Vidéo de la leçon: Notation Sigma Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à exprimer une série à l’aide de la notation sigma et à développer puis calculer une série représentée en notation sigma. Commençons par quelques définitions clés. La notation sigma est un moyen concis et pratique de représenter des sommes longues. Par exemple, on souhaite souvent additionner un certain nombre de termes comme indiqué, où il y a un motif évident dans les termes de la somme. Le premier exemple est la somme des cinq premiers nombres positifs, et le second est la somme des six premiers nombres carrés. Plus généralement, si l’on considère la suite de nombres 𝑢 un, 𝑢 deux, 𝑢 trois, et ainsi de suite jusqu’à 𝑢 𝑛, alors on peut écrire la somme de ces nombres comme 𝑢 un plus 𝑢 deux plus 𝑢 trois, et ainsi de suite, jusqu’à 𝑢 𝑛.

Si l’on suppose que 𝑢 représente le terme général, cela peut être réécrit comme la somme de 𝑢 pour allant de un à 𝑛. Le symbole ici est la lettre majuscule grecque 𝛴, qui correspond à la lettre S et fait donc référence à la lettre initiale du mot somme. Cette expression signifie la somme de tous les termes 𝑢 où prend des valeurs de un à 𝑛. Il est important de noter que la limite inférieure ne doit pas nécessairement être égale à un. On peut également écrire la somme de 𝑢 où prend des valeurs de 𝑎 à 𝑏. 𝑎 est la limite inférieure et 𝑏 est la limite supérieure. On va maintenant considérer quelques exemples où l’on doit développer et évaluer une suite donnée avec la notation sigma.

Développer puis évaluez la somme de deux puissance moins 52, où prend des valeurs de un à quatre.

Comme peut prendre des valeurs de un à quatre, on sait qu’il y aura quatre termes dans la suite. Ce seront les valeurs lorsque est égal à un, deux, trois et quatre. La lettre grecque 𝛴 dans la question signifie la somme. On doit donc trouver la somme de ces quatre termes. Lorsque est égal à un, on a deux puissance un moins 52. Lorsque est égal à deux, on a deux au carré moins 52. Lorsque est égal à trois, on a deux au cube moins 52. Et enfin, lorsque est égal à quatre, on a deux puissance quatre moins 52. On doit trouver la somme de ces quatre termes.

Deux moins 52 est égal à moins 50. Comme deux au carré est égal à quatre, le deuxième terme est moins 48. Le troisième terme est moins 44, et le quatrième terme est moins 36. La somme de ces quatre valeurs négatives est moins 178. La somme de deux puissance moins 52 de égal un à égal quatre est moins 178.

Dans la prochaine question, on va examiner une expression plus compliquée où le premier terme ne correspond pas à égale un.

Évaluer la somme de un quart multiplié par deux puissance moins un où prend des valeurs de quatre à neuf.

Les valeurs quatre et neuf sont les limites inférieure et supérieure de , respectivement. La lettre grecque 𝛴 signifie la somme. Dans cette question, on doit trouver la somme de six termes lorsque est égal à quatre, cinq, six, sept, huit et neuf. Si l’on regarde l’expression, on remarque que le un quart est une constante. Cela signifie qu’on peut réécrire l’expression comme indiqué : un quart multiplié par la somme de deux puissance moins un où prend des valeurs de quatre à neuf. On doit maintenant substituer chacune des valeurs de dans l’expression. Quatre moins un est égal à trois. On a donc deux au cube. Lorsque est égal à cinq, on a deux puissance quatre. En répétant ce processus, on a les six termes comme indiqué.

On doit trouver la somme de ceux-ci, puis multiplier la réponse par un quart. Deux au cube est égal à huit, deux puissance quatre est égal à 16, et ainsi de suite. Comme la somme de ces six nombres entre parenthèses est égale à 504, on doit calculer le quart de 504. Cela vaut 126. La somme d’un quart multiplié par deux puissance moins un où prend des valeurs de quatre à neuf est 126.

Le prochain exemple est une question piège. Dans toutes les questions que l’on a vues jusqu’à présent, on a eu une variable dans l’expression que nous essayons de sommer. Cependant, dans ce cas, on a juste une constante, moins 25.

Évaluez la somme de moins 25 où prend des valeurs de deux à six.

Comme la valeur que l’on essaie de sommer ici est une constante, on pourrait penser que la réponse est simplement moins 25. Cependant, la notation sigma ou somme indique que la suite a cinq termes, lorsque égal deux, trois, quatre, cinq et six. Chacun de ces termes est égal à la constante moins 25. Cela signifie que l’on doit additionner moins 25, moins 25, moins 25, moins 25 et moins 25. Cela équivaut à multiplier le moins 25 par cinq, ce qui donne moins 125.

Dans les autres exemples de cette vidéo, on doit écrire une suite donnée en utilisant la notation sigma.

Exprimez la suite 54 multiplié par 12 plus 54 multiplié par 24 plus 54 multiplié par 36, et ainsi de suite, jusqu’à 54 multiplié par 240 en notation sigma.

