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Vidéo de question : Déterminer la puissance d’un nombre complexe sous forme polaire Mathématiques

Étant donné que 𝑧 = 3√2(cos 225° - 𝑖 sin 225°), calculez 𝑧², en donnant votre réponse sous forme exponentielle.

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Transcription de vidéo

Étant donné que 𝑧 est égal à trois racine deux multiplié par cosinus de 225 moins 𝑖 sinus de 225, calculez 𝑧 au carré, en donnant votre réponse sous forme exponentielle.

La formule d’Euler énonce que 𝑒 à la puissance plus ou moins 𝑖𝜃 est égal à cosinus 𝜃 plus ou moins 𝑖 sinus 𝜃. Nous pouvons étendre ceci et dire que 𝑟 multiplié par 𝑒 à la puissance plus ou moins 𝑖 𝜃 est égal à 𝑟 multiplié par cosinus 𝜃 plus ou moins 𝑖 sinus 𝜃. Nous pouvons utiliser ceci pour nous aider à convertir entre la forme polaire et la forme exponentielle d’un nombre complexe.

Le module - c’est la valeur de 𝑟 dans notre nombre complexe - est trois racine deux. Et l’argument est donné comme 225 degrés. Cependant, lorsque nous écrivons un nombre complexe sous forme exponentielle, nous le faisons en radians. Rappelez-vous lorsque vous changez un nombre de degrés en radians, nous le multiplions par 𝜋 sur 180.

Ainsi l’argument est en fait 225 multiplié par 𝜋 sur 180, soit cinq 𝜋 sur quatre. Et puisque le coefficient de 𝑖 sinus 𝜃 est négatif, nous pouvons réécrire notre nombre complexe comme trois racine deux multipliée par 𝑒 à la puissance moins cinq 𝜋 sur quatre 𝑖 .

Nous devons en fait calculer 𝑧 au carré. Nous allons donc mettre au carré toute cette expression. 𝑧 au carré est, donc, égal à trois racine deux 𝑒 à la puissance moins cinq 𝜋 sur quatre 𝑖 le tout au carré. Commençons par mettre au carré trois racine deux. Trois au carré est neuf et racine deux au carré est deux. Donc ceci devient un neuf multiplié par deux qui est 18. Pour l’exposant, nous savons que nous devons multiplier moins cinq 𝜋 sur quatre 𝑖 par deux. Et cela nous donne 𝑒 à la puissance moins cinq 𝜋 sur deux 𝑖.

Et notre expression pour le nombre complexe 𝑧 au carré sous forme exponentielle est 18𝑒 à la puissance moins cinq 𝜋 sur deux 𝑖. Notez cependant que chacun des exposants dans les réponses possibles à notre question a un coefficient positif de 𝑖.

En fait, l’exponentielle imaginaire est périodique avec une période de deux 𝜋. Ainsi nous pouvons ajouter deux 𝜋 à moins cinq 𝜋 sur deux à plusieurs reprises jusqu’à ce que nous trouvions une valeur positive. Moins cinq 𝜋 sur deux plus deux 𝜋 est moins un demi 𝜋. Moins un demi de 𝜋 plus deux 𝜋 est trois 𝜋 sur deux.

Et notre expression pour 𝑧 au carré sous forme exponentielle est 18𝑒 à la puissance trois 𝜋 sur deux 𝑖.

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