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Vidéo de question : Dériver des fonctions trigonométriques dont les arguments sont des fonctions affines Mathématiques

On pose 𝑦 = 3 cos(8𝑥 − 3), déterminez d𝑦/d𝑥.

06:20

Transcription de vidéo

On pose 𝑦 égale trois fois le cosinus de huit 𝑥 moins trois, déterminez d𝑦 sur d𝑥.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑦 qui est une fonction trigonométrique. On nous demande de déterminer d𝑦 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Cependant, il y a une petite difficulté. L’argument de notre fonction trigonométrique est huit 𝑥 moins trois, il ne s’agit donc pas d’un simple multiple de 𝑥. Nous ne savons pas comment dériver les fonctions trigonométriques de cette forme. Il existe différentes approches pour résoudre ce problème. L’une d’entre elles consiste à essayer de réécrire notre fonction sous une forme qu’on sait dériver. Pour cela, on rappelle la formule d’addition ou de soustraction d’angles du cosinus.

Nous savons que le cosinus de 𝑎 plus ou moins 𝑏 est égal au cosinus de 𝑎 fois le cosinus de 𝑏 moins ou plus le sinus de 𝑎 fois le sinus de 𝑏. Dans notre cas, on soustrait deux angles. Nous allons donc utiliser cette version de notre formule. Nous l’appliquons à notre expression en posant 𝑎 égale huit 𝑥 et 𝑏 égale trois et nous obtenons que le cosinus de huit 𝑥 moins trois est égal au cosinus de huit 𝑥 fois le cosinus de trois plus le sinus de huit 𝑥 fois le sinus de trois. Puis, on multiplie les deux membres par trois. Le membre de gauche correspond alors exactement à notre expression de 𝑦. Nous savons comment dériver l’expression du membre de droite.

En dérivant les deux membres de cette équation par rapport à 𝑥, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à la dérivée de trois fois le cosinus de huit 𝑥 fois le cosinus de trois plus trois fois le sinus de huit 𝑥 fois le sinus de trois par rapport à 𝑥. Cette expression est facile à dériver une fois que l’on remarque que le cosinus de trois et le sinus de trois sont des constantes. Ainsi, les seules parties de cette expression qui varient en fonction de 𝑥 sont le cosinus de huit 𝑥 et le sinus de huit 𝑥. Nous pouvons calculer cette dérivée terme par terme.

Pour dériver notre premier terme, on rappelle que pour toute constante réelle 𝑘, la dérivée du cosinus de 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑘 fois le sinus de 𝑘𝑥. Dans notre premier terme, la valeur de 𝑘 est huit. En appliquant cela, nous pouvons dériver notre premier terme par rapport à 𝑥 et nous obtenons trois multiplié par moins huit fois le sinus de huit 𝑥 multiplié par le cosinus de trois. Notre coefficient de trois fois moins huit donne moins 24.

Pour dériver notre second terme, nous pouvons rappeler une autre dérivée trigonométrique usuelle. Pour toute constante réelle 𝑘, la dérivée du sinus de 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois le cosinus de 𝑘𝑥. Dans notre second terme, la valeur de 𝑘 est huit. Ainsi, nous pouvons dériver notre second terme en appliquant cette formule pour 𝑘 égale huit, ce qui nous donne trois multiplié par huit fois le cosinus de huit 𝑥 multiplié par le sinus de trois. À nouveau, notre coefficient de trois fois huit donne 24. Nous avons obtenu une expression de d𝑦 sur d𝑥, comme demandé dans la question.

Cependant, cette expression est inutilement compliquée. Nous pourrions la simplifier en utilisant une autre formule trigonométrique de soustraction d’angles, celle du sinus. On rappelle que le sinus de 𝑎 moins 𝑏 est égal au sinus de 𝑎 fois le cosinus de 𝑏 moins le cosinus de 𝑎 fois le sinus de 𝑏. Il est possible qu’au premier abord, on ne voit pas comment appliquer cette formule à notre expression. Pour y remédier, nous pouvons modifier légèrement notre expression. Nous la factorisons par 24. Cela nous donne cette nouvelle expression. Nous pouvons alors constater que si nous posons 𝑎 égale huit 𝑥 et 𝑏 égale trois, la partie entre parenthèses correspond exactement à notre formule.

