Transcription de la vidéo
Une sphère remplie de gaz se dilate, passant d’un rayon de 0,5 mètre à un rayon de deux mètres. La température reste constante tout au long de la dilatation. Par quel facteur la pression du gaz dans la sphère est-elle réduite après son expansion ?
Dans cette question, on nous a dit que l’on a une sphère remplie de gaz. Et cette sphère remplie de gaz se dilate, passant alors d’un rayon de 0,5 mètre à un rayon de deux mètres. En d’autres termes, voici la sphère représentant le gaz avant la dilatation. Ici, cette sphère a un rayon de 0,5 mètre. Et voici la sphère après la dilatation du gaz, et cette sphère a un rayon de deux mètres. Un autre point important de l’énoncé est que l’on nous dit que la température du gaz reste constante tout au long du processus.
Ici, ce que l’on nous demande de faire est de trouver par quel facteur la pression du gaz dans la sphère est réduite après son expansion. En d’autres termes, par combien de fois la pression dans cette sphère de gaz est plus petite que celle dans cette sphère de gaz, et à présent, on va étudier ce qui suit. On parle ici d’une sphère de gaz. Et puisque l’on connait la forme que le gaz occupe, on peut calculer le volume du gaz. De plus, on cherche à déterminer comment la pression du gaz change d’avant à après sa dilatation. Et on nous a dit que la température du gaz reste constante tout au long de ce processus.
Donc, dans cette situation, il faut se rappeler d’une expression connue sous le nom de loi de Boyle. Cette loi nous dit que le produit de la pression et du volume doit être une constante si la température d’un gaz est constante. Ainsi, dans ce cas, cette condition est remplie. On nous dit dans la question que la température reste constante. Par conséquent, le produit de la pression et du volume doit également être une constante.
En d’autres termes, si on dit que la sphère de gaz avant expansion a une pression P zéro et un volume 𝑉 zéro, et une pression 𝑃 un et un volume 𝑉 un après son expansion, alors étant donné que le produit de la pression et du volume doit toujours être constant, on peut dire que 𝑃 zéro fois 𝑉 zéro doit être le même que 𝑃 un fois 𝑉 un. On peut établir ceci car la température est constante. Donc 𝑃 zéro V zéro doit être constant. Et 𝑃 un 𝑉 un doit également être la même constante car ce produit ne change pas.
Et on peut utiliser cette information pour déterminer par quel facteur 𝑃 un est plus petit que P zéro. Pour ce faire, cependant, on doit d’abord connaître les valeurs de V zéro et 𝑉 un. On va donc s’intéresser à ces volumes. Ici, on nous dit que l’on a deux sphères de gaz. Et par chance, on connait également les rayons de ces sphères. Cela nous est utile car on peut rappeler que l’équation exprimant le volume d’une sphère dit que le volume est égal à quatre tiers multiplié par 𝜋 multiplié par le rayon de la sphère au cube.
On peut donc utiliser cette équation pour calculer la valeur de V zéro et 𝑉 un. Commençons alors par 𝑉 zéro. On note que le volume 𝑉 zéro est égal à quatre tiers multiplié par 𝜋 multiplié par 𝑟 zéro au cube, où 𝑟 zéro est le rayon de la sphère initiale. Or, on nous dit dans l’énoncé que 𝑟 zéro est égal à 0,5 mètre. Mais on ne va pas tout de suite remplacer cette valeur. Et on va voir pourquoi dans une seconde.
Au lieu de cela, voyons l’expression de 𝑉 un, le volume de la plus grande sphère. On a dit que 𝑉 un est égal à quatre tiers multiplié par 𝜋 multiplié par le rayon de la plus grande sphère au cube, où on nous donne 𝑟 un égal à deux mètres. Mais encore une fois, on ne va pas tout de suite remplacer cette valeur. Maintenant que l’on a ces expressions, revenons à notre équation ici.
