Vidéo question :: Un problème de taux de variation liés dans un triangle avec deux côtés de longueur constante et angle qui augmente à une certaine vitesse. Mathématiques

Transcription de la vidéo

Un triangle admet deux côtés, de longueur 𝑎 et 𝑏, formant un angle 𝜃 a une aire grand A égale un demi de 𝑎𝑏 sinus 𝜃. Supposons que 𝑎 soit égale à quatre, 𝑏 égale à cinq et que l’angle 𝜃 augmente à la vitesse de 0,6 radians par seconde. Quel est le taux d’accroissement de l’aire lorsque 𝜃 vaut 𝜋 sur trois.

Essayons d’imaginer ce qui se passe dans ce scénario. Ce scénario implique un triangle avec des côtés de longueur 𝑎 et 𝑏 et un angle 𝜃. Cela signifie donc que l’angle entre les deux côtés 𝑎 et 𝑏 a une mesure de 𝜃. On nous dit que l’aire de ce triangle est un demi de 𝑎 𝑏 sinus 𝜃.

On reconnaît la formule de l’aire d’un triangle étant donné les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle entre ces côtés. On nous dit aussi que les valeurs des longueurs des côtés 𝑎 et 𝑏 sont respectivement quatre et cinq. Nous pouvons donc mettre à jour notre figure et utiliser ces valeurs dans la formule générale de l’aire du triangle. Donc, l’aire de notre triangle est un demi fois quatre fois cinq fois sinus 𝜃 qui est 10 sinus 𝜃.

En continuant à lire la question, nous voyons que 𝜃 augmente de 0,6 radians par seconde. Qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, nous pouvons dessiner une autre image de notre triangle après un certain temps, l’angle 𝜃 a donc augmenté. Et cela nous aide à comprendre ce que cela signifie pour l’angle 𝜃 d’augmenter lorsque la longueur du côté reste la même. Mais nous aimerions trouver un moyen mathématique de dire que l’angle 𝜃 augmente de 0,6 radians par seconde.

Lorsque nous voyons des mots comme augmenter ou diminuer et des unités de quelque chose par secondes, nous devons penser au taux de variation. La variable 𝜃 change de 0,6 radians par seconde. La dérivée de la mesure de l’angle 𝜃 par rapport au temps 𝑡 est 0,6.

La dernière phrase de la question nous dit ce que nous recherchons. Nous cherchons à quelle vitesse la zone change lorsque 𝜃 vaut 𝜋 sur trois. La façon naturelle d’exprimer la variation de l’aire est la dérivation. Nous recherchons le taux de variation de l’aire par rapport au temps - 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡. Nous cherchons, plus exactement, le taux de variation instantané de l’aire par rapport au temps quand 𝜃 vaut 𝜋 sur trois.

Bon, maintenant que nous avons lu la question et traduit tout l’énoncé en notation mathématique, récapitulons. On nous a donné dans la question que le taux de variation de la mesure de l’un des angles du triangle par rapport au temps 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡 est 0,6. Nous avons déduit des informations fournies dans la question que l’aire 𝐴 du triangle est 10 sinus 𝜃. Et on nous demande de trouver le taux de variation de l’aire du triangle par rapport au temps quand 𝜃 est égal à 𝜋 sur trois.

Nous cherchons 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 et nous avons la valeur de 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡. Donc, si nous avions une relation entre 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡, alors nous aurions presque terminé. D’accord, mais nous n’avons pas de relation entre 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡, ce qui nous permettrait de trouver 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 en fonction de 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡. Mais nous avons une relation entre 𝐴 et 𝜃. Maintenant, comment cela nous aide-t-il à trouver une relation entre 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡 ? Eh bien, nous pouvons dériver implicitement cette relation par rapport à 𝑡. Alors faisons cela.

Sur le côté gauche, nous avons 𝑑𝐴 par 𝑑𝑡 qui est, après tout, ce que nous recherchons. Donc, cela semble prometteur. Sur le côté droit, nous avons 𝑑 sur 𝑑𝑡 de quelque chose impliquant 𝜃. Nous voulons donc utiliser la règle de dérivation en chaîne. 𝑑 sur 𝑑𝑡 peut être remplacé par 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡 fois 𝑑 sur 𝑑𝜃. Faisons donc ce changement.

Nous pouvons facilement dériver 10 sinus 𝜃 par rapport à 𝜃. La dérivée de sin est cos et c’est donc 10 cos 𝜃. Qu’en est-il de 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡 ? Eh bien, si vous vous souvenez, la valeur qui nous a été donnée dans la question, 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡 est 0,6. En les multipliant, on obtient que 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 est six cosinus 𝜃. Nous cherchons la valeur de 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 lorsque 𝜃 vaut 𝜋 sur trois. Et donc nous devons remplacer 𝜃 par 𝜋 sur trois. Nous faisons cette substitution. Et comme nous savons que cosinus 𝜋 sur trois est égal à 0,5, 𝜋 sur trois étant un angle remarquable, nous voyons que 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 vaut six fois 0,5, donc trois.

Interprétons donc ce résultat dans son contexte. Dans un triangle avec des côtés de longueurs quatre et cinq formant un angle 𝜃 qui augmente de 0,6 radians par seconde, à l’instant où 𝜃 vaut 𝜋 sur trois, le taux de variation instantané de l’aire par rapport au temps est de trois unités carrées par seconde.

Cette question est une question sur les taux liés, et nous l’avons résolue en utilisant les méthodes habituelles de résolution de ces questions. Nous utilisons les dérivées pour exprimer mathématiquement le problème décrit dans la question. Par exemple, nous avons vu que nous devions trouver la valeur de 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡. Et on nous a donné la valeur de 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡. Nous voulons ensuite relier le taux 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 au taux 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡, ce qui est en fait un problème de taux liés. Et nous l’avons fait en trouvant d’abord une relation entre 𝐴 et 𝜃, avant de la dériver implicitement pour en faire une relation entre 𝑑𝐴 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡. Après cela, nous avons substitué les valeurs de 𝑑𝜃 sur 𝑑𝑡 et de 𝜃 pour trouver notre réponse.