Vidéo de la leçon: Inéquations en une seule étape : addition ou soustraction Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre les inéquations du premier degré en une étape par addition ou soustraction. Une inéquation est une phrase mathématique qui contient un ou plusieurs des symboles d’inéquation suivants. Il existe quatre symboles d’inéquation, et ils montrent que la valeur d’une expression est supérieure à celle d’une autre. À la première ligne, nous avons le symbole strictement supérieur à, ce qui voudrait dire que 𝑥 est strictement supérieur à 𝑐. À la deuxième ligne, on dirait que 𝑥 est strictement inférieur à 𝑐. La troisième ligne est une légère variation de la première ligne. Ce symbole nous indique que 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑐. Et de la même manière, la quatrième ligne indique que 𝑥 est inférieur ou égal à 𝑐.

Les phrases mathématiques qui ont un signe égal sont appelées des équations. Cette équation dit que trois plus deux égale cinq. Dans les équations, les deux côtés du signe égal ont la même valeur. Dans une inéquation, un côté est plus grand que l’autre. Par exemple, ici nous avons trois plus deux est plus grand que quatre. Lorsqu’on travaille avec des inéquations, il faut souvent les résoudre. Cela signifie qu’il faut trouver une série de valeurs qu’une variable peut prendre pour que l’inéquation soit vraie. Si nous examinons l’inéquation 𝑥 plus un est strictement supérieur à 10, alors, pour résoudre cette inéquation, nous devrions trouver toutes les valeurs qui font que 𝑥 plus un est strictement supérieur à 10. Et c’est ce que nous allons apprendre à faire dans cette vidéo.

Avant de voir la résolution des inéquations, rappelons-nous rapidement la méthode de la balance lorsque nous travaillons avec des équations. Une équation indique l’égalité entre deux expressions. Nous pouvons la représenter à l’aide d’une balance. Dans ce cas, nous avons 𝑥 plus cinq égale huit. Si nous voulons trouver seulement 𝑥, nous pouvons enlever le bloc de cinq. Mais pour maintenir l’équilibre, il faudrait aussi enlever cinq de l’autre côté. Si nous décomposons le huit initial qui était sur la balance, nous aurons trois et cinq. Nous pourrons alors enlever ce bloc de cinq pour voir que 𝑥 égale trois. Algébriquement, nous représentons cela en soustrayant cinq des deux côtés de notre équation.

Voyons maintenant comment cela s’applique aux inéquations. Dans ce cas, nous voulons dire que 𝑥 plus cinq est strictement supérieur à huit. Sur la balance, cela signifie que le côté 𝑥 plus cinq pèsera plus lourd ; il sera plus bas que le huit. Dans ce cas, lorsque nous résoudrons le problème pour 𝑥, nous devrons maintenir cette échelle inégale. Le côté 𝑥 doit rester plus bas que le côté huit. Si nous essayons de retirer une valeur du côté le plus lourd, afin de conserver les mêmes proportions, nous devrons retirer la même quantité du côté le plus léger.

Et comme nous l’avons fait précédemment, nous pouvons casser ce bloc de huit en deux morceaux, trois et cinq. Et lorsque nous enlevons ce bloc de cinq, nous voyons apparaître une nouvelle inéquation. Nous voyons l’affirmation selon laquelle 𝑥 doit être strictement supérieur à trois. Si nous devions écrire cela algébriquement, nous soustrairions cinq des deux côtés de l’inéquation, ce qui nous laisserait avec 𝑥 est strictement supérieur à trois. Cette méthode de balance illustre une règle pour les inéquations. Et la règle dit ceci : Une inéquation reste vraie lorsque le même nombre est ajouté ou soustrait à ses deux côtés. Voyons quelques exemples pour voir comment nous appliquons cette règle pour simplifier les inéquations.

Sachant que 𝑥 plus 34 est supérieur ou égal à 46, quel nombre devez-vous ajouter aux deux côtés de l’inéquation afin de résoudre pour 𝑥 ?

Pour résoudre 𝑥, nous voulons que 𝑥 soit le seul élément d’un des côtés de l’inéquation. Dans ce cas, 34 est ajouté à 𝑥. Si nous voulions avoir 𝑥 seul, nous pourrions soustraire 34 des deux côtés de l’inéquation. Et c’est là que nous devons être vraiment attentifs en lisant cette question, car elle veut que nous ajoutions quelque chose aux deux côtés de l’équation. Dans cette première option, nous avons soustrait 34. Mais si notre question veut que nous le fassions sous forme d’addition, alors nous devons dire que nous ajoutons moins 34. Puisque la question a demandé quel nombre nous devons ajouter aux deux côtés de l’inéquation, donc la réponse est que nous ajoutons moins 34. Et en ajoutant la valeur moins 32 [34] aux deux côtés de l’inéquation, nous constatons que 𝑥 doit être supérieur ou égal à 12.

