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Con considère l’équation matricielle suivante : la matrice trois par trois avec les éléments moins sept, moins cinq, moins sept, huit, 10, sept, neuf, sept, sept multipliée par la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égale à la matrice colonne avec les éléments un, deux, 𝑘. Déterminez la valeur de 𝑘 qui nous donne 𝑥 égale un sur deux.
L’équation matricielle donnée représente un système d’équations linéaires que l’on voudrait normalement résoudre pour les inconnues 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Cependant, dans ce cas, on nous donne une valeur pour 𝑥, soit 𝑥 égale un demi, et on nous demande de trouver la valeur de 𝑘. De toute façon, nous avons encore trois équations avec trois inconnues. Et pour résoudre cela, nous pouvons utiliser la méthode de l’inverse de la matrice.
En commençant par appeler nos matrices 𝐴, 𝐮 et 𝐯, voyons comment cette méthode fonctionne. Nous avons l’équation 𝐴 multipliée par 𝐮 égale 𝐯. Si nous supposons que 𝐴 est inversible, c’est-à-dire que son inverse existe, et multiplions à gauche par 𝐴 moins un, nous avons 𝐴 moins un 𝐴 multiplié par 𝐮 égale 𝐴 moins un 𝐯. Nous savons que 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 est la matrice identité. Donc en fait, sur notre membre gauche, nous avons la matrice identité multipliée par 𝐮, soit simplement 𝐮. Ceci isole 𝐮 sur le membre gauche. Et lorsque nous aurons trouvé 𝐴 moins un, si nous multiplions le membre droit, nous trouverons notre solution. Donc en fait, nous devons trouver 𝐴 moins un.
Tout d’abord, en faisant de la place, nous savons que pour une par matrice 𝐴 inversible, 𝐴 moins un égale un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par la matrice adjointe de 𝐴. Et rappelez-vous que la matrice adjointe de 𝐴 est la transposée de la comatrice de 𝐴, ce sur quoi nous reviendrons plus tard. Trouvons d’abord le déterminant de 𝐴. Rappelez-vous que si nous développons le long de la ligne 𝑖 de notre matrice, nous pouvons trouver le déterminant en utilisant la formule somme de 𝑗 égale un à 𝑛 de l’élément 𝑎𝑖𝑗 multiplié par moins un puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝐴 majuscule indice 𝑖𝑗.
Et rappelez-vous que la sous-matrice est la matrice deux par deux résultant de la suppression de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 de notre matrice 𝐴. Dans notre cas, si nous développons le long de la première ligne, alors nous avons le déterminant de 𝐴 est égal à l’élément 𝑎 un un multiplié par le déterminant deux par deux de la sous-matrice 𝐴 un un moins l’élément de la ligne un, colonne deux multiplié par le déterminant de sa sous-matrice plus l’élément de la ligne un, colonne trois multiplié par le déterminant de sa sous-matrice. Et notez que notre signe est déterminé par le moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗. Si 𝑖 plus 𝑗 est pair, alors notre signe est positif. Et si 𝑖 plus 𝑗 est impair, notre signe est négatif.
L’élément 𝑎 un un est moins sept. Et nous obtenons notre première sous-matrice en supprimant la ligne un et la colonne un de notre matrice. Et nous obtenons nos deux termes suivants de manière similaire en supprimant la ligne un et la colonne deux puis la ligne un et la colonne trois. Rappelons maintenant que pour une matrice deux par deux avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑, le déterminant est donné par 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Notre premier terme est alors moins sept multiplié par 10 multiplié par sept moins sept multiplié par sept. Ceci est égal à moins sept multiplié par 21, soit moins 147.
Pour notre deuxième terme, nous avons plus cinq multiplié par huit multiplié par sept moins neuf multiplié par sept, soit moins sept. Ceci est égal à moins 35. Et pour notre troisième terme, notre déterminant est huit multiplié par sept moins 10 multiplié par neuf, soit moins 34, et multiplié par moins sept, soit 238. Le déterminant de notre matrice 𝐴 est donc moins 147 moins 35 plus 238, soit 56.
Faisons de la place, et maintenant que nous avons le déterminant de 𝐴, trouvons la matrice adjointe de 𝐴. Rappelons que la matrice adjointe d’une matrice 𝑛 par 𝑛 est la transposée de la comatrice. Sachant que le coefficient de la comatrice de l’élément 𝑖𝑗 est moins un, élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝐴 𝑖𝑗. Le moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 nous donne le signe. Donc pour une matrice trois par trois, nos signes sont plus, moins, plus ; moins, plus, moins ; et plus, moins, plus.
