Vidéo de la leçon: Signe des fonctions trigonométriques selon les quadrants Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier le quadrant auquel appartient un angle et à déterminer si son sinus, son cosinus et sa tangente sont positifs ou négatifs.

Tout d’abord, considérons un repère de coordonnées avec des axes 𝑥 et 𝑦. Le quadrant supérieur droit est le quadrant numéro un. Le quadrant supérieur gauche est le quadrant numéro deux. Le quadrant en bas à gauche est le quadrant numéro trois. Et le quadrant en bas à droite est le quadrant numéro quatre. On sait qu’à droite de l’origine, les valeurs de 𝑥 sont positives. Et à gauche de l’origine, les valeurs de 𝑥 sont négatives. De la même manière, au-dessus de l’origine, les valeurs de 𝑦 sont positives. Et en dessous de l’origine, les valeurs de 𝑦 sont négatives. Ajoutons quatre points à notre grille : le point 𝑥, 𝑦, le point moins 𝑥, 𝑦, le point moins 𝑥, moins 𝑦 et le point 𝑥, moins 𝑦.

Puis dans le premier quadrant, on trace une droite de l’origine au point 𝑥, 𝑦. Et on appelle 𝜃 l’angle entre l’axe des 𝑥 et cette droite. Si l’on trace une droite verticale de 𝑥, 𝑦 à l’axe des 𝑥, on voit que l’on a créé un triangle rectangle avec une distance horizontale de l’origine de 𝑥 et une distance verticale de 𝑦. Et si la distance de l’origine au point 𝑥, 𝑦, vaut une unité, on peut utiliser les fonctions trigonométriques pour trouver des informations sur ce triangle.

Pour les trois fonctions trigonométriques principales, sinus, cosinus et tangente, le sinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de l’angle 𝜃 est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Si l’on souhaite trouver le sinus de 𝜃, on peut dire qu’il est égal à 𝑦 sur un, puisque 𝑦 est la longueur du côté opposé et que l’hypoténuse vaut un. De même, le cosinus est égal à 𝑥 sur un, la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de 𝜃 est égal à 𝑦 sur 𝑥.

On peut simplifier le sinus et le cosinus ce qui donne 𝑦 et 𝑥, respectivement. Et parce que l’on sait que dans le premier quadrant, toutes les valeurs de 𝑦 sont positives, on peut dire que pour les angles du quadrant numéro un, la valeur du sinus est positive. De même, lorsqu’on a des valeurs de 𝑥 dans le premier quadrant, on sait que la valeur du cosinus est également positive. Et la tangente dans le premier quadrant est un nombre positif sur un nombre positif, qui est également positif.

Voyons comment cela change si nous passons au deuxième quadrant. La distance entre l’origine et moins 𝑥, 𝑦 est toujours égale à un. C’est le côté opposé sur l’hypoténuse, 𝑦 sur un. Mais le cosinus est alors moins 𝑥 sur un. Dans le deuxième quadrant, on a affaire à des valeurs négatives de 𝑥, ce qui donne pour la tangente de 𝜃, 𝑦 sur moins 𝑥. Cela signifie que, dans le deuxième quadrant, l’expression du sinus reste positive. Mais l’expression du cosinus et l’expression de la tangente sont négatives.

Passant au quadrant numéro trois, où on a affaire à des coordonnées 𝑥 négatives et à des coordonnées 𝑦 négatives, le sinus de 𝜃 est moins 𝑦 sur un. cos 𝜃 est moins 𝑥 sur un. On peut simplifier cela en moins 𝑦 et moins 𝑥. Mais quelque chose d’intéressant se produit avec la tangente. Elle est égale à moins 𝑦 sur moins 𝑥, ce qui se simplifie en 𝑦 sur 𝑥. Dans le troisième quadrant, l’expression tangente est toujours positive. Mais dans ce quadrant, les expressions du sinus et du cosinus sont négatives.

