Transcription de la vidéo
Simplifiez quatre à la puissance trois 𝑛 plus trois fois 25 à la puissance un moins trois 𝑛 le tout divisé par deux à la puissance neuf 𝑛 plus trois fois 50 à la puissance un moins trois 𝑛.
Ici, nous travaillons avec les bases quatre, 25, deux et 50. Et si nous pouvions faire en sorte que ces bases soient similaires, nous pourrions utiliser ces propriétés: 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏 et 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Et si nous avions 𝑥 à la puissance moins 𝑎, nous pourrions mettre ceci au dénominateur et rendre l’exposant positif. Ce serait donc un sur 𝑥 à la puissance 𝑎.
Nous devons donc trouver comment réécrire d’une manière ou d’une autre ces bases afin qu’elles soient semblables. Voici les bases avec lesquelles nous devons travailler. Quatre peut s’écrire deux au carré. C’est donc aussi une base de deux. Et deux est déjà une base de deux. C’est deux à la puissance un. Nous pouvons réécrire 25 comme cinq au carré.
Par contre, 50 n’est pas un carré. Mais puisque nous utilisons les bases deux et cinq, pourrions-nous réécrire 50 en les utilisant? Eh bien, 50 est égal à 25 fois deux et 25 est égal à cinq au carré. Donc, nous pouvons écrire 50 en utilisant les bases cinq et deux. Commençons donc à simplifier.
En commençant d’abord par notre numérateur, nous allons remplacer le quatre par deux au carré et le 25 par cinq au carré. Et maintenant, pour simplifier, nous devons développer les exposants. Et nous avons deux à la puissance six 𝑛 plus six fois cinq à la puissance deux moins six 𝑛. Nous allons maintenant utiliser cette propriété, mais dans le sens inverse. Remarquez donc que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Et qu’avons-nous jusqu’à présent? Nous avons deux à la puissance six 𝑛 plus six - nous devons donc les séparer - et cinq à la puissance deux moins six 𝑛 que nous pouvons séparer aussi. Donc, nous avons deux à la puissance six 𝑛 plus six.
Nous pourrions donc réécrire ceci comme deux à la puissance six 𝑛 fois deux à la puissance six et ceci comme cinq à la puissance deux fois cinq à la puissance moins six 𝑛. Et puisque nous avons un exposant négatif, nous utiliserons cette propriété. Nous devons donc déplacer ceci au dénominateur puisqu’il est au numérateur et nous pouvons ainsi le changer en une puissance positive à savoir plus six.
Nous aurions également pu utiliser le fait que lorsque nous soustrayons nos exposants, cela équivaut à une division. Ainsi, nous aurions cinq à la puissance deux divisée par cinq à la puissance six 𝑛. C’est ainsi que nous aurions traité la soustraction ici. Bon, nous avons donc simplifié le numérateur. Simplifions maintenant le dénominateur.
Nous allons donc mettre un un au dessus pour représenter le fait que ces nombres sont au dénominateur. Nous avons donc nos bases deux et 50. Nous allons donc garder notre base deux. Et pour 50, nous avons décidé de le réécrire comme cinq au carré fois deux, ce que nous avons fait ici. Maintenant, nous devons simplifier le cinq au carré fois deux à la puissance un moins trois 𝑛. Pour cela, nous les avons séparés. Avant de continuer, distribuons simplement le deux entre un et moins trois 𝑛. Nous avons donc cinq à la puissance deux moins six 𝑛.
Réutilisons maintenant la propriété qui nous permet de tous les séparer. Nous avons donc d’abord séparé les neuf 𝑛 et le trois. On a donc deux à la puissance neuf 𝑛 fois deux à la puissance trois, puis, fois cinq au carré fois cinq à la puissance moins six fois deux à la puissance un fois deux à la puissance moins trois 𝑛. Nous avons donc deux puissances négatives. Et nous pouvons les rendre positives en les plaçant au numérateur. Nous avons donc maintenant complètement simplifié le dénominateur.
Nous avions donc simplifié ici notre numérateur. Et nous avions déplacé cinq à la puissance six 𝑛 au dénominateur. Et ici, nous avons simplifié notre dénominateur, mais nous avons déplacé ceci vers le numérateur. Nous devons donc les rassembler. Et nous pouvons les rassembler en multipliant car tout ce qui est en haut était censé aller au numérateur et tout ce qui en bas était censé aller au dénominateur.
En commençant par le numérateur, nous avons deux à la puissance six 𝑛 et deux à la puissance trois 𝑛 et nous les multiplions. Ainsi, nous pouvons réécrire ceci comme deux à la puissance six 𝑛 plus trois 𝑛. Et six 𝑛 plus trois 𝑛 est égal à neuf 𝑛. Ensuite, nous avons deux à la puissance six fois cinq à la puissance deux fois cinq à la puissance six 𝑛. Nous n’avons pas rassemblé les cinq ensemble, car nous avions un deux et un six 𝑛. Et ceux-ci ne se simplifient pas ensemble. Nous avons mis ensemble le deux à la puissance six 𝑛 et le deux à la puissance trois 𝑛 parce qu’ils étaient tous les deux des termes en 𝑛.
Au dénominateur, nous avons cinq à la puissance six 𝑛 fois deux à la puissance neuf 𝑛. Et maintenant, nous avons deux à la puissance trois, puis deux, c’est à dire deux à la puissance un. Ce serait donc deux à la puissance trois plus un qui est égal à deux à la puissance quatre fois cinq au carré. Alors maintenant, quelques éléments peuvent se simplifier. Les deux à la puissance neuf disparaissent. Les cinq au carré également. Les cinq à la puissance six aussi. Et il nous reste finalement deux à la puissance six divisée par deux à la puissance quatre.
Et lors de la division de puissances avec des bases identiques, nous soustrayons leurs exposants et six moins quatre est égal à deux. Et comme deux au carré est égal à quatre. Alors, après simplification, nous obtenons quatre.
