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Vidéo de la leçon : Vitesse relative Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la vitesse relative d’une particule par rapport à une autre et à calculer un vecteur vitesse relatif.

20:50

Transcription de vidéo

Le sujet de cette vidéo est le vecteur vitesse relative. Le vecteur vitesse relative permet de décrire le mouvement d’un objet en mouvement par rapport à un autre objet en mouvement. Par exemple, cela peut servir à comprendre le mouvement d’une de ces voitures de course par rapport à une autre d’entre elles.

Pour commencer, imaginons que l’on a deux particules, une ici et une là, et que chacune de ces particules est en mouvement. On peut imaginer que la particule de droite se déplace vers la droite à cinq mètres par seconde, tandis que celle de gauche se déplace vers la gauche à 10 mètres par seconde. Ce que l’on a fait ici est de définir les vitesses de ces deux particules par rapport à ce que l’on peut appeler leur environnement. Nous imaginons un référentiel fixe, le sol, par exemple, et nous avons mesuré les vitesses de chaque particule par rapport à lui.

Puisque cette leçon traite de vecteurs vitesses, et que l’on sait que les vecteurs ont à la fois une norme, une direction et un sens, définissons un sens positif du mouvement pour ces deux particules. Disons que toute particule se déplaçant vers la droite se déplace dans le sens positif. Par conséquent, le vecteur vitesse de cette particule est donc plus cinq mètres par seconde, tandis que la particule de gauche a un vecteur vitesse négative. Supposons également que ces particules sont suffisamment grosses pour que l’on puisse se tenir debout sur elles. Prenant le point de vue de la particule de gauche, on se demande quel est le vecteur vitesse de la particule de droite. En d’autres termes, quel est le vecteur vitesse de cette particule par rapport à celle sur laquelle on se trouve ?

En soulevant cette question, on modifie de fait le référentiel. Auparavant, nous avions défini les vecteurs vitesses de ces deux particules par rapport au référentiel du sol. Mais maintenant, on dit que nous-mêmes, puisque l’on se trouve sur la particule gauche, sommes le référentiel. Comment perçoit-on alors le vecteur vitesse de la particule de droite ?

Eh bien, on sait que ce n’est plus cinq mètres par seconde. Ça, c’était le vecteur vitesse de cette particule par rapport au sol, mais pas celui que l’on perçoit lorsqu’on s’en éloigne. Le vecteur vitesse que l’on perçoit pour la particule de droite, appelons-le 𝑉 indice D, est égal au vecteur vitesse de cette particule par rapport au sol moins le vecteur vitesse de la particule sur laquelle on se trouve, par rapport au sol. Cinq mètres par seconde moins moins 10 mètres par seconde donne un résultat positif de 15 mètres par seconde. Donc, si nous sommes immobiles sur la particule de gauche, alors celle de droite semble s’éloigner de nous avec un vecteur vitesse positive de 15 mètres par seconde.

Mais maintenant, voyons un autre point. Disons que l’on change de particule, c’est-à-dire que maintenant, on se tient sur celle de droite. On peut s’attendre à ce que si, de ce point de vue, on calcule le vecteur vitesse de la particule de gauche, on obtient une réponse de plus 15 mètres par seconde. Mais allons voir. 𝑉 indice G est égal au vecteur vitesse de la particule de gauche par rapport au sol, soit moins 10 mètres par seconde, moins le vecteur vitesse de la particule sur laquelle nous nous trouvons, plus cinq mètres par seconde. On trouve une réponse de moins 15 mètres par seconde.

Ce que nous voyons, c’est que le vecteur vitesse relative entre deux particules dépend du point de vue que l’on prend. Et cela dépend aussi du fait que le vecteur vitesse a un sens.

Voyons maintenant un scénario différent où l’on a ici un bateau qui traverse un lac. Disons que ce bateau a un vecteur vitesse de 10 milles par heure. Et lorsque le bateau se déplace, nous traversons son pont dans le même sens que son mouvement à un vecteur vitesse de trois milles par heure. Tout comme auparavant avec les particules en mouvement, dans ce cas, on peut effectuer différents calculs du vecteur vitesse relative. Par exemple, on peut trouver notre vecteur vitesse par rapport au bateau.

Si l’on suppose, comme précédemment, que le mouvement vers la droite est positif, alors c’est assez facile car notre vecteur vitesse par rapport au bateau est donnée. Mais disons qu’au lieu de cela, on souhaite calculer notre vecteur vitesse par rapport au rivage. Pour résoudre ce problème, on doit prendre en compte le vecteur vitesse du bateau par rapport au rivage ainsi que notre vecteur vitesse par rapport au bateau. Ce que l’on fait, c’est additionner ensemble ces deux vecteurs vitesses, plus 10 et plus trois milles par heure, de sorte que notre vecteur vitesse par rapport au littoral que nous approchons soit de 13 milles par heure.

