Transcription de la vidéo
Déterminez la matrice augmentée associée au système d’équations suivant: deux 𝑥 plus neuf 𝑦 plus deux égale zéro; trois 𝑦 moins quatre 𝑥 moins six égale zéro.
Un système d’équations linéaires est un système constitué d’une ou plusieurs équations linéaires impliquant un ensemble de variables. Ici, on a deux équations linéaires impliquant les variables 𝑥 et 𝑦. Les nombres qui précèdent les variables sont appelés les coefficients. Il existe une autre façon de représenter un système d’équations linéaires, qu’on appelle la matrice augmentée. De manière générale, pour un système d’équations linéaires de variables 𝑥 un, 𝑥 deux, jusqu’à 𝑥 𝑛, et de coefficients 𝑎 𝑖𝑗, on peut écrire le système sous forme de matrice augmentée; cela ressemble à ceci. La matrice est divisée en deux parties. Dans la partie de gauche, on trouve ce qu’on appelle la matrice des coefficients. Comme son nom l’indique, il s’agit de la matrice composée de tous les coefficients de notre système d’équations linéaires.
Notons que les coefficients ne sont pas placés au hasard; ils apparaissent dans le même ordre que dans les équations linéaires ci-dessus. Tous les coefficients d’une même variable sont placés dans une même colonne. Ensuite, dans la partie droite de notre matrice augmentée, on trouve ces valeurs. Donc, un bon point de départ pour répondre à notre question est de réécrire notre système d’équations linéaires sous cette forme. La première chose que j’ai faite ici est de réarranger la seconde équation de façon à faire apparaître les 𝑥 en premier et les 𝑦 en deuxième, comme dans la première équation. Cela nous permet d’aligner verticalement les coefficients de 𝑥 et les coefficients de 𝑦. Il sera ensuite beaucoup plus facile de convertir cela en une matrice augmentée.
Puis je vais réarranger les deux équations en passant les valeurs qui ne sont associées à aucune variable à droite des signes égal. Mon système d’équations linéaires est devenu deux 𝑥 plus neuf 𝑦 égale moins deux et moins quatre 𝑥 plus trois 𝑦 égale six. Une fois notre système écrit sous cette forme, déterminer la matrice augmentée qui lui est associée est très facile. Commençons par dessiner une matrice vide. On rappelle que sur le côté gauche de notre matrice augmentée, on doit avoir la matrice des coefficients. Donc, en haut à gauche, on écrit le coefficient deux. Et en bas à gauche, on écrit le coefficient moins quatre. Cette colonne représente les coefficients des 𝑥.
Dans la colonne suivante, on écrit les coefficients des 𝑦, à savoir neuf et trois. Puis on passe à la partie droite de notre matrice augmentée, dans laquelle on écrit les valeurs moins deux et six. Cela nous donne notre solution. Ceci est la matrice augmentée associée à notre système d’équations linéaires. Lorsqu’on résout un problème de ce type, il est très important de s’assurer que les coefficients d’une même variable sont alignés verticalement avant de les écrire dans la matrice.
