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Lequel des graphiques ci-dessous représente l’équation 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré ?
Nous avons un choix à faire parmi cinq graphiques. Il y a en fait plusieurs façons de répondre à cette question. Une technique consiste à utiliser un tableau de valeurs. Sinon, nous pouvons regarder l’équation donnée et voir si nous pouvons arriver à celle-ci en utilisant une série de transformations. Nous allons utiliser la dernière méthode, puis vérifier notre réponse avec la première. Ainsi, nous allons commencer par le graphique de l’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré.
La courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré est une parabole. Plus précisément, il s’agit d’une parabole qui s’ouvre vers le haut comme celle-ci et qui passe par le point zéro, zéro. Rappelez-vous, par définition les paraboles sont également symétriques. En fait, une parabole représentant une fonction du second degré possède un axe de symétrie qui passe par son point de changement de variation. En particulier, pour la fonction 𝑦 est égal à 𝑥 au carré, sa courbe est une parabole admettant l’axe des ordonnées ou la droite d’équation x est égal à zéro comme axe de symétrie.
Si nous regardons maintenant nos graphiques de (A) à (E), nous voyons que le graphique qui représente 𝑦 est égal à 𝑥 au carré est le graphique (B). Elle donne une parabole qui s’ouvre vers le haut, elle a un axe de symétrie donné par la droite d’équation 𝑥 est égal à zéro et elle passe par le point zéro, zéro. Nous pouvons le confirmer en vérifiant pour quelques points qu’ils appartiennent bien à cette parabole, par exemple, le point de coordonnées deux, quatre. Ce point nous indique que lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑦 doit être égal à quatre. Bien, si nous remplaçons 𝑥 par deux dans l’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré, nous obtenons, comme requis, que 𝑦 est égal à deux au carré, ce qui donne quatre. Nous pourrions, si nous le souhaitions, faire ce travail avec quelques points supplémentaires, par exemple, le point un, un ou le point moins deux, quatre. Cependant, passons à autre chose et identifions la transformation qui permet le passage de la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré à celle de 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré.
En revenant à la forme générale 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, nous savons que nous pouvons passer à la courbe de 𝑦 est égal à moins 𝑓 de 𝑥 par une symétrie par rapport à l’axe des abscisses ou par rapport à la droite 𝑦 est égal à zéro. Cela signifie que nous pouvons passer de la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré à celle de 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré par une symétrie par rapport à cette droite. Lorsque nous revenons au graphique (B), celui de l’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré, si nous effectuons sa symétrie par rapport à l’axe des abscisses, nous obtenons ceci. Lorsque nous comparons ceci aux quatre autres graphiques, nous voyons qu’il correspond au graphique (A). Le graphique (A) représente donc l’équation 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré.
En fait, nous aurions pu très rapidement écarter les graphiques (C), (D) et (E). Nous pouvons voir en effet que ce ne sont pas du tout des paraboles. En effet, ils ont comme asymptote la droite d’équation x est égal à zéro soit l’axe des ordonnées. Il s’agit d’une indication qui permet de déduire que ces graphiques représentent probablement des fonctions inverses comme par exemple, 𝑦 est égal à un sur 𝑥 au carré ou des fonctions similaires.
Maintenant et en gardant ceci à l’esprit, vérifions notre réponse en utilisant un tableau de valeurs comme nous l’avons suggéré au début. Il s’agit d’une méthode assez infaillible pour tracer le graphique d’une fonction du second degré. Nous choisissons des valeurs que nous mettrons comme entrées de notre équation ou de notre fonction. Nous allons choisir 𝑥 est égal à moins deux, moins un, zéro, un et deux. Ensuite, nous allons remplacer 𝑥 par moins deux dans l’équation 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré. Maintenant, cela revient bien sûr à multiplier l’expression 𝑥 au carré par moins un. Ainsi, et conformément à l’ordre des opérations, nous allons mettre la valeur de 𝑥 au carré avant de la multiplier par moins un. Dans ce cas, nous allons mettre au carré moins deux. Cela nous donne quatre. Puis, nous allons le multiplier par moins un, ce qui nous donne moins quatre. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑦 est égal à moins quatre.
Faisons de même lorsque 𝑥 est égal à moins un. 𝑦 est égal à moins moins un au carré. Nous avons donc mis moins un au carré ce qui donne un et nous le multiplions à nouveau par moins un pour obtenir moins un. Répétons cela avec nos valeurs restantes. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à moins un. Enfin, lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑦 est égal à moins quatre. En représentant ces points sur le graphique (A), nous pouvons voir que ce graphique passe par tous ces cinq points. Cela confirme que le graphique qui représente l’équation 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré est le graphique (A).