On voit donc que, dans cet exemple, on a additionné les deux vecteurs vitesses, alors que dans le cas précèdent on a fait la soustraction des vecteurs vitesses des deux particules. Cela nous permet de voir que lorsque l’on calcule des vitesses relatives, on doit examiner chaque situation individuellement. Et on doit faire attention à respecter les conventions de signes que l’on établit pour un scénario donné.

Jusqu’à présent, on a trouvé les vecteurs vitesses relatives, telles que 𝑉 indice R dans cet exemple, de façon algébrique. Mais il est également possible de le faire en utilisant des vecteurs. Pour le scénario de bateau, on peut définir un axe. Disons que par rapport à l’origine de cet axe, on a un vecteur représentant notre vecteur vitesse par rapport au bateau. Et puis à cela, on ajoute un deuxième vecteur représentant le vecteur vitesse du bateau par rapport au rivage.

La combinaison de ces vecteurs nous donne graphiquement le vecteur résultant. Et si l’on réfléchit bien, on peut adopter une approche similaire ici avec les deux particules en mouvement relatif. Disons que l’on revient sur la particule de gauche et que l’on souhaite calculer le vecteur vitesse relative de celle de droite. Cela signifie que l’on prend le vecteur positif de cinq mètres par seconde pour la particule de droite et que l’on y ajoute la norme du vecteur de notre référentiel, la particule de gauche. On ajoute donc un vecteur de norme 10 mètres par seconde, ce qui nous donne la résultante de 15 mètres par seconde.

Maintenant, inversons la situation et disons que l’on se trouve sur la particule de droite. Pour trouver graphiquement la vitesse relative de la particule de gauche, on prend le vecteur vitesse de la particule de gauche, moins 10 mètres par seconde, et on y ajoute la contribution dans ce sens de notre vitesse de cinq mètres par seconde. Lorsque l’on ajoute cela dans le sens négatif, cela pointe dans le même sens, ce qui nous donne le résultat que l’on a trouvé précédemment, moins 15 mètres par seconde.

Notons que, jusqu’à présent, nous n’avons pas écrit de règles sur le calcul du vecteur vitesse relative. En effet, en ce qui concerne le vecteur vitesse relative, chaque situation doit être examinée individuellement. Une compréhension intuitive de ce que l’on essaie de calculer par rapport à quel référentiel est très utile. Ce genre d’intuition se développe par la pratique. Voyons maintenant quelques exemples d’exercices.

Une voiture se déplace sur une route droite à 84 kilomètres par heure. Et dans le sens opposé, une moto se déplace à 45 kilomètres par heure. Supposons que le sens de la voiture soit positif. Trouver le vecteur vitesse de la moto par rapport à la voiture.

Alors, disons que ceci est la route droite et que cela est la voiture qui avance, disons, vers la droite à 84 kilomètres par heure, ce qui signifie que la moto se déplace vers la gauche à 45 kilomètres par heure. On nous dit que le sens de la voiture à droite est positif. Et on souhaite trouver le vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture.

Lorsque l’on dit relatif par rapport à la voiture, on veut dire que l’on traite essentiellement la voiture comme si elle était stationnaire. Et on souhaite trouver le vecteur vitesse de la moto par rapport à ce point d’observation stationnaire. Autrement dit, si la voiture avait un vecteur vitesse de zéro, quel serait le vecteur vitesse de la moto ?

Notez qu’on connaît les vecteurs vitesses de ces deux véhicules par rapport à la route stationnaire. Par rapport à la route, la voiture a un vecteur vitesse positive de 84 kilomètres par heure. Et parce qu’elle se déplace dans un sens qu’on a définie comme négatif, la moto a un vecteur vitesse par rapport à la route de moins 45 kilomètres par heure.

Maintenant, comme nous l’avons mentionné, trouver le vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture, appelons-le 𝑉 indice mv, implique d’imaginer que la voiture est à l’arrêt ou a une vitesse nulle, puis, dans ce référentiel, de trouver le vecteur vitesse résultant de la moto. Étant donné que le vecteur vitesse de la voiture est de 84 kilomètres par heure, on peut voir que pour que ce nombre soit égal à zéro, il faut soustraire ce nombre à lui-même pour qu’ainsi, le vecteur vitesse de la voiture soit nul. Cela nous indique qu’on doit appliquer la même opération au vecteur vitesse de la moto par rapport à la route pour trouver son déplacement dans le référentiel où la voiture, qu’on a pris comme point de référence, est stationnaire. 𝑉 indice mv est alors moins 45 kilomètres par heure moins 84 kilomètres par heure, ce qui vaut moins 129 kilomètres par heure. C’est le vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture.

