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Vidéo de question : Calcul de l’aire d’un quadrilatère en utilisant la trigonométrie Mathématiques

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère tel que 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 90°, 𝑚∠𝐵𝐴𝐷 = 41°, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 30,9 cm et 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶. Calculez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 au centième d’unité près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un quadrilatère tel que l’angle 𝐴𝐵𝐶 mesure 90 degrés, l’angle 𝐵𝐴𝐷 mesure 41 degrés, 𝐴𝐵 égale 𝐴𝐷 égale 30,9 centimètres, et 𝐵𝐷 égale 𝐵𝐶. Calculez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 au centième près.

Commençons par dessiner ce quadrilatère. On sait que l’angle 𝐴𝐵𝐶 est un angle droit et que l’angle 𝐵𝐴𝐷 est égal à 41 degrés. Les longueurs 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 sont toutes deux égales à 30,9 centimètres. On sait aussi que les longueurs de 𝐵𝐷 et 𝐵𝐶 sont égales. On a donc deux triangles isocèles. Le premier, le triangle 𝐴𝐵𝐷, a deux côtés de longueur 30,9 centimètres.

On sait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Et que dans un triangle isocèle, deux des angles sont égaux. L’angle 𝐴𝐷𝐵 est égal à l’angle 𝐴𝐵𝐷. Pour calculer ces angles, nous pouvons retrancher 41 de 180 puis diviser par deux. Cela donne 69,5. Les angles 𝐴𝐷𝐵 et 𝐴𝐵𝐷 sont tous deux égaux à 69,5 degrés. Comme l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à 90 degrés, l’angle 𝐷𝐵𝐶 peut se calculer en retranchant 69,5 de 90. C’est égal à 20,5 degrés.

Nous savons que l’aire d’un quelconque triangle se calcule à l’aide de la formule un demi 𝑎𝑏 multiplié par sin 𝐶, où 𝐶 est l’angle formé par les deux côtés 𝑎 et 𝑏. Pour le premier triangle, nous avons suffisamment d’informations. Mais pour le triangle 𝐵𝐶𝐷, il faut d’abord calculer les longueurs 𝐵𝐶 et 𝐵𝐷. On sait que ces longueurs sont égales ; on utilise la loi des cosinus dans le premier triangle pour calculer 𝐵𝐷.

D’après la loi des cosinus, 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 multiplié par cos 𝐴, où l’angle 𝐴 est en face du côté 𝑎 que nous recherchons. Donc, 𝐵𝐷 au carré est égal à 30,9 au carré plus 30,9 au carré moins deux multiplié par 30,9 multiplié par 30,9 multiplié par cos de 41 degrés. La calculatrice nous donne 468,411 et quelques. Nous pouvons alors prendre la racine carrée de chaque côté de cette équation, ce qui donne 𝐵𝐷 égale 21,642 et quelques.

Dans la suite de nos calculs, nous utiliserons cette valeur non arrondie. Mais nous obtenons que 𝐵𝐷 et 𝐵𝐶 mesurent tous deux 21,6 centimètres, arrondi au dixième. Nous pouvons à présent calculer les aires des triangles un et deux. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐷 est égale à un demi multiplié par 30,9 multiplié par 30,9 multiplié par sin 41 degrés. C’est égal à 313,20586

Nous pouvons calculer l’aire du triangle 𝐵𝐶𝐷 de la même manière, en utilisant les deux côtés 𝐵𝐶 et 𝐵𝐷 et l’angle de 20,5 degrés. Cela donne une aire de 82,02058 La somme des aires de ces deux triangles donne l’aire du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷. C’est 395,22644 .

On nous demande d’arrondir au centième. Donc, le nombre décisif est le six. En arrondissant vers le haut, on en conclut que l’aire du quadrilatère est de 395,23 centimètres carrés.

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