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Vidéo de la leçon : Différence de deux carrés Mathématiques

Apprenez à reconnaître les expressions contenant des termes qui peuvent être exprimés comme la différence de deux carrés. Cela nous aide à les factoriser rapidement en utilisant 𝑎 ² - 𝑏 ² = ( 𝑎 - 𝑏 ) ( 𝑎 + 𝑏 ).

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Transcription de vidéo

Différence de deux carrés

Donc, si nous commençons par un carré, c'est-à-dire les dimensions 𝑎 par 𝑎, nous savons que l'aire de ce carré sera 𝑎 au carré. C'est la différence de deux carrés. Prenons donc un autre carré de ce carré. Donc, disons que nous voulons trouver l'aire de la forme blanche. Nous pouvons voir que nous enlevons l’aire de la forme bleue. Nous avons donc 𝑎 au carré et nous enlevons 𝑏 au carré. Ou nous savons qu'en coupant ici, cela nous donne différentes dimensions sur les côtés pour différentes pièces. Cette partie est bien sûr 𝑎 moins 𝑏, car toute la longueur est 𝑎 et nous pouvons voir que la partie en bas est 𝑏, de sorte que cette partie est 𝑎 moins 𝑏. Et puis, c'est bien sûr 𝑏. Mais si nous prenons cette forme et la déplaçons sur le côté, nous savons que nous le pouvons parce que notre longueur en pointillés est également 𝑎 moins 𝑏, nous obtenons une forme différente. Nous finirons avec ce rectangle. Nous pouvons donc voir que la longueur du côté, encore une fois, est 𝑎 moins 𝑏 et le sommet a une longueur de 𝑎. Et puis nous ajoutons la longueur de 𝑏. Donc, c'est 𝑎 moins 𝑏 est une dimension, et 𝑎 plus 𝑏 est l'autre. Nous savons que l'aire de notre forme d'origine était 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré, car c'était le grand carré qui enlevait le plus petit carré. Donc, notre nouvelle forme serait 𝑎 moins 𝑏 tout multiplié par 𝑎, plus 𝑏, comme il est un rectangle. Et mettre ces deux ensemble, nous donne la différence de deux carrés.

Jetons également un coup d'œil algébrique. Alors, nous allons développer ces deux parenthèses en utilisant Foil. Nous allons utiliser les premiers termes multipliés ensemble, qui sera 𝑎 multiplié par 𝑎, nous donne 𝑎 au carré. Alors 𝑎 multiplié par moins 𝑏 nous donne moins 𝑎𝑏. 𝑏 multiplié par 𝑎 nous donne plus 𝑎𝑏. Et enfin, 𝑏 multiplié par moins 𝑏 nous donne moins 𝑏 au carré. Nous pouvons donc voir nos termes moyens s'annuler, et nous nous retrouvons avec 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré. Nous l’avons donc vu géométriquement et aussi algébriquement. Appliquons cela à un problème.

Donc, nous devons trouver ce que 𝑎 est. Alors qu'est-ce qui est au carré pour nous donner seize 𝑥 au carré. Eh bien, nous savons que quatre au carré sont seize, et, 𝑥 au carré est 𝑥 au carré. Cela deviendra donc quatre 𝑥 au carré. Donc quatre 𝑥 est la valeur 𝑎. Regardons maintenant notre 𝑏. Eh bien, ce carré nous donne neuf, trois. Donc, cela deviendra trois 𝑦 tout au carré est neuf 𝑦 au carré. Et c'est 𝑏. Donc, en le substituant à la relation, nous avons 𝑎 plus 𝑏 tous multipliés par 𝑎 moins 𝑏. Nous avons donc quatre 𝑥 plus trois 𝑦 tous multipliés par quatre 𝑥 moins trois 𝑦. Regardons un autre exemple.

Donc, en regardant cet exemple, encore une fois, vous pouvez dire ce que le carré nous donne trente-six 𝑥 au carré. Eh bien, ce sera six 𝑥 au carré. Et puis, ce que le carré nous donne trente-six 𝑦 au carré. Encore une fois, ce sera six 𝑦 au carré. Nous pouvons donc simplement appliquer la formule mettant 𝑎 comme six 𝑥 et 𝑏 comme six 𝑦, et nous avons terminé. Mais dans ce cas, il y a en fait une autre façon de procéder. Si nous regardons la première partie de la question, trente-six 𝑥 au carré moins trente-six 𝑦 au carré, nous pouvons voir qu'ils ont tous les deux un facteur commun, le plus grand facteur commun, de trente-six. Nous pouvons donc factoriser les trente-six premiers. Et cela nous aurait donné cela. Eh bien, dans ce cas, notre 𝑎 est 𝑥 et notre 𝑏 est 𝑦. Donc, nous pourrions remplacer cela dans la relation, et nous obtenir cela. Maintenant, ce sont exactement les mêmes. Donc, la réponse que nous avons obtenue en utilisant la première méthode et la deuxième méthode est exactement la même. Parce que si dans la première méthode, nous prenions en compte six de chaque tranche individuelle, nous aurions alors à faire six multiplié par six, ce que nous savons bien sûr être trente-six. Donc, nous obtenons la même chose ou l’autre manière, mais cette deuxième méthode est une méthode pleinement intégrée. Donc, en résumé, la seule chose dont nous devons vraiment nous souvenir, dans la différence de deux carrés, est la relation, et juste trouver comment la repérer quand on nous donne une option. Donc, quand nous voyons un nombre carré soustrait par un autre nombre carré, évidemment avec des variables qui sont également au carré, alors nous pouvons simplement aller tout de suite et utiliser cette relation.

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