Vidéo question :: Mesure de la norme d’un vecteur résultant Physique • Première année secondaire

Transcription de la vidéo

Des vecteurs sont dessinés à l’échelle de la règle dans le diagramme. Les carrés de la grille ont des côtés d’un centimètre de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant mesurée au centimètre près ?

Alors, dans cette question, on nous donne un schéma vectoriel contenant trois vecteurs. Et on nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. On nous dit aussi que les carrés du quadrillage ont des côtés d’un centimètre de long. Et on nous demande de trouver la longueur du vecteur résultant. Rappelons que la résultante de deux vecteurs est le vecteur que nous obtenons lorsque nous additionnons ces deux vecteurs ensemble. Lorsque nous avons des vecteurs dessinés sur un schéma vectoriel, nous pouvons additionner ces vecteurs en les dessinant avec la méthode du bout à bout.

Nous pouvons identifier la queue et la tête d’un vecteur de la manière suivante. La queue est où ce vecteur commence, et la tête est où ce vecteur pointe. Donc, dessiner deux vecteurs avec la méthode du bout à bout signifie dessiner la queue d’un vecteur en commençant par la pointe de l’autre. Ensuite, la résultante est ce que nous obtenons lorsque nous additionnons ces deux vecteurs ensemble. Elle commence à la queue du premier vecteur et s’étend jusqu’à la tête du deuxième vecteur. Donc, dans cet exemple, le vecteur résultant est cette flèche bleue ici. Et nous voyons que la composante 𝑥 de notre vecteur résultant est donnée par la somme de la composante 𝑥 de notre premier vecteur et de la composante 𝑥 de notre second vecteur. Et de même, la composante 𝑦 de notre vecteur résultant est donnée par la somme de la composante 𝑦 du premier vecteur et de la composante 𝑦 du second vecteur.

En repensant à la question, nous voyons qu’on nous demande de trouver la longueur du vecteur rouge, qui est la résultante des vecteurs bleu et vert dans le diagramme. Et si nous regardons notre diagramme, nous voyons que ce vecteur rouge commence en effet à la queue du vecteur bleu et s’étend jusqu’à la pointe du vecteur vert. Dans cette question, le vecteur bleu est entièrement horizontal et le vecteur vert est entièrement vertical. Cela signifie que l’angle entre ces deux vecteurs est de 90 degrés. Cela rend notre travail plus simple. Puisque nous savons que notre vecteur résultant rouge commence à la queue du vecteur bleu et s’étend à la pointe du vecteur vert, et maintenant nous savons que l’angle entre les vecteurs bleu et vert est de 90 degrés, alors nous savons que nos trois les vecteurs doivent former un triangle rectangle.

On nous demande de trouver la longueur de ce vecteur résultant, ce qui signifie que nous devons trouver la longueur de l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Si nous annotons les longueurs des côtés de ce triangle comme 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, alors le théorème de Pythagore nous dit que 𝑐 au carré est donné par 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous prenons la racine carrée des deux côtés de cette équation, alors nous pouvons réécrire ceci comme 𝑐, la longueur de l’hypoténuse, égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Maintenant, dans notre cas, 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les longueurs du vecteur bleu et du vecteur vert, et 𝑐 est la longueur du vecteur rouge, le vecteur résultant que nous essayons de trouver. Donc, ce que cette équation dit, c’est que pour trouver la longueur de cette résultante, nous devons connaître les longueurs 𝑎 et 𝑏 du vecteur bleu et du vecteur vert. Heureusement pour nous, nous avons une échelle sur notre diagramme. Et puisque le vecteur bleu et le vecteur vert pointent tous les deux sur les axes de ce diagramme, cela facilite la lecture de leurs longueurs. Nous savons que chaque carré a une longueur d’un centimètre. Cela signifie que si nous comptons le nombre de carrés de chacun de ces vecteurs, ce nombre est égal à la longueur de ce vecteur en centimètres.

Pour notre vecteur vert, c’est vraiment simple car nous avons la règle positionnée dans le sens vers lequel le vecteur vert pointe. Si nous regardons la queue de ce vecteur vert et que nous traçons vers notre règle, nous voyons qu’il commence à une hauteur de zéro centimètre. Et si nous regardons la pointe de ce vecteur, nous voyons qu’il atteint une hauteur de 10 centimètres. On peut donc dire que 𝑏 est égal à 10 centimètres.

Si nous regardons maintenant notre vecteur bleu, nous voyons que nous n’avons pas de règle positionnée sur le diagramme pour lire simplement sa longueur. Nous avons donc besoin de compter les carrés. Si nous faisons cela, nous constatons que notre vecteur bleu est égal à un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10 carrés. Et puisque nous savons qu’un carré est égal à un centimètre, nous pouvons dire que la longueur de notre vecteur bleu 𝑎 est égale à 10 centimètres.

Alors maintenant, nous pouvons prendre ces valeurs de 𝑎 et 𝑏 et les substituer dans notre équation pour 𝑐. Puisque 𝑎 et 𝑏 sont égaux à 10 centimètres, nous avons donc que 𝑐 est donné par la racine carrée de 10 centimètres carrés plus 10 centimètres carrés. Maintenant, nous devons faire un peu attention aux unités lors de ce calcul, car si nous calculons le carré de 10 centimètres, nous obtenons 100 centimètres carrés. Si nous additionnons 100 centimètres carrés et 100 centimètres carrés, nous obtenons un résultat de 200 centimètres carrés.

La dernière étape pour calculer la valeur de 𝑐, qui nous donne la longueur du vecteur résultant, consiste à déterminer cette racine carrée. Si nous prenons la racine carrée d’une grandeur mesurée en centimètres carrés, alors nous obtenons une grandeur avec des unités de centimètres. Et si nous prenons la racine carrée de 200, nous obtenons une valeur de 14,142 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. Donc, cette grandeur ici, 𝑐, que nous avons calculé est la longueur du vecteur résultant qu’on nous a demandé de trouver. Mais si nous regardons de nouveau la question, nous voyons qu’on nous demande de donner notre réponse au centimètre près. Notre résultat est donc arrondi à 14 centimètres.

Et donc, enfin, nous obtenons notre réponse à la question : au centimètre près, la longueur du vecteur résultant sur le diagramme, est de 14 centimètres.