Transcription de la vidéo
Considérons la représentation graphique suivante de 𝑦 égale moins trois sur 𝑥 moins deux. En observant la représentation graphique et en substituant quelques valeurs de plus en plus grandes de 𝑥 dans l'expression de la fonction, quel est le comportement de la représentation graphique quand 𝑥 augmente le long de l'axe des 𝑥 positifs ?
On nous donne le graphe d'une fonction rationnelle 𝑦 égale moins trois sur 𝑥 moins deux et on nous demande d'utiliser ce graphe et la fonction pour déterminer le comportement à l'infini de son graphe. Pour cela, on rappelle d'abord que le comportement à l'infini d'une courbe est le comportement de la courbe lorsque les valeurs de 𝑥 augmentent ou diminuent infiniment. On veut déterminer le comportement à l'infini de la courbe lorsque les valeurs de 𝑥 augmentent infiniment. On nous dit d'analyser le comportement à l'infini en utilisant deux méthodes différentes. Premièrement, on nous demande d'utiliser le graphe donné pour analyser le comportement à l'infini. Deuxièmement, on nous demande d'analyser le comportement à l'infini en remplaçant par des valeurs de 𝑥 de plus en plus grandes dans la fonction donnée.
Examinons d'abord le graphe donné. Rappelons que l’abscisse 𝑥 d'un point du graphe représente la valeur d'entrée de la fonction et que l’ordonnée 𝑦 représente la valeur de sortie correspondante de la fonction. A partir de la représentation graphique, nous constatons que lorsque les valeurs de 𝑥 deviennent de plus en plus grandes, le graphe de la fonction se rapproche de l'axe des 𝑦 par dessous. Cela semble être une asymptote horizontale en 𝑦 égale zéro. Comme le graphe s'approche de la droite 𝑦 égale zéro lorsque les valeurs de 𝑥 augmentent infiniment, ceci implique que la valeur de 𝑦 s'approche de zéro lorsque 𝑥 augmente.
Cela suffit pour répondre à la question. On nous demande cependant de vérifier cette réponse en remplaçant par des valeurs de 𝑥 de plus en plus grandes dans la fonction. Pour cela, examinons d'abord la fonction rationnelle. On remarque que le dénominateur est 𝑥 moins deux. Nous pouvons donc faciliter les calculs en choisissant des valeurs rendant le dénominateur et la fraction plus facile à évaluer. Par exemple, si on remplace 𝑥 par 12 dans la fonction, alors le dénominateur donnera 10, et la division par 10 est facile à calculer. On constate que lorsque 𝑥 égal 12, 𝑦 correspond à moins trois divisé par 12 moins deux, ce qui donne moins 0,3.
On peut suivre le même processus avec des abscisses 𝑥 plus grandes. Cette fois, on utilisera 𝑥 égale 102. Le dénominateur donne 100, et trouve alors que lorsque 𝑥 égale 102, 𝑦 vaut moins 0,03. Ce processus se répète infiniment. Par exemple, on peut trouver que lorsque 𝑥 égale 1,002, 𝑦 vaut moins 0,003. On constate que, lorsque nous augmentons les valeurs des abscisses 𝑥, les valeurs de sortie 𝑦 devient de plus en plus petites. En fait, elles s'approchent de la valeur zéro en étant négatives. Cela correspond à notre analyse du graphe. On peut donc conclure que lorsque les valeurs de 𝑥 augmentent infiniment le long de l'axe des 𝑥 positifs, les valeurs de 𝑦 se rapprochent de zéro.