Voyons maintenant un autre exemple.

Un navire navigue avec un vecteur vitesse uniforme directement vers un port situé à 144 kilomètres. Un avion de patrouille survole le navire, se déplaçant dans le sens opposé à 366 kilomètres par heure. Lorsque l’avion mesure la vitesse du navire, celui-ci semble se déplacer à 402 kilomètres par heure. Déterminer le temps nécessaire au navire pour atteindre le port.

D’accord, disons que ce navire traverse la mer salée et se dirige vers le port. Ce port est à une distance, on nous dit, de 144 kilomètres. Et pendant que tout cela se passe, un avion de patrouille volant dans le sens opposé au navire passe au-dessus du navire et mesure la vitesse du navire par rapport à l’avion de 402 kilomètres par heure. À partir de ces informations, on souhaite trouver le temps nécessaire pour que le navire atteigne le port.

Pour commencer la résolution de l’exercice, rappelons que lorsqu’un objet se déplace à une vitesse constante, on peut calculer cette vitesse v en divisant la distance parcourue par l’objet par le temps nécessaire pour parcourir cette distance. Et notez que l’on peut réorganiser cette équation de sorte qu’elle donne 𝑡 est égal à 𝑑 divisé par v.

Dans notre scénario, c’est un temps que l’on souhaite trouver. Et on nous donne une distance. Il y a 144 kilomètres entre le navire et le port. Mais on ne connaît pas encore la vitesse du navire. Appelons cette vitesse V indice n. Et bien que l’on ne connaisse pas sa valeur, voici ce que l’on sait. L’avion de patrouille volant dans le sens opposé à 366 kilomètres par heure a l’impression que le navire se déplace à 402 kilomètres par heure. En d’autres termes, si l’on prend la vitesse du navire V indice n et que l’on ajoute à cela la vitesse réelle de l’avion, on obtient la vitesse perçue du navire par rapport à l’avion.

Et notez que l’on ajoute ces deux valeurs plutôt qu’on les soustrait parce que le navire et l’avion se rapprochent l’un de l’autre. Cette équation nous dit que si on soustrait 366 kilomètres par heure des deux côtés, on a que V indice n est égal à 402 kilomètres par heure moins 366 kilomètres par heure, ce qui signifie que la vitesse du navire par rapport à l’eau est de 36 kilomètres par heure. Et c’est la vitesse qu’on souhaite utiliser dans notre équation pour trouver le temps nécessaire pour que le navire atteigne le port.

Maintenant que nous savons que V indice n vaut 36 kilomètres par heure, on peut écrire que le temps nécessaire pour que le navire atteigne le port est égal à la distance qu’il doit parcourir divisé par V indice n. Soit 144 kilomètres divisés par 36 kilomètres par heure. Et notez que les unités de kilomètres s’annulent, alors que les unités d’heures se déplacent vers le numérateur. Dans 144 il y a 36 exactement quatre fois. La réponse est donc que le navire met quatre heures à atteindre le port.

Voyons maintenant un exemple de mouvement en deux dimensions.

Une certaine rivière a une largeur d’un demi-mille, et un courant qui coule à deux milles par heure d’est à l’ouest. Un homme nage directement vers la rive opposée de la rive sud de la rivière à une vitesse de trois milles par heure. Trouver la distance qu’il parcourt en nageant d’un rivage à l’autre. À quelle distance le long de la rivière se trouve-t-il quand il finit de traverser la rivière ?

Alors, si l’on dit que ceci sont les quatre sens d’une boussole, on peut dire que si ceci est la rivière, avec un courant d’est à l’ouest, alors l’homme part de la rive sud et commence à nager vers la rive nord. On nous dit que l’homme nage dans cette direction et ce sens, directement vers la rive opposée. Mais grâce au courant dans la rivière, on sait qu’il ne suivra pas une droite comme celle-ci. En effet, le courant le pousse de plus en plus vers l’aval au fil du temps. Il suit donc un chemin ressemblant à ceci. On souhaite savoir quelle distance l’homme parcourt en nageant, c’est-à-dire cette distance. Et deuxièmement, on souhaite savoir à quelle distance il atteint la rive opposée. Cela est indiqué par cette longueur ici.

