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Vidéo de question : Utilisation de la loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi) pour calculer le plus petit angle d’un triangle Mathématiques

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle de côtés 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de périmètre 2𝑃 ; sachant que 𝑃 − 𝑎 = 20 cm, 𝑃 + 𝑎 = 116 cm et 𝑏 = 41 cm, trouvez la mesure du plus petit angle du triangle 𝐴𝐵𝐶, arrondissez à la seconde près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle de côtés 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de périmètre deux 𝑃 ; 𝑃 moins 𝑎 égale 20 centimètres, 𝑃 plus 𝑎 égale 116 centimètres et 𝑏 égale 41 centimètres. Trouvez la mesure du plus petit angle du triangle 𝐴𝐵𝐶, arrondissez à la seconde près.

Dessinons un triangle 𝐴𝐵𝐶, on sait que le côté 𝑏 mesure 41 centimètres. On nous donne également deux équations : 𝑃 moins 𝑎 égale 20 centimètres et 𝑃 plus 𝑎 égale 116 centimètres. On peut les résoudre simultanément en commençant par additionner les équations un et deux. On obtient deux 𝑃 égale 136. En divisant par deux chaque côté de cette équation, on trouve 𝑃 égale 68. Sachant que le périmètre du triangle mesure deux 𝑃, cela donne 136 centimètres. Remplaçons 𝑃 par 68 dans l’équation deux, on trouve 68 plus 𝑎 est égal à 116. On peut retrancher 68 de chaque côté de cette équation, d’où 𝑎 égale 48. La longueur du côté 𝑎, qui est opposé à l’angle 𝐴 majuscule, est égale à 48 centimètres.

On peut alors calculer la longueur du côté 𝑐 en retranchant 48 et 41 de 136. Cela donne 47. Le côté opposé à l’angle 𝐶 mesure 47 centimètres. Il est demandé de calculer la mesure de l’angle le plus petit. Or, on sait que dans un triangle, le plus petit angle est l’angle opposé au plus petit côté. Cela signifie que l’angle 𝐵, que nous avons nommé 𝜃, est le plus petit angle du triangle. On peut le calculer à l’aide de la loi des cosinus, aussi appelée théorème d’Al-Kashi, qui dit que le cosinus de l’angle 𝐴 est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré, le tout divisé par deux fois 𝑏 fois 𝑐. Notez bien que la longueur du côté que l’on soustrait est celle opposée à l’angle.

Dans cette question, on a cosinus 𝜃 est égal à 48 au carré plus 47 au carré moins 41 au carré le tout divisé par deux fois 48 fois 47. Ce calcul se simplifie en 59 sur 94. On prend alors la réciproque du cosinus de chaque côté de l’équation, on obtient 𝜃 égale la réciproque du cosinus de 59 sur 94. En utilisant la calculatrice, on obtient 𝜃 égale environ 51,1223 degrés. Comme il faut arrondir à la seconde près, nous obtenons donc 51 degrés, sept minutes et 20 secondes. Il s’agit du plus petit des trois angles du triangle 𝐴𝐵𝐶.

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