Ainsi, nous pouvons remplacer l’expression entre parenthèses par le sinus de huit 𝑥 moins trois. Cela nous donne d𝑦 sur d𝑥 égale moins 24 fois le sinus de huit 𝑥 moins trois. Il s’agit d’une façon de faire pour résoudre cette question, il en existe d’autres. Voyons maintenant une approche plus graphique. Pour cela, on commence par examiner notre fonction 𝑦 égale trois fois le cosinus de huit 𝑥 moins trois. Comme nous l’avons déjà dit, nous ne savons pas comment dériver cela directement. Cependant, nous savons dériver des fonctions qui y ressemblent. Par exemple, nous savons comment dériver trois fois le cosinus de huit 𝑥.

Nous pouvons donc être tenté de réécrire notre fonction sous la forme trois fois le cosinus de huit multiplié par 𝑥 moins trois sur huit. Ce faisant, nous remarquons quelque chose d’intéressant. La courbe de cette fonction est simplement une transformation de la courbe trois fois le cosinus de huit 𝑥. Il s’agit plus précisément d’une translation horizontale de trois huitièmes d’unité vers la droite. Pour comprendre en quoi cela va nous aider, nous traçons le graphe de 𝑦 égale trois fois le cosinus de huit 𝑥. Nous savons dériver cette courbe. De plus, nous savons qu’en tout point d’une courbe, la dérivée correspond à la pente de la tangente en ce point.

Alors que se passerait-il si nous faisions une translation de l’ensemble de notre graphe de trois huitièmes d’unité vers la droite? Si nous déplaçons chaque point de notre courbe trois huitièmes d’unité vers la droite, nous retrouvons les mêmes pentes de tangentes, mais décalées de trois huitièmes d’unité vers la droite. Ainsi, au lieu de déterminer d𝑦 sur d𝑥 directement, nous pouvons simplement dériver la fonction 𝑦 égale trois fois le cosinus de huit 𝑥, puis translater notre résultat.

Ainsi, nous voulons dériver trois fois le cosinus de huit 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous avions déjà fait cela précédemment et on avait écrit la formule utilisée. Nous posons 𝑘 est égal à huit. Nous dérivons et obtenons trois multiplié par moins le sinus de huit 𝑥, ce qui se simplifie en moins 24 fois le sinus de huit 𝑥. Cependant, n’oublions pas que ce résultat nous donne les pentes des tangentes à la courbe 𝑦 égale trois fois le cosinus de huit 𝑥. Ainsi, il est nécessaire d’appliquer à ce résultat une translation de trois huitièmes d’unité vers la droite. Pour cela, il suffit de soustraire trois huitièmes à notre valeur de 𝑥. Ainsi, si nous translatons notre graphe de trois huitièmes d’unité vers la droite, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 24 fois le sinus de huit multiplié par 𝑥 moins trois sur huit.

Nous pouvons bien sûr simplifier cela, car huit fois 𝑥 moins trois sur huit est égal à huit 𝑥 moins trois. Nous avons vu deux méthodes différentes pour montrer que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 24 fois le sinus de huit 𝑥 moins trois. Ces deux méthodes étaient plutôt laborieuses. Cependant, il existe une autre approche, que nous ne détaillerons pas dans cette vidéo, qui permet de résoudre ce type de problèmes beaucoup plus facilement. Elle consiste à appliquer une règle appelée règle de dérivation en chaîne.

D’après cette règle, si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée par rapport à 𝑥 de la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥. Par ailleurs, nous pourrions utiliser la règle de dérivation en chaîne ou l’une des deux méthodes appliquées précédemment pour prouver deux résultats très utiles lorsqu’il s’agit de dériver des fonctions trigonométriques. Cependant, cela sera pour une autre vidéo ; dans cette vidéo, nous avons montré que si 𝑦 est égal à trois fois le cosinus de huit 𝑥 moins trois, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 24 fois le sinus de huit 𝑥 moins trois.

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