Vidéo question :: Comparer les vitesses à partir d’un graphique distance-temps Physique • Première année secondaire

Transcription de la vidéo

Est-ce que les vitesses associées aux droites représentées sur ce graphique distance-temps varient dans le même rapport entre deux droites voisines ?

Cette question porte sur les droites d’un graphique distance-temps. C’est un graphique qui représente la distance sur l’axe vertical, ou l’axe des 𝑦, en fonction du temps sur l’axe horizontal, ou l’axe des 𝑥. On nous demande de comparer les vitesses associées à chacune des quatre droites représentées sur ce graphique et de déterminer si pour deux droites voisines, les vitesses varient dans le même rapport. Rappelons que la vitesse d’un objet est définie comme la variation de la distance parcourue par cet objet en fonction du temps. Avec cette définition de la vitesse, si un objet parcourt une distance Δ𝑑 et qu’il lui faut un temps Δ𝑡 pour le faire, alors la vitesse de cet objet, que nous appellerons 𝑉, est égale à Δ𝑑 divisé par Δ𝑡.

Nous pouvons également écrire cette fraction d’une autre manière. Si entre un instant 𝑡 un et un instant 𝑡 deux la distance parcourue par un objet passe d’une valeur 𝑑 un à une valeur 𝑑 deux, alors Δ𝑑 est égal à 𝑑 deux moins 𝑑 un et Δ𝑡 est égal à 𝑡 deux moins 𝑡 un. Nous avons donc que la vitesse 𝑉 est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un divisé par 𝑡 deux moins 𝑡 un.

Alors, comme le graphique distance-temps représente la distance sur l’axe vertical par rapport au temps sur l’axe horizontal, alors si 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux sont les coordonnées de deux points différents sur une droite représentée sur le graphique distance–temps, alors cette expression correspond à la variation de distance verticale entre ces deux points, divisée par la variation de distance horizontale entre ces deux mêmes points. Autrement dit, pour une droite représentée sur un graphique distance-temps, cette expression nous donne la pente de la droite. Nous pouvons donc dire que si le mouvement d’un objet est représenté par une droite sur un graphique distance-temps, la vitesse de l’objet est égale à la pente de cette droite.

Dans cette question, nous avons un graphique distance-temps avec quatre droites. Il y a une droite orange, une droite verte, une droite bleue et une droite rouge. Nous avons appelé les vitesses correspondantes à chacune de ces droites respectivement 𝑉 indice 𝑜, 𝑉 indice 𝑣, 𝑉 indice 𝑏 et 𝑉 indice 𝑟. Nous pouvons utiliser cette expression ici pour calculer la pente de chacune de ces droites et nous savons que cela va nous donner la vitesse associée à chaque droite. Faisons un peu de place sur le tableau et allons-y.

Pour déterminer la vitesse associée à chaque droite, il faut choisir deux points de cette droite dont les coordonnées seront 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑡 deux, 𝑑 deux, puis utiliser cette expression pour calculer la pente entre ces deux points. Commençons par la droite orange du graphique, pour calculer la vitesse V indice 𝑜. Nous allons choisir comme premier point de cette droite, l’origine du graphique. Avec donc une valeur de temps de zéro seconde et une valeur de distance de zéro mètre. Pour le deuxième point de la droite orange, nous allons choisir ce point ici.

En traçant une droite verticale à partir de ce point jusqu’à l’axe des temps, nous pouvons voir que le temps associé à ce point est situé entre les graduations zéro et deux secondes de l’axe. La valeur située entre zéro et deux est un. Et la valeur de temps de ce point 𝑡 deux est donc égale à une seconde. Ensuite, en traçant une droite horizontale à partir du deuxième point vers l’axe des distances, nous voyons que la valeur de la distance en ce point est égale à huit mètres. Voilà donc la valeur de 𝑑 deux.

Nous pouvons maintenant prendre ces quatre valeurs et les remplacer dans cette expression afin de calculer la vitesse associée à la droite orange, 𝑉 indice 𝑜. En faisant cela, nous obtenons cette expression ici. Au numérateur, nous avons huit mètres, c’est la valeur de 𝑑 deux, moins zéro mètre, la valeur de 𝑑 un. Ensuite, au dénominateur, nous avons une seconde, c’est la valeur de 𝑡 deux, moins zéro seconde, la valeur de 𝑡 un. Alors, huit mètres moins zéro mètre font simplement huit mètres. Et de même, une seconde moins zéro seconde équivaut à une seconde. Donc, nous avons que 𝑉 indice 𝑜 est égale à huit mètres divisés par une seconde. Ce qui fait une vitesse de huit mètres par seconde.

Maintenant que nous avons trouvé la vitesse associée à la droite orange, continuons et faisons la même chose pour la droite verte. Choisissons à nouveau l’origine du graphique comme premier point, ce qui nous donne 𝑡 un est égal à zéro seconde et 𝑑 un est égal à zéro mètre. Ensuite, pour le deuxième point de la ligne verte, nous allons choisir ce point ici. En traçant une droite jusqu’à l’axe des temps, nous pouvons voir que ce point correspond à une valeur de temps de deux secondes, c’est donc la valeur de 𝑡 deux. Ensuite, en traçant une droite jusqu’à l’axe des distances, nous pouvons voir que l’objet a parcouru une distance de huit mètres en ce point, c’est donc la valeur de 𝑑 deux.

