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Vidéo de question : Intégrer une fonction inverse Mathématiques

Déterminez ∫((ln 5)/(4𝑥))d𝑥.

02:07

Transcription de vidéo

Déterminez l’intégrale du logarithme népérien de cinq divisé par quatre 𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer une intégrale indéfinie. La première chose à faire est d’examiner notre intégrande. On observe que le numérateur de notre intégrande est le logarithme népérien de cinq. Il s’agit d’une constante positive. Et le dénominateur de notre intégrande est quatre 𝑥. Quatre est aussi une constante. Donc, on peut diviser le coefficient constant du logarithme népérien de cinq par quatre et sortir le tout de notre intégrale.

On sait en effet que pour toute constante 𝑘, l’intégrale de 𝑘 fois 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Dans notre cas, 𝑘 est égal au logarithme népérien de cinq divisé par quatre, qu’on peut aussi écrire un quart fois le logarithme népérien de cinq. On applique cela à notre intégrale et on obtient un quart fois le logarithme népérien de cinq multiplié par l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥.

Autrement dit, il ne nous reste plus qu’à déterminer l’intégrale de la fonction inverse par rapport à 𝑥. Or, on sait comment intégrer la fonction inverse par rapport à 𝑥. C’est égal au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus une constante d’intégration 𝑐. On applique cela à notre intégrale et on obtient un quart fois le logarithme népérien de cinq multiplié par le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus une constante d’intégration qu’on note 𝑐 un.

Il ne reste plus qu’à simplifier ce résultat. Pour cela, on va commencer par développer l’expression. On obtient un quart fois le logarithme népérien de cinq fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus 𝑐 un sur quatre fois le logarithme népérien de cinq.

Et il nous reste une dernière étape de simplification. Comme 𝑐 un est une constante, 𝑐 un divisé par quatre et multiplié par le logarithme népérien de cinq est aussi une constante. Donc, on peut remplacer cela par une nouvelle constante notée 𝑐. Et cela nous donne notre réponse finale. L’intégrale du logarithme népérien de cinq divisé par quatre 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un quart fois le logarithme népérien de cinq fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus 𝑐.

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