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Vidéo de question : Déterminer et calculer la différence de deux fonctions Mathématiques

Soient 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions réelles définies par 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 9)/(𝑥² + 15𝑥 + 54) et 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 8, calculez (𝑓 - 𝑔)(- 6) si cela est possible.

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Transcription de vidéo

Soient 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions réelles définies par 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 plus neuf sur 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54 et 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus huit, calculez 𝑓 moins 𝑔 de moins six si cela est possible.

Nous commençons par rappeler que 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 est simplement la fonction 𝑓 moins la fonction 𝑔. Alors, calculons d’abord 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 puis considérons son ensemble de définition. On nous donne que 𝑓 est la fonction rationnelle 𝑥 plus neuf sur 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54 et que 𝑔 est la fonction 𝑥 plus huit. Ainsi, 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 est 𝑥 plus neuf sur 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54 moins huit plus 𝑥. Nous allons en fait simplifier cette expression en soustrayant les fractions. Et pour ce faire, nous allons écrire 𝑥 plus huit comme 𝑥 plus huit sur un puis créer un dénominateur commun.

Pour atteindre ce dénominateur commun, nous allons devoir multiplier le numérateur et le dénominateur de notre seconde fraction par 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54. Et quand nous le faisons, notre seconde fraction devient 𝑥 plus huit fois 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54. Distribuons les parenthèses dans notre seconde fraction. Lorsque nous le faisons, le numérateur devient 𝑥 au cube plus 15𝑥 au carré plus huit 𝑥 au carré plus 120𝑥 plus 54𝑥 plus 432, ce qui simplifie en 𝑥 au cube moins 23𝑥 au carré plus 174𝑥 plus 432.

Maintenant que nos dénominateurs sont égaux, nous allons soustraire chaque terme du numérateur de notre seconde fraction du numérateur de la première, ce qui nous donne 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 comme moins 𝑥 au cube plus 23𝑥 au carré moins 173𝑥 moins 423 le tout sur 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54.

Maintenant, avant de trouver la valeur de 𝑓 moins 𝑔 de moins six, considérons l’ensemble de définition de notre fonction. N’oubliez pas que, l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée qui donneront une valeur de sortie réelle. Et donc, chaque fois que nous calculons l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle comme celle-ci, nous devons considérer le fait que le dénominateur de cette fraction ne peut pas être égal à zéro. Nous ne voulons pas diviser par zéro. Et donc, nous allons juste commencer par calculer les valeurs de 𝑥 où cette expression est égale à zéro, où 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54 est égal à zéro.

Pour ce faire, nous allons factoriser l’expression sur le membre gauche. Nous savons que le terme à l’avant de chaque binôme doit être 𝑥 puisque 𝑥 fois 𝑥 nous donne 𝑥 au carré. Ensuite, nous trouvons deux nombres dont le produit est 54 et dont la somme est 15. Ça fait neuf et six. Donc, nous avons 𝑥 plus neuf fois 𝑥 plus six est égal à zéro. Eh bien, pour que le produit de deux nombres soit égal à zéro, l’un ou l’autre de ces nombres doit être égal à zéro. Ainsi, 𝑥 plus neuf doit être égal à zéro ou 𝑥 plus six doit être égal à zéro.

Si nous soustrayons neuf des deux membres de notre première équation, nous trouvons que 𝑥 est égal à moins neuf. Et si nous soustrayons six des deux membres de notre seconde équation, 𝑥 sera égal à moins six. Donc, nous voyons que le dénominateur de notre fraction sera égal à zéro si 𝑥 est égal à moins six ou que 𝑥 est égal à moins neuf. Ainsi, l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥 doit être tous les nombres réels à l’exception de moins six et moins neuf. Nous pouvons utiliser la notation d’ensemble comme indiqué pour le démontrer.

Maintenant, nous cherchions à calculer 𝑓 moins 𝑔 de moins six, mais nous avons dit que moins six n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 moins 𝑔 de 𝑥. Et donc, nous sommes donc incapables de calculer 𝑓 moins 𝑔 de moins six. Nous disons que c’est indéfini.

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