Voici un autre exemple.

Si 𝑥 moins huit est strictement supérieur à moins trois, alors 𝑥 est strictement supérieur à blanc.

Nous savons que 𝑥 moins huit est strictement supérieur à moins trois. Et nous voulons savoir alors la valeur à laquelle 𝑥 doit être supérieur. Et pour ce faire, il faut simplifier. Nous voulons placer ce 𝑥 seul au côté gauche du signe plus grand que. Nous savons que les inéquations restent vraies tant que nous ajoutons ou soustrayons la même quantité à chaque côté de l’inéquation. Je sais que 𝑥 moins huit plus huit égale tout simplement 𝑥. Et cela signifie que nous pouvons ajouter huit aux deux côtés de cette inéquation sans en changer la valeur. À gauche, nous avons 𝑥 et à droite, moins trois plus huit égale cinq. Et donc nous pouvons dire que si 𝑥 moins huit est strictement supérieur à moins trois, alors 𝑥 doit être strictement supérieur à cinq.

Voici un troisième exemple.

Si 𝑎 plus 46 est supérieur ou égal à 39, alors, blanc. (A) 𝑎 est supérieur ou égal à sept. (B) 𝑎 est supérieur ou égal à moins sept. (C) 𝑎 est supérieur ou égal à 85. (D) 𝑎 est supérieur ou égal à moins 85. Ou (E) 𝑎 est inférieur ou égal à moins sept.

Nous partons de l’inéquation 𝑎 plus 46 est supérieur ou égal à 39. Et nous devons la simplifier pour n’avoir que le terme 𝑎 au côté gauche de notre symbole d’inéquation. Et nous savons que lorsque nous travaillons avec des inéquations, tant que nous ajoutons ou soustrayons la même valeur des deux côtés, l’inéquation reste vraie. Si nous voulons isoler 𝑎, nous pouvons soustraire 46 du côté gauche de l’inéquation. Mais si nous soustrayons 46 du côté gauche de l’inéquation, nous devons soustraire 46 du côté droit de l’inéquation. Sur la gauche, il ne nous reste que 𝑎. 𝑎 plus 46 moins 46 égale 𝑎.

Et là, nous devons être très prudents. Nous avons 39, mais nous en soustrayons plus que 39. Nous soustrayons 46. Mathématiquement, cela signifie que nous soustrayons 39 de 46, ce qui nous donne sept. Mais ensuite, ça prend le signe du moins 46. 39 moins 46 est moins sept. Et nous avons fait descendre notre symbole d’inéquation, car cela reste vrai, pour dire que 𝑎 doit être supérieur ou égal à moins sept, ce qui dans ce cas est l’option (B).

Dans notre exemple suivant, nous devrons effectuer quelques réarrangements.

Sélectionnez l’option qui est équivalente à 𝑎 plus sept est strictement inférieur à zéro. (A) 𝑎 est strictement supérieur à moins sept. (B) 𝑎 est supérieur ou égal à moins sept. (C) Moins sept est strictement supérieur à 𝑎. Ou (D) moins sept est supérieur ou égal à 𝑎.

D’abord, nous écrivons ce que nous savons. 𝑎 plus sept est strictement inférieur à zéro. Nous pouvons commencer à résoudre ce problème en isolant la variable 𝑎. Pour ce faire, nous soustrayons sept du côté gauche de l’inéquation. Et pour maintenir cette inéquation vraie, cela signifie que nous devons soustraire sept du côté droit de l’inéquation. Sur la gauche, 𝑎 plus sept moins sept égale 𝑎. Et sur la droite, zéro moins sept égale moins sept. Nous venons de constater que 𝑎 est strictement inférieur à moins sept. À première vue, il ne semble pas que nous avons 𝑎 strictement inférieur à moins sept parmi les choix de réponse. Pour nous aider à mieux comprendre, plaçons cette inéquation sur une droite numérique.

Nous avons moins sept, et 𝑎 doit être strictement inférieur à ce nombre. Sur une droite numérique, inférieur à moins sept serait plus de valeurs négatives. Et ce serait une flèche pointant vers la gauche. Nous disons que 𝑎 doit se trouver à gauche de moins sept sur une droite numérique. À l’aide de cette information, revenons en arrière et revoyons nos choix de réponses. L’option (A) dit que 𝑎 est strictement supérieur à moins sept. Et c’est le contraire de ce qui est vrai. L’option (B) dit que 𝑎 est supérieur ou égal à moins sept. Là encore, ce n’est pas vrai, puisque 𝑎 doit être inférieur à moins sept. L’option (C) est une inéquation qui dit que le nombre moins sept est strictement supérieur à 𝑎.

