Vidéo question :: Calculer le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires Mathématiques

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Déterminez le nombre de solutions au système d’équations linéaires suivant: 12, six, 20, un, 20, huit, moins 11, 14, moins 12 multiplié par 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal à 5 et 16 et 11.

Pour cette question, on nous donne un système de trois équations linéaires à trois inconnues écrites sous forme matricielle. Nous avons une matrice de coefficients trois fois trois, que l'on appellera 𝐴, multipliée par une matrice de variables qui est égale à une matrice de constantes, que l'on appellera 𝑏. Afin de trouver le nombre de solutions, nous commençons par rappeler le théorème de Rouché-Capelli. Celui-ci stipule qu'un système d'équations linéaires a au moins une solution si et seulement si le rang de sa matrice des coefficients est égal au rang de sa matrice augmentée.

Plus spécifiquement, nous avons trois possibilités. Premièrement, si le rang de la matrice des coefficients 𝐴 n'est pas égal au rang de la matrice augmentée 𝐴 barre 𝑏, alors il n'y a pas de solutions. Deuxièmement, si le rang de la matrice des coefficients est égal au rang de la matrice augmentée, qui est égal à 𝑛, nous avons une solution unique, où 𝑛 est le nombre de variables du système d'équations linéaires. Enfin, si le rang de la matrice des coefficients est égal au rang de la matrice augmentée, mais que celui-ci n'est pas égal à 𝑛, nous avons une infinité de solutions.

Comme nous l'avons déjà mentionné, la matrice des coefficients 𝐴 est égale à 12, six, 20, un, 20, huit, moins 11, 14, moins 12. La matrice augmentée 𝐴 barre 𝑏 est la matrice trois fois quatre indiquée. Nous ajoutons la matrice des constantes sur le côté droit de la matrice des coefficients. Nous rappelons ensuite que le rang d'une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes 𝑘 de la plus grande sous-matrice carrée 𝑘 fois 𝑘 pour laquelle le déterminant est non nul. Nous constatons que notre matrice 𝐴 possède une ligne qui peut être formée à partir d'une combinaison linéaire des deux autres. Plus précisément, la ligne deux est égale à la somme de la ligne une et trois. Puisqu'une ligne est une combinaison linéaire des deux autres, le rang de 𝐴 doit être inférieur à trois. Nous pouvons le vérifier directement en utilisant les déterminants.

La seule sous-matrice trois fois trois de la matrice des coefficients est la matrice 𝐴 elle-même. En prenant le déterminant de 𝐴 en développant selon la ligne supérieure, nous avons 12 fois le déterminant de la matrice deux fois deux 20, huit, 14, moins 12 moins six fois le déterminant de un, huit, moins 11, moins 12 plus 20 fois le déterminant de un, 20, moins 11, moins 14. D'autre part, le déterminant de la matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous trouvons le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite puis, nous soustrayons le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche.

Le déterminant de 𝐴 est donc égal à 12 fois moins 352 moins six fois 76 plus 20 multiplié par 234. Il est égal à zéro, donc le rang de la matrice 𝐴 n'est pas égal à trois. Lors du calcul du déterminant de 𝐴, nous avons vu que la plus grande sous-matrice de 𝐴 dont le déterminant est non nul est une matrice deux fois deux. Par conséquent, le rang de la matrice des coefficients 𝐴 est de deux.

Notre prochaine étape consiste à trouver le rang de la matrice augmentée 𝐴 barre 𝑏. Comme déjà mentionné, il s'agit d'une matrice trois fois quatre. Ainsi, afin de trouver une sous-matrice carrée de trois fois trois, nous devons supprimer une des colonnes. En supprimant la quatrième colonne, nous aurions la matrice des coefficients. Nous avons déjà constaté que le déterminant de cette matrice est égal à zéro. Il nous faut donc considérer les autres sous-matrices trois fois trois qui sont formées en supprimant les colonnes une, deux et trois, respectivement. En supprimant la première colonne, nous obtenons une sous-matrice de taille trois fois trois : six, 20, cinq, 20, huit, 16, 14, moins 12, 11.

En développant selon n'importe quelle ligne ou colonne, nous constatons que le déterminant de cette matrice est également égal à zéro. Il en est de même lorsque nous éliminons la deuxième colonne de la matrice augmentée. Le déterminant de 12, 20, cinq, un, huit, 16, moins 11, moins 12, 11 est égal à zéro. Enfin, lorsque nous éliminons la troisième colonne de la matrice augmentée, le déterminant de la sous-matrice carrée trois fois trois restante est également égal à zéro. Nous avons donc prouvé que le déterminant de toute sous-matrice trois fois trois de 𝐴 barre 𝑏 est égal à zéro. Par conséquent, le rang de 𝐴 barre 𝑏 est égal à deux. En effet, la plus grande sous-matrice de la matrice augmentée 𝐴 barre 𝑏 ayant un déterminant non nul est une matrice deux fois deux.

En appliquant le théorème de Rouché-Capelli, nous voyons que le rang de la matrice des coefficients est égal au rang de la matrice augmentée. Or, celui-ci n'est pas égal à 𝑛 car la matrice des coefficients était une matrice trois fois trois. Nous pouvons donc conclure que le système d'équations linéaires a un nombre infini de solutions.