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En calculant l’écart-type, déterminez lequel des ensemble moins 17, 20, six, moins 13; moins cinq, moins 16, cinq, neuf; ou moins un, moins six, 20, moins un a la plus grande dispersion.
L’écart-type d’une série statistique nous renseigne sur la dispersion autour de la moyenne des valeurs de cette série. Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne et vice versa. Plus l’écart-type est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. Rappelons que pour une série statistique 𝑥 - qui contient les valeurs 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑥 trois, et ainsi de suite jusqu'à 𝑥 𝑛, il y a donc 𝑛 valeurs au total - de moyenne 𝜇, l'écart-type, que nous désignons par 𝜎 𝑥, est donné par 𝜎 𝑥 égale à la racine carrée de la somme de un jusqu'à 𝑛 de 𝑥 𝑖 moins 𝜇 au carré sur 𝑛.
Dans la pratique, cela veut dire que nous devons déterminer la moyenne 𝜇 de l'ensemble des données, soustraire cette valeur de chaque valeur 𝑥 de la série statistique, élever au carré chacune de ces valeurs, puis trouver leur somme. Ensuite, nous divisons par 𝑛, soit le nombre de valeurs qu'il y a dans la série statistique, et nous prenons la racine carrée. Nous pouvons également nous rappeler que la moyenne est la somme de toutes les valeurs 𝑥 divisée par le nombre de valeurs. Ainsi, il s’agit de la somme de un jusqu'à 𝑛 de 𝑥 𝑖 sur 𝑛. Examinons alors chacune des séries statistiques séparément. Nous allons commencer par calculer la moyenne pour chacune d'entre elles.
Pour la première série statistique, la moyenne est de moins 17 plus 20 plus 6 plus moins 13 sur quatre. Cela correspond à moins quatre sur quatre, donc moins un. Pour la deuxième série statistique, la moyenne est de moins cinq plus moins 16 plus cinq plus neuf sur quatre. Cela donne moins sept sur quatre ou encore moins 1.75. Enfin, pour la dernière série statistique, la moyenne est de moins un plus moins six plus 20 plus moins un sur quatre. Nous obtenons 12 sur quatre, soit trois.
Ainsi, nous avons trouvé la moyenne pour chaque série statistique, maintenant, nous devons calculer l'écart type. Il est utile d'organiser notre travail dans un tableau. Nous avons donc une colonne dans laquelle nous écrivons les valeurs de la série statistique, la colonne suivante dans laquelle nous soustrayons la moyenne de chaque valeur, puis, dans la dernière colonne, nous élevons ces valeurs au carré. Ainsi, pour la première série statistique où la moyenne est de moins un, nous avons moins 17 moins moins un. Cela correspond à moins 17 plus un, ce qui donne moins 16. Ensuite, nous avons 20 moins moins un, ce qui donne 21 ; six moins moins un, ce qui donne sept ; et 13 moins un, soit 12.
Dans la dernière colonne de notre tableau, nous élevons ces valeurs au carré, ce qui donne 256, 441, 49 et 144. Nous procédons à la somme des quatre valeurs dans la dernière colonne, c'est-à-dire à la somme de chaque valeur 𝑥 moins la moyenne au carré, soit 890. Ce qui donne le numérateur de la fraction sous la racine. Nous avons donc, pour la première série statistique, 𝜎 𝑥, l'écart-type, est égal à la racine carrée de 890 sur quatre. Nous pouvons calculer cela à l'aide d'une calculatrice et nous obtenons 14.916 etc ou 14.92 à deux décimales près. Ainsi, après avoir suivi le processus et calculé l'écart type pour la première série statistique, il nous faut maintenant faire de même pour les deux autres séries.
Pour la deuxième série statistique, la moyenne est moins 1.75 : il s'agit donc de la valeur à soustraire de chaque valeur de la série statistique. En soustrayant moins 1.75, nous obtenons moins 3.25, moins 14.25, 6.75 et 10.75. Nous élevons ensuite au carré chacune de ces valeurs dans la dernière colonne de notre tableau et trouvons leur somme, qui est 374.75. Une fois de plus, il y a quatre valeurs dans cette série statistique, alors 𝑛 est égal à quatre. Nous avons donc que 𝜎 𝑥 est égal à la racine carrée de 374.75 sur quatre. Ceci est équivalent à 9.679 etc ou 9.68 à deux décimales près.
Pour finir, nous allons calculer l'écart-type de la troisième série statistique dont la moyenne est de trois. En soustrayant trois de chaque valeur de la série statistique, nous obtenons moins quatre, moins neuf, 17 et moins quatre. Si nous élevons ces valeurs au carré, nous obtenons 16, 81, 289 et 16, dont la somme est 402. L'écart type de cette série statistique est la racine carrée de 402 sur quatre. Soit 10.024 etc ou encore 10.02 à deux décimales près.
Ainsi, nous avons calculé l'écart type pour chacune des trois séries statistiques et il nous faut maintenant déterminer laquelle présente la plus grande dispersion. Rappelez-vous, nous avons dit que plus l'écart-type est grand, plus les données sont dispersées autour de la moyenne. En comparant les écarts types de 14.92, 9.68 et 10.02, nous voyons que c'est la première série statistique qui a l'écart type le plus important. Par conséquent, parmi les trois séries statistiques, celui qui présente la plus grande dispersion est la série statistique moins 17, 20, six, moins 13.