Dans cette question, on donne les trois premiers termes de la suite. Avec le 𝑛-ième ou dernier terme. On nous a demandé d’exprimer cette suite en utilisant la notation sigma comme indiqué. On doit trouver une expression pour le terme général 𝑢 indice et le nombre de termes dans la suite 𝑛. On remarque que chacun des termes est le produit de deux nombres. Le premier nombre est 54 dans chacun des termes. Le deuxième nombre correspond aux multiples de 12. On a 12 fois un, 12 fois deux, 12 fois trois, et ainsi de suite. Le terme final est égal à 12 multiplié par 20. Cela signifie que le terme général pour la suite est 54 multiplié par où est une variable allant de un à 20.

54 multiplié par 12 est égal à 648. Par conséquent, 54 multiplié par 12 est 648. En utilisant la notation sigma, on peut donc exprimer la suite comme la somme de 648 où prend des valeurs de un à 20.

On va maintenant voir une suite plus compliquée où l’expression contient des puissances.

Exprimer la suite huit plus 32 plus 72 plus 128 et ainsi de suite, jusqu’à 512, avec la notation sigma.

Afin d’exprimer une suite en utilisant la notation sigma, on doit l’écrire sous la forme de la somme de 𝑢 indice où prend des valeurs de un à 𝑛. On doit déterminer l’expression de 𝑢 indice , qui est le terme général de la suite. À première vue, il ne semble pas y avoir de lien évident entre chacun des termes de la suite. Cependant, elles ont toutes un diviseur commun de huit. Huit est huit multiplié par un, 32 est huit multiplié par quatre, 72 est huit multiplié par neuf, et ainsi de suite. Un, quatre, neuf, 16, et ainsi de suite sont les nombres carrés. Cela signifie que le terme général de la suite est huit fois au carré. Comme huit multiplié par huit au carré est égal à 512, les limites inférieure et supérieure sont un et huit.

La suite donnée exprimée en notation sigma est la somme de huit au carré, où prend des valeurs de un à huit. On pourrait vérifier cette réponse en remplaçant chacune des valeurs de pour obtenir les termes huit, 32, 72, etc.

On va maintenant considérer un dernier exemple.

Exprimez la suite 496 moins 497 plus 498 moins 499 et ainsi de suite jusqu’à moins 531 en notation sigma.

On remarque ici que les termes de la suite alternent de positif à négatif. Une suite peut être écrite en utilisant la notation sigma comme indiqué : la somme du terme général 𝑢 indice où prend des valeurs de un à 𝑛. Dans cette question, on doit trouver une expression pour ce terme général 𝑢 indice ainsi que la valeur de 𝑛. Commençons par considérer la suite d’entiers positifs 496, 497, 498, et ainsi de suite jusqu’à 531. On peut réécrire chacun de ces termes comme la constante 495 plus un certain nombre entier. 496 est 495 plus un, 497 est 495 plus deux, et ainsi de suite, jusqu’à 531 qui est égal à 495 plus 36. Cela suggère que l’on a 36 termes dans la suite.

Si l’on cherche à écrire cette suite avec la notation sigma, on a la somme de 495 plus où prend des valeurs de un à 36. La suite dans cette question est un peu plus compliquée, car on veut que les deuxième, quatrième, sixième et tous les termes paires soient négatifs. On peut rendre négatif tout entier positif en le multipliant par moins un. Si l’on multiplie chacun de nos termes par moins un puissance , les premier, troisième, cinquième et tous les termes impairs seront négatifs. Comme on veut que les termes pairs soient négatifs, on doit multiplier par moins un puissance plus un. La suite 496 moins 497 plus 498 et ainsi de suite peut être écrite en notation sigma comme moins un puissance plus un multiplié par plus 495, où prend des valeurs de un à 36.

On va maintenant résumer les points clés de cette vidéo. La somme 𝑢 un plus 𝑢 deux plus 𝑢 trois et ainsi de suite, jusqu’à 𝑢 𝑛, est écrite avec la notation sigma comme la somme de 𝑢 indice , où prend des valeurs de un à 𝑛. Dans cette vidéo, on a vu que l’on peut développer la suite en fonction de la notation sigma, et écrire la suite en notation sigma. 𝑢 indice est le terme général de la suite. Bien que cette somme de termes soit généralement prise de égal un à égal 𝑛, on peut également additionner de 𝑎 à 𝑏, où 𝑎 est la limite inférieure et 𝑏 est la limite supérieure.

On a aussi vu dans deux exemples quelques règles clés en ce qui concerne la notation sigma. Si 𝐶 est une constante, la somme de 𝐶 de égal un à 𝑛 vaut 𝑛 multiplié par la constante 𝐶. En outre, la somme d’une constante 𝐶 multipliée par la variable de égal un à égal 𝑛 est égale à la constante 𝐶 multipliée par la somme de pour allant de un à 𝑛. On peut factoriser la constante, calculer la somme séparément, puis multiplier la réponse par la constante 𝐶.