Et maintenant, dans le quatrième quadrant, où la coordonnée 𝑥 est positive et la coordonnée 𝑦 est négative, le sinus de 𝜃 est moins 𝑦 sur un. Mais le cos de 𝜃 est plus 𝑥 sur un, ce qui donne un sinus négatif et un cosinus positif. Et cela donne pour la tangente moins 𝑦 sur 𝑥. La seule expression positive dans le quatrième quadrant est le cosinus. Les valeurs 𝑦 négatives rendent les expressions du sinus et de la tangente négatives.

Ce que l’on a découvert pour chacun de ces quadrants est vrai quelque soit l’angle de ces quadrants. Tout angle du quadrant numéro un a des valeurs positives de sinus, de cosinus et de tangente. Tout angle du quadrant numéro deux n’a qu’une expression positive, celle du sinus. Les angles du quadrant numéro trois ont des expressions positives pour la tangente. Et les angles dans le quadrant numéro quatre ont des expressions positives pour le cosinus.

Il y a un moyen mnémotechnique que l’on utilise parfois pour s’en souvenir. Cela se nomme le diagramme de CEST, et ça ressemble à ceci. Dans le diagramme de CEST on indique quelles relations trigonométriques sont positives dans chaque quadrant. Dans le quatrième quadrant, en bas à droite, le cosinus est positif, et le sinus et la tangente sont négatifs. Dans le premier quadrant, en haut à droite, on a un E parce que les trois expressions ensemble sont positives. Dans le deuxième quadrant, en haut à gauche, le sinus est positif, avec un cosinus négatif et une tangente négative. Et dans le troisième quadrant, en bas à gauche, la tangente est positive, et sinus et cosinus sont tous deux négatifs.

Il y a une dernière chose que l’on doit examiner avant de traiter quelques exemples. C’est la façon de mesurer les angles sur un repère de coordonnées. L’axe des 𝑥 allant vers la droite est appelé le côté initial. Et le côté final est là où l’angle s’arrête. Si l’on mesure du côté initial au côté final dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on obtient une mesure d’angle positive. Si l’on mesure du côté initial au côté final dans le sens des aiguilles d’une montre, on obtient une mesure d’angle négative. Et enfin, le côté initial correspond à une mesure de zéro degré. Du côté initial à l’axe des 𝑦 est un angle de 90 degrés, à l’autre côté de l’axe des 𝑥 est un angle de 180 degrés, 90 degrés de plus nous amène à 270, et enfin on revient à 360 degrés.

Nous sommes maintenant prêts à traiter quelques exemples.

Dans quel quadrant se situe l’angle de 288 degrés ?

Lorsque l’on pense aux quatre quadrants du repère de coordonnées et les nommons de un à quatre, on sait que le côté initial mesure zéro degré. Et ensuite, chaque quadrant supplémentaire est à 90 degrés de plus. Une rotation complète correspond à 360 degrés. Lorsque l’on mesure des angles dans des repères de coordonnées, on commence à l’axe des 𝑥 et on procède dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si on a un angle positif. Pour nous, cela signifie que l’on passe du côté initial, juste après 270, puisqu’on sait que 288 se situe entre 270 et 360. On voit que cet angle se trouve dans le quatrième quadrant.

Dans l’exemple suivant, on nous donne des informations sur le sinus et le cosinus d’un angle et on nous demande de trouver dans quel quadrant l’angle se trouve.

Déterminer le quadrant dans lequel se trouve 𝜃 si cos 𝜃 est supérieur à zéro et sin 𝜃 est inférieur à zéro.

On souhaite prendre un repère de coordonnées et déterminer dans quel quadrant un angle appartient. On nous dit que cos de 𝜃 est supérieur à zéro, cela signifie qu’il a une valeur de cosinus positive, tandis que le sin de 𝜃 est inférieur à zéro, ce qui signifie que le sinus a une valeur négative. Une méthode que l’on utilise pour identifier les valeurs de sinus et de cosinus dans différents quadrants est le diagramme de CEST qui ressemble à ceci.