Ce que l’on cherche à faire pour répondre à cette question est de déterminer par combien de fois la pression du gaz dans la sphère est plus petite après son expansion. En d’autres termes, on cherche à trouver par combien 𝑃 un est plus petit que P zéro. La façon la plus simple de faire est de calculer le rapport de 𝑃 un divisé par 𝑃 zéro, car ce rapport indique de combien de fois plus petit ou plus grand sera 𝑃 un par rapport à 𝑃 zéro, ce qui signifie qu’il faut réorganiser cette équation pour obtenir 𝑃 un divisé par 𝑃 zéro sur l’un des côtés.
On va donc faire ça. On divise d’abord les deux membres de l’équation par 𝑃 zéro. De cette façon, on se retrouve alors avec 𝑃 un sur P zéro du côté droit et tous les P zéro du côté gauche s’annulent. Mais on a aussi un 𝑉 un qui se trouve du côté droit. On peut donc simplement diviser les deux côtés de l’équation par 𝑉 un. De cette façon, les 𝑉 un du côté droit s’annulent. Et maintenant, on a V zéro sur 𝑉 un à gauche, et 𝑃 un sur 𝑃 zéro à droite.
À présent, on va prendre un instant pour réécrire cela proprement. Donc, pour répéter encore une fois, on a V zéro sur 𝑉 un égal à 𝑃 un sur 𝑃 zéro, et on peut maintenant rappeler que l’on connait les expressions de V zéro et 𝑉 un. Alors pourquoi ne pas les remplacer ? On obtient donc que 𝑉 zéro est égal à quatre tiers de 𝜋 multiplié par r zéro au cube. Et on divise cela par 𝑉 un qui vaut quatre tiers de 𝜋 multiplié par 𝑟 un au cube.
Et maintenant, on comprend pourquoi on n’a pas effectué le calcul des membres à droite de V zéro et 𝑉 un, car dans notre fraction, on a quatre tiers divisés par quatre tiers et 𝜋 divisé par 𝜋. Ceux-ci s’annulent tous. Et il ne nous reste plus que 𝑟 zéro au cube divisé par 𝑟 un au cube du côté gauche. Donc, encore une fois, pour nettoyer un peu cette expression, on a simplement r zéro au cube divisé par 𝑟 un au cube du côté gauche. Et cela équivaut au rapport que l’on cherche : 𝑃 un divisé par 𝑃 zéro.
À ce stade, on peut remplacer les valeurs de r zéro et de 𝑟 un. 𝑟 zéro est égal à 0,5 mètres. On a donc 0,5 au cube au numérateur et 𝑟 un qui est de deux mètres. On a donc deux au cube au dénominateur, et on peut ainsi calculer la fraction du côté gauche, ce qui nous donne un sur 64. Cela signifie que 𝑃 un, la pression dans le gaz après expansion, est 64 fois plus petit que 𝑃 zéro.
Pour mieux voir cela, on peut réorganiser l’équation en multipliant les deux côtés par 𝑃 zéro. De cette façon, les P zéro du côté droit s’annulent. Et il nous reste 𝑃 un du côté droit et 𝑃 zéro multiplié par un sur 64 à gauche. Cela signifie que 𝑃 un est identique à un soixante-quatrième de 𝑃 zéro, ou 𝑃 un est 64 fois plus petit que 𝑃 zéro, ou si on multiplie les deux membres par 64, alors les 64 du côté gauche s’annuleront. Ainsi, on obtient que 𝑃 zéro est 64 fois plus grand que 𝑃 un. Donc, 𝑃 un doit être 64 fois plus petit que 𝑃 zéro.
Quelle que soit la façon d’exprimer les choses, on obtient le même résultat. La question nous demande par quel facteur la pression du gaz dans la sphère est plus petite après son expansion. Et la réponse à cela est que la pression dans le gaz après son expansion est 64 fois plus petite que la pression avant son expansion.