Pour trouver la matrice adjointe de 𝐴, nous devons trouver les coefficients de la comatrice. En fait, nous avons déjà vu trois de ces coefficients de la comatrice, ceux de la première ligne. Le coefficient de la comatrice 𝑐 un un est le déterminant positif de la sous-matrice 𝐴 indice un un. C’est la matrice avec les éléments 10, sept, sept, sept, et de même pour les coefficients de la comatrice 𝑐 un deux et 𝑐 un trois. Et nous savons que nos signes sont : plus, moins et plus.
Notre premier déterminant, comme nous l’avons vu précédemment, est 10 multiplié par sept moins sept multiplié par sept, soit 21. Notre deuxième coefficient de la comatrice est moins huit multiplié par sept moins sept multiplié par neuf. Ce qui est égal à moins moins sept, soit plus sept. Notre troisième coefficient de la comatrice 𝑐 un trois est huit multiplié par sept moins 10 fois neuf, soit moins 34.
Maintenant nous faisons la même chose pour les deux autres lignes de notre matrice. Donc par exactement le même processus, mais en faisant attention à nos signes moins, plus et moins, nous avons le coefficient de la comatrice 𝑐 deux un égal moins 14, le coefficient de la comatrice 𝑐 deux deux égal plus 14 et le coefficient de la comatrice 𝑐 deux trois égale quatre. Et enfin, pour notre troisième ligne, nous avons le coefficient de la comatrice 𝑐 trois un égale 35, 𝑐 trois deux égale moins sept, et 𝑐 trois trois égale moins 30 et nos signes sont plus, moins et plus.
Notre comatrice, a donc, les éléments 21, sept, moins 34 ; moins 14, 14 et quatre ; et 35, moins sept et moins 30. Et rappelons que la matrice adjointe de notre matrice 𝐴 est la transposée de la comatrice. La transposée est la matrice où nous échangeons les lignes et les colonnes. Dans notre cas, ceci signifie, par exemple, que la ligne avec les éléments 21, sept et moins 34 devient la colonne avec les éléments 21, sept et moins 34. De même, notre deuxième ligne devient notre deuxième colonne, et notre troisième ligne devient notre troisième colonne. Et ceci est la matrice adjointe de notre matrice 𝐴.
Maintenant rappelez-vous, c’est l’inverse de notre matrice 𝐴 que nous essayons de trouver car c’est cette matrice inverse qui nous aidera à résoudre notre équation. Et l’inverse de la matrice 𝐴 est un sur le déterminant de la matrice 𝐴 multiplié par la matrice adjointe. Notre déterminant, que nous avons trouvé précédemment, est 56, donc l’inverse de la matrice 𝐴 est un sur 56 multiplié par la matrice adjointe de notre matrice 𝐴. Alors maintenant, nous pouvons utiliser ceci pour résoudre notre système d’équations linéaires.
Nous avons 𝐮, qui est la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧, égale 𝐴 moins un multiplié par la matrice colonne 𝐯. Maintenant, en revenant à notre question initiale, rappelons que nous avons une valeur pour 𝑥. C’est 𝑥 égale un sur deux. Et c’est le bon moment pour remplacer ceci dans notre équation. Sur le membre gauche, nous avons la matrice colonne avec les éléments un demi, 𝑦 et 𝑧. Maintenant, pour trouver la valeur de 𝑘, il suffit en fait de multiplier la première ligne avec la matrice colonne sur le membre droit, car dans l’équation résultante, il n’y a qu’une seule inconnue, et c’est 𝑘.
Cependant, par souci de complétion, multiplions tout notre membre droit. Nous pourrons alors aussi trouver les valeurs de 𝑦 et 𝑧. Notre première ligne est 21 fois un plus moins 14 fois deux plus 35 fois 𝑘, et de même pour notre deuxième ligne et notre troisième ligne. Maintenant en rassemblant les termes similaires, nous avons un sur 56 multiplié par la matrice dont la ligne un est moins sept plus 35𝑘, la ligne deux 35 moins sept 𝑘 et la ligne trois moins 26 moins 30𝑘.
Alors maintenant, par égalité des matrices, nous avons un demi est égal à un sur 56 multiplié par moins sept plus 35𝑘. En multipliant les deux membres par 56, nous avons 56 sur deux égale moins sept plus 35𝑘. Nous avons 28 égale moins sept plus 35𝑘. En ajoutant sept des deux côtés et en divisant par 35, on obtient 𝑘 égale un. Par conséquent, la valeur de 𝑘 qui donne 𝑥 égale un demi dans notre équation matricielle est 𝑘 égale un.
Et maintenant pour terminer, nous pouvons utiliser cette valeur de 𝑘 pour résoudre pour 𝑦 et 𝑧. Et en faisant de la place, nous avons alors 𝑦 égale un sur 56 multiplié par 35 moins sept et 𝑧 égale un sur 56 multiplié par moins 26 moins 30. Ces inconnues valent donc un sur deux et moins un. Par conséquent, nous avons 𝑘 égale un, 𝑦 égale un demi et 𝑧 égale moins un.
