20 |.

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Transcription de vidéo

Soit l’équation telle que le déterminant de la matrice dont les éléments sont six, moins 20, 11; moins 14, moins 18, 14; moins 16, un, deux est égal à 298. Trouvez sans développer, le déterminant de la matrice dont les éléments sont deux, moins 16, un, 14, moins 14, moins 18, 11, six, moins 20.

Afin de trouver le déterminant donné, nous pouvons utiliser la propriété des déterminants qui dit que si deux lignes ou colonnes d’une matrice , 𝑛 sont permutées, alors le déterminant de la matrice change de signe. Dans l’équation donnée, si nous appelons 𝐴 la matrice, alors le déterminant de 𝐴 est égal à 298.

Si nous appelons maintenant 𝐵 la matrice dont nous voulons calculer le déterminant, nous remarquons que, bien qu’à des emplacements différents, les éléments de la première et de la troisième ligne de B sont les mêmes que ceux de la troisième et de la première ligne de 𝐴. Ainsi, notre première étape consiste à permuter la ligne trois et la ligne un de la matrice 𝐴. Et d’après la propriété des déterminants, puisque nous avons permuté deux lignes, nous devons changer le signe de notre déterminant. Notre déterminant est donc maintenant égal à moins 298.

Ensuite, si nous permutons la deuxième et la troisième colonne, nous devons à nouveau changer le signe de notre déterminant. Ainsi, notre déterminant devient à nouveau égal à 298. Finalement, si nous permutons la première et la deuxième colonne, nous devons changeons encore une fois le signe de notre déterminant. Il est donc égal maintenant à moins 298.

Ainsi, en permutant des lignes et des colonnes, nous avons trouvé le déterminant de la matrice 𝐵. Le déterminant de la matrice donnée est donc égal à moins 298. Et il est à noter que nous aurions obtenu le même résultat quel que soit l’ordre dans lequel nous aurions effectué ces opérations.

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