Transcription de la vidéo
Déterminez les maximums et minimums relatives de 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 au cube moins 12𝑥 moins cinq.
Les maximums relatives et les minimums relatives sont des exemples de points critiques. Et nous savons que les points critiques d’une fonction se produisent lorsque sa dérivée première est égale à zéro ou est indéfinie. Nous devons donc trouver une expression pour la dérivée première de notre fonction 𝑓 prime de 𝑥, puis trouver où elle est égale à zéro. Afin de trouver 𝑓 prime de 𝑥, nous pouvons utiliser la règle de dérivation de la puissance. 𝑓 prime de 𝑥 est égal à quatre multiplié par trois 𝑥 au carré moins 12 multiplié par un. Rappelez-vous, la dérivée d’une constante, dans ce cas moins cinq, n’est que zéro, ce qui simplifie notre expression à 12𝑥 au carré moins 12. Nous avons donc notre expression pour la dérivée première de notre fonction 𝑓 de 𝑥.
Ensuite, nous imposons cette expression égale à zéro et résolvons l’équation résultante pour 𝑥. En additionnant 12 des deux côtés, puis en divisant par 12 donne 𝑥 au carré est égal à un. Nous résolvons la racine carré, en nous souvenant que nous devons prendre les valeurs positives et négatives. 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de un. Et comme la racine carrée de un est juste un, nous avons que 𝑥 est égal à plus ou moins un. Maintenant, ce sont les valeurs de 𝑥 où nous avons les points critiques de notre fonction. Nous devons également déterminer les valeurs de la fonction elle-même en ces points. Pour ce faire, nous substituons chaque valeur de 𝑥 dans notre fonction 𝑓 de 𝑥.
𝑓 de un est égal à quatre multiplié par un cube moins 12 multiplié par un moins cinq, ce qui est égal à moins 13. 𝑓 de moins un est quatre multiplié par moins un au cube moins 12 multiplié par moins un moins cinq, ce qui est égal à trois. Nous trouvons donc que notre fonction a des points critiques aux points un, moins 13 et moins un, trois. Mais la question nous demande de déterminer le maximum relatif et le minimum relatif de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons donc classer ces points critiques.
Pour ce faire, nous devons appliquer le test de la dérivée seconde. Nous allons trouver une expression pour la dérivée seconde 𝑓 seconde de 𝑥 de notre fonction, puis l’évaluer en chacun des points critiques. Selon le signe de 𝑓 seconde de 𝑥 en chaque point critique, cela nous dira s’il existe un maximum relatif, un minimum relatif ou peut-être un point d’inflexion. Nous devons donc dériver notre expression 𝑓 prime de 𝑥, où, rappelez-vous, 𝑓 prime de 𝑥 était égal à 12𝑥 au carré moins 12. Nous voyons que la dérivée seconde 𝑓 seconde de 𝑥 est égale à 12 multiplié par deux 𝑥, ce qui est 24𝑥.
L’évaluation de cela lorsque 𝑥 est égal à un donne 24 multiplié par un, qui est 24. Ceci est supérieur à zéro. Et le test de la dérivée seconde nous dit que si la dérivée seconde d’une fonction est positive en un point critique, alors ce point critique est un minimum relatif. Nous savons donc que notre point critique un, moins 13 est un minimum relatif de la fonction 𝑓 de 𝑥. En évaluant 𝑓 seconde de 𝑥 au point critique lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous obtenons moins 24. C’est inférieur à zéro et donc le test de la dérivée seconde nous dit que ce point critique est un maximum relatif de la fonction 𝑓 de 𝑥.
Nous pouvons conclure que cette fonction 𝑓 de 𝑥 a une valeur du maximum relatif de trois en 𝑥 égale moins un et une valeur du minimum relatif de moins 13 en 𝑥 égale plus un. Rappelez-vous, dans cette question, nous utilisons la dérivation pour trouver la dérivée première de notre fonction. Les points critiques sont les points où la dérivée première sera égale à zéro ou sera indéfinie. Nous avons évalué la fonction elle-même en chacun de nos points critiques. Et puis nous avons utilisé le test de la dérivée seconde pour classer ces points critiques en tant que minimums ou maximums relatives.
