Transcription de la vidéo
Différence de deux carrés
Donc, si nous commençons par un carré, c’est-à-dire de dimensions 𝑎 par 𝑎, nous
savons que l’aire de ce carré sera 𝑎 au carré. Mais cela est la différence entre deux carrés. Retirons donc un autre carré de ce carré. Donc, disons que nous voulons trouver l’aire de la partie blanche. Nous pouvons voir que nous retirons l’aire de la partie bleue. Nous avons donc 𝑎 au carré et nous retirons 𝑏 au carré. Ou nous savons qu’en coupant ici, cela nous donne différentes dimensions sur les
côtés pour différentes parties. Cette partie est bien sûr 𝑎 moins 𝑏, car toute la longueur est 𝑎 et nous pouvons
voir que la partie en bas est 𝑏, de sorte que cette partie est 𝑎 moins 𝑏. Et puis, cela est bien sûr 𝑏. Mais si nous prenons cette partie et la déplaçons en haut sur le côté, nous savons
que nous le pouvons parce que notre longueur en pointillés est aussi 𝑎 moins 𝑏,
nous obtenons une figure différente. Nous arrivons à ce rectangle. Nous pouvons donc voir que la longueur du côté, encore une fois, est 𝑎 moins 𝑏 et
le sommet a une longueur de 𝑎. Et puis nous ajoutons la longueur de 𝑏. Donc, c’est 𝑎 moins 𝑏 est une dimension, et 𝑎 plus 𝑏 est l’autre. Nous savons que l’aire de la figure initiale était 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré, car
c’était le grand carré qui moins le petit carré. Donc, notre nouvelle figure serait 𝑎 moins 𝑏 le tout multiplié par 𝑎 plus 𝑏,
comme il est un rectangle. Et mettre ces deux formules ensemble, nous donne la différence de deux carrés.
Observons cela algébriquement. Alors, nous allons développer ces deux parenthèses en utilisant la double
distributivité. Nous allons utiliser les premiers termes multipliés ensemble, qui sera 𝑎 multiplié
par 𝑎, nous donne 𝑎 au carré. Alors 𝑎 multiplié par moins 𝑏 nous donne moins 𝑎𝑏. 𝑏 multiplié par 𝑎 nous donne plus 𝑎𝑏. Et enfin, 𝑏 multiplié par moins 𝑏 nous donne moins 𝑏 au carré. Nous pouvons donc voir les termes moyens s’annuler ensemble, et nous nous retrouvons
avec 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré. Nous l’avons donc vu géométriquement et aussi algébriquement. Appliquons cela à un problème.
Donc, nous devons trouver ce que représente 𝑎. Alors qu’est-ce qui, élevé au carré, nous donne 16 𝑥 au carré. Eh bien, nous savons que quatre au carré donne 16, et, 𝑥 au carré est 𝑥 au
carré. Cela devient donc quatre 𝑥 le tout au carré. Donc quatre 𝑥 représente 𝑎. Regardons maintenant notre 𝑏. Eh bien, qu’est-ce qui, élevé au carré, donne neuf, c’est trois. Donc, cela devient trois 𝑦 le tout au carré est neuf 𝑦 au carré. Et cela représente 𝑏. Donc, en le substituant à la formule, nous obtenons 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Nous avons donc quatre 𝑥 plus trois 𝑦 fois quatre 𝑥 moins trois 𝑦. Regardons un autre exemple.
Donc, en regardant cet exemple, encore une fois, on peut nous demander ce qui, élevé
au carré, nous donne 36 𝑥 au carré. Eh bien, ce sera six 𝑥 le tout au carré. Et puis, qu’est ce qui, élevé au carré, nous donne 36 𝑦 au carré. Encore une fois, ce sera six 𝑦 le tout au carré. Nous pouvons donc simplement appliquer la formule en posant 𝑎 comme six 𝑥 et 𝑏
comme six 𝑦, et nous avons terminé. Mais dans ce cas, il y a en fait une autre façon de procéder. Si nous observons la première partie de la question, 36 𝑥 au carré moins 36 𝑦 au
carré, nous pouvons voir qu’ils ont tous les deux un facteur commun, le plus grand
facteur commun, qui vaut 36. Nous pouvons donc factoriser les 36 en premier. Et cela nous aurait donné cela. Eh bien, dans ce cas, notre 𝑎 est 𝑥 et notre 𝑏 est 𝑦. Donc, nous pourrions remplacer cela dans la formule, et obtenir cela. Maintenant, ce sont exactement les mêmes. Donc, la réponse que nous avons obtenue en utilisant la première méthode et la
deuxième méthode est exactement la même. Parce que si dans la première méthode, nous retirons six de chaque parenthèse, nous
aurions dû alors multiplier six par six, ce que nous savons bien sûr qu’il donne
36. Donc, nous obtenons la même chose des deux méthodes, mais cette deuxième méthode est
une méthode complètement simplifiée. Donc, en résumé, la seule chose dont nous devons vraiment nous souvenir, dans la
différence de deux carrés, est la formule, et juste trouver comment la trouver quand
on nous donne une option. Donc, quand nous voyons un nombre carré soustrait d’un autre nombre carré, évidemment
avec des variables qui sont également au carré, alors nous pouvons simplement aller
tout de suite et utiliser cette formule.
