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Vidéo de question : Calcul de la distance perpendiculaire entre un point et une droite sous forme vectorielle Mathématiques

Lequel des choix suivants représente la longueur de la perpendiculaire issue du point de coordonnées <5, 3, −4> à la droite d’équation 𝐫 = <2, −3, −4> + 𝑡 <2, 3, 6>, arrondie au centième près ? [A] 5,76 [B] 5,77 [C] 0,82 [D] 0,17 [E] 6,77

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Transcription de vidéo

Lequel des choix suivants est la longueur de la perpendiculaire issue du point de coordonnées cinq, trois, moins quatre à la droite d’équation 𝐫 est égal à deux, moins trois, moins quatre plus 𝑡 fois deux, trois, six arrondie au centième près ? (A) 5,76, (B) 5,77, (C) 0,82, (D) 0,17, (E) 6,77.

Bien, nous avons donc un point et une droite. Nous voulons déterminer la longueur de la perpendiculaire, que nous appellerons 𝑑, de ce point à la droite. Commençons par rappeler la relation qui donne la distance entre un point de l’espace et une droite. Pour calculer cette distance, nous avons besoin d’un vecteur qui va de ce point à un quelconque point de la droite. Nous avons également besoin d’un vecteur colinéaire à la droite.

Sur le dessin, le vecteur 𝐒 pourrait ressembler à ceci. En ce qui concerne le vecteur 𝐏𝐋, si nous choisissons un point de la droite, disons celui-ci, disons que c’est un point connu, alors le vecteur 𝐏𝐋 ressemblera à ceci. Disons alors que le point connu dans l’espace est 𝑃 et le point inconnu sur la droite est 𝐿. Pour pouvoir trouver la distance 𝑑, il faut connaître les coordonnées de 𝐿 et les composantes de 𝑆.

Or, nous pouvons obtenir ces deux informations à partir de l’équation de la droite. Puisque cette équation est donnée sous ce qu’on appelle une forme vectorielle, cela signifie que ce premier vecteur va de l’origine d’un repère de coordonnées vers le point deux, moins trois, moins quatre sur la droite. Il s’agit donc de notre point 𝐿. Le vecteur suivant dans cette équation deux, trois, six est un vecteur colinéaire à cette droite. Nous pouvons donc appeler ce vecteur 𝐒.

Maintenant que nous connaissons 𝑃, 𝐿 et 𝐒, la prochaine étape est de calculer ce vecteur 𝐏𝐋. Comme nous l’avons vu, 𝐏𝐋 est un vecteur, qui se trouve en retranchant les coordonnées du point 𝑃 de celles du point 𝐿. Notre vecteur 𝐏𝐋 aura alors pour composantes deux moins cinq, moins trois moins trois, moins quatre moins moins quatre. Ceci est égal au vecteur de composantes moins trois, moins six, zéro. Sachant cela, nous sommes maintenant prêts à calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐒.

𝐏𝐋 croix 𝐒 est égal au déterminant de cette matrice. Dans la première ligne, nous avons les trois vecteurs unitaires, puis en dessous se trouvent les composantes 𝑥 puis 𝑦 et 𝑧 des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐒, respectivement. La composante 𝐢 de ce produit vectoriel est égale au déterminant de cette matrice de dimension deux. Moins six fois six moins zéro fois trois égale moins 36. Ensuite, pour la composante 𝐣, nous faisons moins le déterminant de cette matrice, nous obtenons moins trois fois six moins zéro fois deux, soit moins 18. Enfin, la composante 𝐤 est égale au déterminant de cette matrice de dimension deux, moins trois fois trois moins moins six fois deux égale trois.

Ceci est donc le produit vectoriel complet. Notez qu’il peut s’écrire comme un vecteur de composantes moins 36, 18, trois. Bien, nous sommes maintenant prêts à calculer 𝑑 en calculant la norme de 𝐏𝐋 croix 𝐒 et en la divisant par la norme de 𝐒. Nous pouvons écrire la norme de 𝐏𝐋 croix 𝐒 comme la racine carrée de moins 36 au carré plus 18 au carré plus trois au carré. Ensuite, au dénominateur, la norme de 𝐒 est égale à la racine carrée de deux au carré plus trois au carré plus six au carré. En entrant cette expression dans une calculatrice, nous obtenons 5,76583 etc.

Or, une des réponses proposées est 5,76 et une autre est 5,77. L’énoncé demande d’arrondir la réponse au centième près. Dans le résultat numérique, nous voyons que le six est en position des centièmes. Le chiffre situé immédiatement à droite est supérieur ou égal à cinq. Cela signifie que pour arrondir ce nombre au centième près, le six s’arrondit à sept. La réponse arrondie est donc 5,77. Ceci correspond à la proposition (B) et il s’agit de la distance perpendiculaire du point à la droite.

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