Dans le diagramme de CEST, on sait que dans le premier quadrant, toutes les valeurs sont positives. Dans le deuxième quadrant, seule la valeur du sinus est positive. Dans le troisième quadrant, seule la valeur de la tangente est positive. Et dans le quatrième quadrant, seul le cosinus est positif. Si on a une valeur de sinus négative et une valeur de cosinus positive, on peut éliminer le quadrant numéro un car toutes les valeurs doivent être positives dans ce quadrant. On peut éliminer le quadrant deux car le sinus est positif là-bas. Dans le quadrant trois, le sinus est négatif, mais le cosinus aussi. Et cela signifie que le quadrant trois ne fonctionne pas. Dans le quadrant quatre, le cosinus est positif et le sinus est négatif. Et cela signifie que l’angle 𝜃 dans ces conditions doit tomber dans le quatrième quadrant.

Prenons un autre exemple.

Dans quel quadrant se situe 𝜃 si sin de 𝜃 est égal à un sur racine carrée de deux et cos de 𝜃 est égal à un sur racine carrée de deux ?

Lorsqu’on pense aux relations sinus et cosinus, on sait que le sin de 𝜃 est le côté opposé sur l’hypoténuse, tandis que le cos de 𝜃 est le côté adjacent sur l’hypoténuse. Mais comment traduire ces informations dans un repère de coordonnées ?

Dans un repère de coordonnées, les relations sinus, cosinus et tangente ont des valeurs positives ou négatives. Et on peut se rappeler où chacune de ces relations a des valeurs positives avec le diagramme de CEST qui ressemble à ceci. Dans le quadrant numéro un, les trois relations trigonométriques sont positives. Dans le quadrant numéro deux, seule l’expression du sinus est positive. Dans le quadrant numéro trois, seule l’expression de la tangente est positive. Et dans le quadrant numéro quatre, seule l’expression du cosinus est positive.

Dans ce cas, on a affaire à une expression du sinus positive et à une expression du cosinus positive. On pourrait également utiliser les informations qui nous sont données pour trouver l’expression de la tangente, qui est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Pour cet angle, ce serait un sur un. Et ce que nous voyons, c’est que ces trois relations sont positives pour cet angle. Cela signifie que l’angle tombe dans le premier quadrant.

Dans notre exemple suivant, nous allons considérer un angle supérieur à 360 degrés.

Le cos de 400 degrés est-il positif ou négatif ?

Pour répondre à cette question, on doit déterminer où 400 degrés tombe sur un repère de coordonnées. Si nous étiquetons le repère de coordonnées standard de zéro à 360 degrés, on doit réfléchir à ce qui se passe pour 400 degrés. En voyageant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on a tourné de 360 degrés. Mais pour arriver à 400, on doit tourner de 40 degrés supplémentaires, puisque 400 moins 360 est égal à 40. Et cela signifie que l’angle 400 tombe au même endroit que l’angle de 40 degrés, ici.

Maintenant qu’on a identifié où l’angle de 400 degrés se trouve sur le repère de coordonnées, on doit réfléchir à la façon de trouver si son cosinus est positif ou négatif. Et pour ce faire, on peut utiliser le diagramme CEST qui ressemble à ceci. Le diagramme de CEST indique où les expressions trigonométriques sont positives dans un repère de coordonnées. Dans le premier quadrant, les trois relations sont positives. Dans le deuxième quadrant, seul le sinus est positif. Dans le troisième quadrant, seule la tangente est positive. Et dans le quatrième quadrant, seul le cosinus est positif. L’angle tombe dans le premier quadrant. Dans le premier quadrant, le sinus, le cosinus et la tangente sont positifs. Et cela signifie que le cos de 400 degrés est positif.

Avant de terminer, passons en revue les points clés. On peut identifier si le sinus, le cosinus et la tangente sont positifs ou négatifs en fonction du quadrant dans lequel se situe leur angle. Dans le quadrant un, les relations sinus, cosinus et tangente sont toutes positives. Pour les angles situés dans le quadrant deux, l’expression du sinus est positive, mais les expressions du cosinus et de la tangente sont négatives. Pour les angles situés dans le quadrant trois, les expressions du sinus et du cosinus sont négatives, mais l’expression de la tangente est positive. Enfin, dans le quadrant quatre, l’expression du sinus est négative, l’expression du cosinus est positive et l’expression de la tangente est également négative. On utilise souvent le diagramme de CEST pour s’en souvenir. Ces lettres nous aident à identifier les valeurs qui sont positives dans quel quadrant.