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Vidéo de question : Calcul de l’angle entre deux vecteurs donnés Mathématiques

Déterminez la mesure de l'angle 𝜃 compris entre les vecteurs 𝐕 = <5, 1, −2> et 𝐖 = <4, −4, 3>. Arrondissez la réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Calculez l’angle 𝜃 entre les vecteurs 𝐕 cinq, un, moins deux et 𝐖 quatre, moins quatre, trois. Arrondissez la réponse au centième près.

Dans cette question, on nous demande de déterminer l’angle 𝜃 entre deux vecteurs, le vecteur 𝐕 et le vecteur 𝐖, dont on nous donne les composantes. Il faut arrondir la valeur de 𝜃 au centième près. Pour répondre à cette question, rappelons comment on trouve l’angle entre deux vecteurs. Rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, alors le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁, divisé par la norme du vecteur 𝐀 fois la norme du vecteur 𝐁. Il convient de souligner que la réciproque est vraie. Si 𝜃 vérifie cette équation, alors 𝜃 est un angle entre les vecteurs 𝐀 et 𝐁.

Mais par convention, lorsque nous parlons de l’angle entre deux vecteurs, nous parlons du plus petit angle non négatif entre ces deux vecteurs. Dans ce cas, nous pouvons le trouver en prenant la réciproque du cosinus de chaque côté de l’équation. Ça veut donc dire que, pour trouver l’angle entre deux vecteurs, il faut trouver leur produit scalaire et la norme des deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Donc, pour trouver l’angle 𝜃 entre les deux vecteurs 𝐕 et 𝐖, il faut calculer le produit scalaire de 𝐕 et 𝐖, la norme du vecteur 𝐕 et la norme du vecteur 𝐖. Commençons par calculer le produit scalaire du vecteur 𝐕 par le vecteur 𝐖.

Pour ce faire, rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits des composantes correspondantes des deux vecteurs. Dans ce cas, c’est cinq multiplié par quatre plus un multiplié par moins quatre plus moins deux multiplié par trois, ce qui, en calculant cette expression, est égal à 10. Ensuite, il faut calculer la norme des vecteurs 𝐕 et 𝐖. Pour ce faire, rappelons que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Autrement dit, la norme du vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.

Nous pouvons l’utiliser pour trouver la norme du vecteur 𝐕. C’est la norme du vecteur cinq, un, moins deux. La norme du vecteur 𝐕 est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. La norme de 𝐕 est la racine carrée de cinq au carré plus un carré plus moins deux au carré, et, en calculant l’expression à l’intérieur du symbole racine carrée, nous obtenons racine carrée de 30. Nous pouvons ensuite faire exactement la même chose pour trouver la norme du vecteur 𝐖. Il est égal à la racine carrée de quatre au carré plus moins quatre au carré plus trois au carré, qui se simplifie et donne la racine carrée de 41. Nous pouvons maintenant trouver la valeur de 𝜃.

Premièrement, nous savons que, puisque 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐕 et 𝐖, le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire des vecteur 𝐕 et 𝐖 divisé par la norme du vecteur 𝐕 fois la norme du vecteur 𝐖. Nous pouvons alors substituer les valeurs trouvées pour le produit scalaire des vecteurs 𝐕 et 𝐖 et les normes des vecteurs 𝐕 et 𝐖. Nous obtenons cosinus de 𝜃 égale 10 divisé par la racine de 30 multiplié par la racine de 41. Nous en déduisons la valeur de 𝜃 en prenant la réciproque du cosinus de chaque côté de cette équation. Pour rappel, nous obtenons le plus petit angle non négatif entre les deux vecteurs 𝐕 et 𝐖. Nous obtenons que 𝜃 est égal à la réciproque du cosinus de 10 divisé par la racine de 30 fois la racine de 41.

Enfin, nous pouvons exprimer cette valeur en degrés. Nous obtenons 𝜃 égale 73,433 degrés et quelques. Mais rappelez-vous, l’énoncé demande d’arrondir la réponse au centième. Pour ce faire, regardons la troisième décimale, qui est trois. Comme ce nombre est inférieur à cinq, il faut donc arrondir à la valeur inférieure. Et on obtient la réponse finale. L’angle 𝜃 entre les vecteurs 𝐕 cinq, un, moins deux et 𝐖 quatre, moins quatre, trois est 73,43 degrés, au centième près.

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