Appelons la distance totale parcourue par le nageur 𝑑 indice t et la distance sur le rivage qu’il arrive 𝑑 indice r. Et notez que si l’on considère le troisième côté de ce triangle rectangle, cette distance nous est donnée dans l’énoncé du problème. C’est un demi-mille. On a donc ce triangle rectangle avec des distances sur chacun de ses côtés. Et pour l’instant, on connaît une de ces distances, et on souhaite trouver les deux autres. En plus de ces informations de distance, on nous donne également des informations sur les vitesses : d’abord, le courant circule de deux milles par heure d’est à l’ouest et l’homme nage directement à travers la rivière à trois milles à l’heure.

On peut écrire ces deux vecteurs vitesses comme ceci. Et notez que ceux-ci se rencontrent également à un angle droit. Cela suggère que même si l’homme nage directement à travers la rivière à trois milles à l’heure, parce qu’il est également poussé en aval par le courant, sa vitesse réelle lors de son déplacement, appelons-la simplement v, est supérieure à la vitesse du courant ou de sa vitesse de nage de trois mille par heure.

En effet, comme il s’agit d’un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver v. Avant de faire cela, faisons un peu de place sur l’écran. On peut rappeler que le théorème de Pythagore nous dit que, pour un triangle rectangle de côtés 𝐴, 𝐵 et 𝐶, où 𝐶 est l’hypoténuse, 𝐶 au carré est égal à 𝐴 au carré plus 𝐵 au carré.

En regardant le triangle rectangle contenant les vecteurs vitesse, où on souhaite trouver la vitesse v, on peut donc voir que v au carré est égal à deux carrés plus trois carrés, où nous laissons ici les unités de milles par heure, ce qui nous dit que v est égal à la racine carrée de deux au carré plus trois au carré, qui est la racine carrée de quatre plus neuf, ou simplement la racine carrée de 13. Donc, cet homme se déplace à racine carrée de 13 milles à l’heure lorsqu’il traverse la rivière.

Et sachant cela, rappelons maintenant que l’on cherche la distance totale qu’il parcourt, que l’on appelle 𝑑 indice t, ainsi que la distance qu’il a parcourue le long de la rivière, que l’on appelle 𝑑 indice r. Commençons par trouver 𝑑 indice 𝑡. Et pour ce faire, on peut reconnaître que ce triangle rectangle ici avec les distances est similaire à ce triangle rectangle ici avec les vitesses. La raison en est que tous ces mouvements et toutes ces vitesses se produisent sur le même intervalle de temps. C’est la quantité de temps qu’il faut à l’homme pour nager de la rive sud à la rive nord. Et cela signifie que si l’on prend le rapport de deux des côtés du triangle de distance, disons le rapport de 𝑑 indice 𝑡 à un demi-mille, alors ce rapport est égal au rapport correspondant dans le triangle de vitesse. Ce serait le rapport des vitesses des côtés correspondants, cette vitesse sur celle-ci.

Nous écrivons donc cela comme une fraction sans les unités. Et comme nous l’avons mentionné, parce que ces deux triangles sont semblables, cette égalité est valable. Si nous multiplions chaque côté de cette équation par la distance d’un demi-mille, cette distance s’annule à gauche. Et on constate que 𝑑 indice t est égal à un sixième fois la racine carrée de 13 milles. Il s’agit de la distance totale parcourue par l’homme en traversant la rivière.

Gardons cette réponse sur le côté. Et maintenant, on souhaite trouver 𝑑 indice r. Rappelons que c’est la distance en aval où l’homme arrive sur la rive opposée. Et encore une fois, on peut utiliser le fait que ces deux triangles sont semblables. On peut dire que 𝑑 indice r divisé par un demi-mille, c’est-à-dire le rapport de cette longueur sur cette longueur, est égal, sur le triangle de vitesse, au rapport de cette longueur sur celle-ci. Une fois de plus, en laissant de côté les unités, cela revient à deux tiers.

En prenant cette équation, si nous multiplions les deux côtés par un demi-mille, on constate que 𝑑 indice r se simplifie en un tiers de mille. C’est la distance en aval entre là où l’homme commence son trajet et là où il arrive sur la côte nord.

Terminons maintenant notre leçon en passant en revue quelques points clés. En parlant de vecteurs vitesses relatives, on a rappelé que les vecteurs vitesses sont des quantités vectorielles, ce qui signifie que leur direction et leur sens doivent être prises en compte. Lors de la résolution des vecteurs vitesses relatives, une convention de signe est donc importante à établir, que nous le fassions nous-mêmes ou que cela soit fait pour nous dans un énoncé de problème. Et enfin, on a vu que les vecteurs vitesses relatives peuvent être calculés algébriquement ou graphiquement.

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