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Vidéo de question : Déterminer les dérivées première et seconde d’une combinaison de fonctions racines Mathématiques

Calculez les dérivées première et seconde de la fonction donnée par 𝐺 (𝑟) = 3√𝑟 - 5 multipliée par la racine cinquième de 𝑟

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Transcription de vidéo

Calculez les dérivées première et seconde de la fonction donnée par 𝐺 𝑟 égale trois racine carré de 𝑟 moins cinq multipliée par la racine cinquième de 𝑟.

Maintenant, la première chose que je vais faire est de réécrire notre fonction sous forme d’index. Donc, on peut réécrire 𝐺 𝑟 est égal à trois 𝑟 à la puissance un demi moins cinq 𝑟 à la puissance un cinquième. Et nous l’avons obtenu en utilisant en fait une de nos règles d’exposant qui nous dit que la racine 𝑎-ième de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance un sur 𝑎. D’accord, alors que faisons-nous maintenant? Eh bien, la première étape consiste en fait à trouver notre dérivée de premier ordre. Donc, ce que nous voulons faire, c’est de dériver notre fonction 𝐺 𝑟.

Maintenant, afin de dériver notre fonction, nous allons utiliser notre règle générale de dérivation. Et notre règle générale nous dit que si nous avons une fonction qui est sous la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑏, alors la dérivée de cette fonction va être égale à 𝑎𝑏 fois x à la puissance 𝑏 moins un , donc le coefficient multiplié par l’exposant, puis 𝑥 la puissance de 𝑏 moins un, nous soustrayons donc un de l’exposant. Nous pouvons donc appliquer cela à la fonction que nous essayons de dériver.

Donc, notre premier terme va être trois sur deux 𝑟 à la puissance moins un demi. Et c’est parce que nous avons multiplié notre coefficient trois par notre exposant un demi que nous avons obtenu trois sur deux. Et puis nous avons réduit l’exposant d’une unité. Donc, il est passé de plus un demi à moins un demi. Et puis notre deuxième terme va être moins cinq sur cinq 𝑟 à la puissance moins quatre sur cinq. Nous pouvons donc dire que notre dérivée du premier ordre sera égale à trois sur deux 𝑟 à la puissance moins un demi moins 𝑟 à la puissance moins quatre sur cinq. Et nous l’avons fait parce que nous l’avons simplifié compte tenu que nous avons cinq sur cinq, ce qui n’est qu’un. D’accord, super. Voilà donc notre première étape terminée.

Alors maintenant, nous passons à la deuxième étape, qui consiste à trouver la dérivée du second ordre. Et pour trouver notre dérivée seconde, nous allons en fait dériver notre dérivée de premier ordre. Nous savons donc que la dérivée du second ordre est égale à la dérivée de notre dérivée du premier ordre. Nous allons donc appliquer à nouveau notre règle de dérivation. Donc, nous allons avoir notre dérivée de second ordre égale à trois sur deux multipliée par moins un demi, donc c’est notre coefficient multiplié par notre exposant, puis 𝑟 à la puissance moins un demi moins un. Pour le deuxième terme c’est moins moins quatre sur cinq 𝑟 à la puissance moins quatre sur cinq moins un.

Alors, si nous simplifions cela, nous allons obtenir que la dérivée du second ordre de notre fonction en 𝑟 est égale à moins trois sur quatre 𝑟 à la puissance moins trois sur deux plus quatre sur cinq 𝑟 à la puissance moins neuf sur cinq.

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