Vidéo : Modéliser le problème de la course d’escargot

Dans cette vidéo, nous examinons rapidement certaines des mathématiques à la base du modèle des courses d’escargots, puis nous examinons une approche logique pour trier les trois escargots de course les plus rapides parmi un paquet de 25.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir un problème mis dans le modèle amusant, mais autant que je sache, imaginaire ; la course d’escargots.

Mais tout d’abord, découvrons le modèle de course d’escargot. C’est vraiment trop simple. Nous disposons d’un ensemble de 25 modèles identiques d’escargots en bois et d’une pente. Puisque c’est difficile de les dessiner identiquement, j’ai mis la plupart dans une grande boîte. On choisit cinq escargots au hasard. On les met au sommet de la pente. Laissons-les glisser vers le bas. Et le premier qui atteindra le bas de la pente sera le gagnant !

Les escargots n’ont aucune partie en mouvement. Donc la progression dans leur descente dépend complètement de la différence dans le niveau de friction entre leurs bases et la pente. Ils sont conçus de manière à avoir tous la même apparence. Mais ils ont des bases qui sont légèrement plus ou moins lisses, et qui susciteront une quantité différente de résistance frictionnelle à la pente. L’effet de la résistance à l’air peut être ignoré considérant les vitesses qu’ils atteindront. En fait, certaines personnes ont essayé d’enlever les coquilles des escargots pour les rendre plus rationalisés. Mais on avait signalé que cela n’a fait que les rendre plus paresseux.

Le problème que nous avons pour vous n’exige pas de mathématiques haute puissance, mais juste un petit peu de logique. Mais avant de décrire le problème actuel pour le résoudre, jetons un coup d’œil sur les calculs à la base de la course d’escargots. On peut modéliser l’escargot comme une particule sur une pente rugueuse. Et cela veut dire qu’il y a quelque friction entre l’escargot descendant la pente. Appelons 𝜃 l’angle entre la pente et l’horizontale. Le poids des escargots agit verticalement vers le bas avec une force en newtons qui équivaut à la masse en kilogrammes multipliée par la constante gravitationnelle, 𝑔, en mètres par secondes. Et d’habitude nous nous donnons une valeur 9,8 mètres par seconde au carré l’accélération due à la gravité sur la surface de la terre.

La troisième loi de Newtons nous dit que pour chaque action, il existe une réaction égale et dans le sens opposé. Donc lorsque l’escargot appuie sur la pente, il y aura une normale réaction, appelons-la 𝑅, avec un angle perpendiculaire à la pente agissant de la pente vers l’escargot. Maintenant nous avons un angle droit ici. Cela veut dire que cet angle est 90 moins 𝜃. Et cet angle est aussi 𝜃. Et rappelez-vous que la force de la réaction normale est perpendiculaire à la pente. Maintenant puisque l’escargot ne bondit pas sur la pente ni défonce la pente, cela veut dire que cette force 𝑅 doit forcément équilibrer le composant de la force du poids agissant dans cette direction. Et cela sera 𝑚 fois 𝑔 fois le cosinus de l’angle entre cette force et cette direction. Donc la force de réaction est égale à 𝑚𝑔 fois cos de 𝜃.

Et puisque c’est une pente rugueuse, alors il y aura une force de friction résistant le mouvement de l’escargot vers le bas de la pente. Rappelez-vous, ce qui est vraiment amusant dans la course d’escargots c’est le fait que les escargots bougent vraiment. Donc cette force frictionnelle aurait atteint son niveau théorique maximal. Appelons-le 𝐹 max. Et aux échelles desquelles nous parlons, il sera constant au cours du trajet des escargots vers le bas de la pente. Maintenant la valeur de 𝐹 max sera 𝜇, le coefficient de friction entre l’escargot et la pente, fois 𝑅, l’intensité de la force de réaction normale agissant sur l’escargot.

Donc 𝜇 est le facteur de glissement de l’escargot. Et espérons, pour avoir une amusante course, que chaque escargot ait un 𝜇 différent. Donc afin que cet escargot glisse vers le bas de la pente, le composant de la force du poids agissant vers le bas de la pente doit être supérieur à cette force 𝐹 max ici. Et lorsque cela arrive, on obtient une accélération constante, appelons-la 𝑎, vers le bas de la pente. Et la deuxième loi de Newton nous dit que la force résultante agissant sur l’escargot le long de la pente égale la masse de l’escargot fois son accélération. On peut donc voir que 𝑚𝑔 cosinus de 90 moins 𝜃 moins 𝐹 max égale la masse de l’escargot fois son accélération. Mais cosinus de 90 moins 𝜃 est le même que sinus de 𝜃. Et 𝐹 max égale 𝜇 fois 𝑅. Et 𝑅 égale 𝑚𝑔 cos 𝜃. Maintenant on peut éliminer les 𝑚s de chaque membre de l’équation. Et on peut voir que l’accélération constante de l’escargot sur la pente est cette expression ici, qui est indépendante de la masse de l’escargot, ce qui est peu intéressant.

On peut maintenant appliquer l’une des équations du mouvement de Newton, avec 𝑠 la distance parcourue par l’escargot vers le bas de la pente en mètres, 𝑢 la vitesse initiale de l’escargot en mètres par seconde, qui est bien sûr zéro mètre par seconde car on vient juste d’aligner les escargots au sommet de la pente. Ainsi zéro fois le temps mis rendra ce membre égal à zéro. Et on peut utiliser l’expression qu’on vient d’obtenir pour l’accélération.