Nous pouvons remarquer que les valeurs de 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑑 deux sont les mêmes pour la droite verte et pour la droite orange. La seule différence est la valeur de 𝑡 deux, qui est maintenant de deux secondes au lieu d’une seconde, valeur que nous avions pour la droite orange. Autrement dit, il s’est écoulé deux fois plus de temps au moment où l’objet représenté par la droite verte s’est déplacé de huit mètres par rapport à l’objet représenté par la droite orange. Si nous remplaçons maintenant ces quatre valeurs dans l’équation, nous obtenons cette expression pour la vitesse 𝑉 indice 𝑣. Au numérateur, huit mètres moins zéro mètre qui font huit mètres. Ensuite, au dénominateur, deux secondes moins zéro seconde font deux secondes. 𝑉 indice 𝑣 est alors égal à huit mètres divisé par deux secondes. Et cela correspond à une vitesse de quatre mètres par seconde.

Faisons maintenant la même chose pour 𝑉 indice 𝑏, la vitesse associée à la droite bleue. Encore une fois, nous allons choisir l’origine comme premier point. Donc, nous avons que 𝑡 un vaut zéro seconde et que 𝑑 un vaut zéro mètre. Pour le deuxième point de cette droite, nous allons choisir ce point ici, nous pouvons voir que, comme pour la droite orange et la droite verte, la valeur de la distance pour ce deuxième point est de huit mètres. Encore une fois, nous avons les mêmes valeurs pour 𝑡 un, 𝑑 un et 𝑑 deux. Ensuite, pour la valeur de 𝑡 deux, en traçant une droite à partir de ce point de la droite jusqu’à l’axe des temps, nous pouvons lire une valeur de quatre secondes.

Remplaçons maintenant ces quatre valeurs dans l’équation pour calculer la vitesse V indice 𝑏. En faisant cela, nous obtenons cette expression ici, qui correspond à une vitesse de deux mètres par seconde. La dernière vitesse à calculer est 𝑉 indice 𝑟, la vitesse associée à la droite rouge du graphique. Encore une fois, nous allons choisir l’origine de la droite comme premier point, ce qui nous donne 𝑡 un et 𝑑 un valant respectivement zéro seconde et zéro mètre. Pour le deuxième point, qui est celui-ci, nous pouvons voir que le temps est de huit secondes et que la distance est de huit mètres. Avec ces valeurs dans l’équation nous obtenons cette expression pour la vitesse V indice 𝑟, qui correspond à un mètre par seconde.

Alors, nous avons donc calculé les vitesses associées aux quatre droites du graphique distance-temps. Dans la question, on nous demande si ces vitesses varient dans le même rapport entre deux droites voisines. Nous avons dans l’ordre, la droite orange, puis verte, puis bleue, puis rouge. Rappelons que le rapport entre deux vitesses 𝑉 un et 𝑉 deux est égal à la vitesse 𝑉 un divisée par la vitesse 𝑉 deux. On nous demande si le rapport entre 𝑉 indice 𝑜 et 𝑉 indice 𝑣 est égal au rapport entre les vitesses 𝑉 indice r et 𝑉 indice 𝑏 et au rapport entre 𝑉 indice 𝑏 et 𝑉 indice 𝑟. Nous pouvons calculer ces trois rapports en utilisant les valeurs des quatre vitesses.

En commençant par le rapport entre 𝑉 indice 𝑜 et 𝑉 indice 𝑣 puis en remplaçant 𝑉 indice 𝑜 par huit mètres par seconde et 𝑉 indice 𝑣 par quatre mètres par seconde, nous obtenons cette expression ici. Les mètres par seconde se simplifient au numérateur et au dénominateur et il nous reste une grandeur sans dimension. Ensuite, en calculant huit divisé par quatre, nous obtenons un rapport de deux. Considérons maintenant ce deuxième rapport et remplaçons les valeurs des vitesses 𝑉 indice 𝑣 et 𝑉 indice 𝑏, les unités se simplifient et il nous reste quatre divisé par deux, ce qui donne un rapport de deux.

Pour le dernier rapport 𝑉 indice 𝑏 sur 𝑉 indice 𝑟, les valeurs de ces deux vitesses nous donnent une expression de deux mètres par seconde divisée par un mètre par seconde. En simplifiant les unités au numérateur et au dénominateur et en faisant la division deux divisée par un, nous trouvons que ce rapport est aussi égal à deux. Comme nous avons obtenu le même résultat, deux, dans les trois cas, nous pouvons dire que cette affirmation concernant les vitesses associées aux droites du graphique est bien vraie.

La réponse à cette question est donc oui, les vitesses associées aux droites représentées sur ce graphique distance-temps varient dans le même rapport entre deux droites voisines.