Si nous regardons le moins sept sur notre droite numérique, il est toujours vrai que le moins sept est strictement supérieur à 𝑎. Moins sept est strictement supérieur à 𝑎 parce que 𝑎 est strictement inférieur à moins sept, ce qui fait de l’option (C) une affirmation équivalente à 𝑎 est strictement inférieur à moins sept. Lorsque nous envisageons l’option (D), elle dit que moins sept est supérieur ou égal à 𝑎. Mais comme les inéquations que nous traitons ne sont que strictement inférieures à et strictement supérieures à, elles n’ont pas une composante égale à, ce qui rend l’option (D) fausse.

Dans notre exemple suivant, on nous donne une inéquation simplifiée, et nous devrons la réarranger.

Complétez en utilisant inférieur ou égal à, strictement inférieur à, strictement supérieur à ou supérieur ou égal à : Si 𝑏 est inférieur ou égal à moins cinq, alors 𝑏 plus un blanc moins quatre.

Nous savons que 𝑏 est inférieur ou égal à moins cinq. Et nous voulons savoir quel serait la relation entre 𝑏 plus un et moins quatre. Nous savons que si nous ajoutons le même nombre aux deux côtés d’une inéquation, celle-ci restera vraie. Si nous essayons d’ajouter un aux deux côtés de l’inéquation, à gauche, nous nous retrouverons avec 𝑏 plus un. On ne peut pas simplifier davantage. Et à droite, nous obtiendrons moins cinq plus un. Nous n’avons pas changé la valeur de notre inéquation. Donc, nous avons 𝑏 plus un est inférieur ou égal à moins cinq plus un. Et nous savons que moins cinq plus un égale moins quatre. Et donc nous confirmons que 𝑏 plus un doit être inférieur ou égal à moins quatre.

Dans notre dernier exemple, nous devrons d’abord écrire une inéquation avant de la résoudre.

Daniel veut faire des courses. Il veut avoir au moins 80 dollars en poche. Et il a actuellement 15 dollars. Ecrivez et résolvez une inéquation qui déterminera combien d’argent Daniel doit retirer de la banque.

Daniel veut avoir au moins 80 dollars sur lui. Pour savoir quel genre d’inéquation nous devrions écrire, réfléchissons à cela. Est-ce que Daniel pourrait avoir plus de 80 dollars ? Oui. Est-ce que Daniel pourrait avoir exactement 80 dollars ? Oui. Ce ne serait pas bien s’il avait moins de 80 dollars. Et cela signifie que nous avons besoin d’un symbole d’inéquation qui représente plus ou égal. Il faut que l’argent que Daniel possède soit supérieur ou égal à 80 dollars. Et l’argent que possède Daniel se compose de deux parties. L’argent qu’il doit retirer et les 15 dollars qu’il a déjà. Ensemble, ces deux valeurs doivent être supérieures ou égales à 80 dollars. Nous pouvons dire que la variable 𝑥 représente l’argent que Daniel va retirer. Nous disons donc que 𝑥 plus 15 doit être supérieur ou égal à 80.

Jusqu’ici, nous avons réussi à écrire une inéquation montrant l’argent dont Daniel a besoin. Mais nous devons continuer en résolvant cette inéquation. Nous voulons déterminer pour quelles valeurs de 𝑥 cette affirmation serait vraie. Et nous y parvenons en soustrayant 15 dollars des deux côtés de l’inéquation. 80 dollars moins 15 dollars égale 65 dollars. 𝑥 doit être supérieur ou égal à 65. Et notre 𝑥 représente l’argent qu’il doit retirer de la banque. Daniel doit retirer au moins 65 dollars s’il veut avoir 80 dollars en poche. Et donc l’inéquation que nous avons écrite 𝑥 plus 15 est supérieur ou égal à 80 et résolue comme 𝑥 doit être supérieur ou égal à 65.

Nous sommes maintenant prêts à résumer ce que nous avons appris. Une inéquation est une phrase mathématique contenant un symbole d’inéquation. Elle montre que la valeur d’une expression est supérieure à celle de l’autre. Pour simplifier les inéquations, nous pouvons utiliser la règle d’addition et de soustraction des inéquations, qui nous dit qu’une inéquation reste vraie lorsque le même nombre est ajouté ou soustrait à ses deux côtés. Notez qu’on parle ici d’égalité, alors qu’il faudrait plutôt parler d’inégalité. Une inéquation est toujours vraie lorsque le même nombre est ajouté ou soustrait à ses deux côtés. Ainsi, si 𝑥 plus trois est supérieur à six, on peut soustraire trois des deux côtés de cette inéquation et dire que 𝑥 est supérieur à trois.