Ensuite, puisque tous les escargots parcourent la même pente, la même distance, avec le même angle et la même gravité, alors la seule chose qui varie c’est ce coefficient de friction pour chaque escargot. Étant donné que notre pente ressemble en réalité à ceci, on peut voir d’après la formule que l’escargot ayant le plus petit 𝜇 glissera le plus rapidement sur la pente. Ce qui me rappelle de probablement la pire blague de maths de tous les temps. Quel chat descend la pente le plus rapidement ? Celui avec le plus petit 𝜇. Et sur cette note, je crois qu’il vaudrait mieux retourner à l’activité principale de la journée, le problème avec la course d’escargots.

Sans chronomètre, et dans une course ne consistant en pas plus que cinq escargots à la fois, où l’on ne fera qu’observer leurs places à l’arrivée, quel est le nombre minimal de courses nécessaires pour déterminer le premier, le deuxième et le troisième plus rapide escargot ?

Maintenant on ne connaît pas la valeur de 𝜇 pour tous les escargots. On ne connaît pas l’angle de la pente. Et on ne connaît pas la longueur de la pente. Donc n’utilisez aucun des calculs dont je parlais pour résoudre ce problème, juste un peu de logique. Mettez cette vidéo en pause maintenant. Pensez un peu au problème. Ensuite observez notre solution.

Bien, marquons tous les escargots A, B, C, D, E, F, et ainsi de suite jusqu’à W, X et Y. Puis mettons A jusqu’à E à la première course et voyons lequel sera le premier, le deuxième et le troisième à arriver. Puis remplaçons les deux qui ont terminé quatrième et cinquième par F et G. Puis recommençons la course et voyons lesquels termineront premier, deuxième et troisième. Puis éliminons les escargots qui ont terminé quatrième et cinquième et remplacez-les par les escargots H et I. Puis recommençons la course encore une fois et remplaçons les deux plus lents escargots par J et K, et ainsi de suite. Et à la fin de la 11ème course, on aura su quels sont les trois escargots les plus rapides.

Mais est-ce que vous pouvez faire cela en moins de 11 courses ? Il est tentant de dire que l’on pouvait faire cinq courses, et puis mettre les gagnants de chaque course ensemble dans une grande finale. Cela nous aurait certainement aidé à identifier le plus rapide de tous les escargots. Mais ça ne nous indique pas le deuxième et le troisième. Par exemple, si A, B et C étaient les plus rapides parmi tous les escargots, puis on en éliminait deux pour la grande finale dans le cadre de ce système. Donc six courses n’est pas la réponse. Mais si nous analysons soigneusement les résultats après les avoir mis dans un tableau comme celui-ci, avec les lignes pour les courses et les colonnes pour les rangées, alors on pourra peut-être en obtenir des données plus qu’on l’avait pensé au début.

Maintenant, évidemment les lettres apparaîtront dans des ordres différents selon les vitesses des escargots. Mais vous pouvez voir ici que dans la course un, l’escargot A est arrivé en premier, C en deuxième, D en troisième, E en quatrième et B en cinquième. Et cela nous indique que E et B ne peuvent pas être parmi les trois plus rapides escargots de toute la compétition. De même, dans la course deux, les escargots G et J ont été quatrième et cinquième. Impossible qu’ils soient parmi les trois escargots les plus rapides. Et de même, n’importe quel escargot ayant terminé sa course en quatrième ou en cinquième ne pourra être parmi les trois plus rapides. Maintenant la ligne six est la course des gagnants. Et on peut voir que l’escargot A, n’a pas seulement vaincu tous les autres dans sa première course, mais il a aussi vaincu tous les gagnants lors de la course finale. Donc l’escargot A est certainement le plus rapide parmi tous les escargots.

On peut également voir ici que cet escargot V a été quatrième dans cette course. Donc s’il n’est pas parmi les trois premiers, alors tout escargot qui est plus lent que V ne sera parmi les trois premiers non plus. On peut donc éliminer V, U et W de notre compte. De même, avec P, il a été le dernier dans la course des gagnants. Donc tout escargot plus lent que P ne peut certainement pas être parmi les trois plus rapides. Et l’escargot H ? Il est arrivé en troisième dans la course des gagnants. Donc au mieux, il pourrait être le troisième parmi les plus rapides de tous les escargots. Donc tout escargot plus lent que H ne peut être parmi les trois plus rapides. Ainsi, on élimine F et I.

Quand à l’escargot O, au mieux, il est le deuxième plus rapide parmi tous les escargots. Maintenant les concurrents à la troisième place doivent être H, qui est arrivé juste après lui à la course des gagnants, et N, qui est arrivé juste après lui à la course initiale. K, qui est arrivé deux places après lui à la course initiale, ne peut être le troisième plus rapide escargot. Enfin alors, on sait que A est le plus rapide. Cela nous donne cinq options pour les escargots à la deuxième et à la troisième place.

On peut donc faire une dernière course, la septième course. Et le gagnant à cette course sera le deuxième plus rapide parmi tous les escargots. Et l’escargot à la deuxième place dans cette course sera le troisième plus rapide parmi tous les escargots. Donc six courses n’étaient pas suffisantes pour nous indiquer lesquels parmi tous les escargots ont été premier, deuxième et troisième. Mais avec cette course en plus et un peu d’analyse minutieuse, ou peut déterminer les trois premiers parmi tous les escargots. Maintenant, si vous essayez vous-même avec 25 escargots de course, l’ordre des lettres que vous obtiendrez sera probablement différent de l’ordre des lettres que nous avons obtenu ici. Mais le processus de faire cinq courses initiales, suivies d’une sixième course pour les gagnants, puis la logique et l’analyse que nous avons utilisées suivies de la septième et dernière course, sera ce qui nous mènera à connaître notre premier, deuxième et troisième plus rapides parmi tous les escargots.

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