Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, notre sujet est le calcul de la masse volumique. La masse volumique est liée à la quantité de masse contenue dans une quantité donnée d’espace. Plus il y a de masse, plus l’objet est dense (c.-a-d. une masse volumique élevée). Chaque matériau a une certaine masse volumique et nous pouvons utiliser cette propriété pour comparer divers matériaux. Par exemple, admettons que nous avons une piscine d’eau. Nous jetons un bloc de fer et un bloc de bois dans cette piscine. Lorsque ces matériaux atteignent la surface de l’eau, le fer coule vers le fond tandis que le bois flotte à la surface. Nous pouvons constater ce résultat du bois qui flotte et du fer qui coule et penser que nous pourrions le changer en utilisant différentes tailles de matériaux.
Nous pourrions imaginer qu’en utilisant un bloc de bois beaucoup plus grand et un morceau de fer beaucoup plus petit, peut-être que le bois coulerait et que le fer flotterait. Cependant, nous trouvons la même chose qu’avant ; même le très grand bloc de bois flotte et même le très petit morceau de fer coule. Ce que nous découvrons, c’est que la différence entre ces trois matériaux - le bois, l’eau et le fer - n’a pas à voir avec leur volume, c’est-à-dire l’espace qu’ils occupent. Cela est plutôt lié avec une autre propriété des matériaux. Cette propriété s’appelle la masse volumique du matériau. La masse volumique implique à la fois la masse et le volume d’un objet. La masse volumique est un rapport qui décrit la quantité de matière d’un matériau donné dans une certaine quantité de volume.
Considérons nos deux blocs de bois : le grand et le petit, le grand bloc de bois a plus de masse que le petit. Mais nous pouvons voir qu’il a aussi plus de volume. Autrement dit, il prend plus de place. Et parce que la masse volumique est un rapport entre la masse d’un objet et son volume, même si les masses et les volumes de ces deux blocs de bois sont différents, leurs masses volumiques sont exactement les mêmes. Autrement dit, si nous prenons la masse de ce bloc de bois et la divisons par le volume de ce bloc, alors ce rapport est exactement égal à la masse de ce plus grand bloc de bois divisée par son volume.
Et c’est pour cela que ces deux blocs, même s’ils ont des tailles très différentes, se comportent de la même manière, que tous les deux flottent. C’est parce que par rapport à l’eau dans laquelle ils flottent, ils ont tous les deux la même masse volumique. La même chose est vraie pour nos deux morceaux de fer. Même si ces objets ont des tailles et des masses différentes, si nous prenions la masse de ce petit morceau de fer et la divisions par son volume, alors ce rapport serait exactement égal à la masse de ce plus grand morceau divisée par son volume.
Ainsi, la masse volumique d’un objet - et tous les objets ont une certaine masse volumique - dépend de plus que son volume seul et plus que sa masse seule. Elle dépend à la fois de la masse et du volume. Et plus précisément, la masse volumique est le rapport masse-volume. Nous pouvons écrire cela sous forme d’équation. Nous pouvons dire que la masse volumique, que nous représenterons en utilisant la lettre grecque 𝜌, est égale au rapport de la masse d’un objet au volume de ce même objet. Avec cette équation, nous avons maintenant une recette fiable pour calculer la masse volumique d’un objet. Si nous connaissons ou sommes en mesure de trouver sa masse et la même chose avec son volume, alors nous pouvons calculer sa masse par unité de volume, sa masse volumique.
Comme nous l’avons mentionné précédemment, la masse volumique est une propriété des matériaux. Tout objet formé uniquement d’un certain matériau a la même masse volumique, peu importe sa taille. Cela est dû au fait qu’à mesure que le volume d’un objet constitué d’un certain matériau augmente, la masse de l’objet augmente en proportion. Ces quatre blocs sont tous faits du même matériau. Et disons que si le volume de ce très petit bloc est 𝑉 majuscule, alors le volume de ce bloc-ci est deux fois plus grand que cela. Il vaut deux 𝑉. Mais la masse volumique de ces blocs, ainsi que les deux autres, sont toutes les mêmes car elles sont faites du même matériau, ce qui signifie que si la masse de ce plus petit bloc est 𝑚, alors la masse du prochain bloc par ordre de taille doit être deux 𝑚.
Ensuite, lorsque nous calculons la masse volumique du premier bloc, nous appellerons cela 𝜌 indice un, elle est égale à la masse du bloc divisée par son volume 𝑚 sur 𝑉. Et puis si nous calculons la masse volumique du deuxième bloc, nous l’appellerons 𝜌 indice deux, c’est égal à deux 𝑚 divisé par deux 𝑉 parce que ce bloc a deux fois plus de masse et deux fois plus de volume. Alors, le deux au numérateur et le deux au dénominateur s’annulent. Et nous nous retrouvons avec une masse volumique pour notre deuxième bloc, qui est égale à la masse volumique du premier bloc. Et c’est ce à quoi nous nous attendions parce que ces blocs sont faits du même matériau. Par conséquent, ils doivent avoir la même masse volumique.
Parce que la masse volumique d’un matériau donné est toujours la même quelle que soit la taille de l’objet constitué de ce matériau, la masse volumique est utile pour nous permettre de comparer divers matériaux. Par exemple, admettons que ces deux blocs sont faits de deux matériaux différents ; nous les appellerons A et B. Admettons que nous voulions savoir lequel de ces matériaux est le plus dense (c.-a-d. qui a la plus grande masse volumique) Il est évident à l’œil nu que le volume du matériau B est plus grand que le volume du matériau A. Mais cela ne signifie pas qu’il sera plus ou moins dense.
Pour résoudre cela, il faudrait connaître les masses volumiques de ces deux matériaux. Admettons que chacun de ces objets a la forme d’un cube et que la longueur d’arrête de l’objet en matériau A est de deux mètres, tandis que la longueur d’arrête du plus grand objet est de quatre mètres. Admettons de plus que la masse de notre plus petit objet est de 16 kilogrammes, alors que la masse de notre plus grand objet est quatre fois cela, 64 kilogrammes. Pour comparer les masses volumiques de ces deux cubes, calculons d’abord ces valeurs. Nous appelons 𝜌 indice A la masse volumique du matériau A et 𝜌 indice B la masse volumique du matériau B.
Nous pouvons voir que, sur la base de notre équation pour la masse volumique, elle est égale à la masse d’un objet donné divisée par son volume. Or, nous connaissons les masses des petits et grands objets. Et en substituant celles-ci, notre prochaine tâche est de résoudre l’équation en fonction des volumes de ces deux objets. Parce que nos deux objets sont de forme cubique, leurs volumes seront égaux à la longueur de l’arête mise au cube. Une autre façon d’exprimer cela est que si nous avons un cube avec une longueur d’arête 𝐿 majuscule, alors le volume de ce cube est 𝐿 fois 𝐿 fois 𝐿, soit 𝐿 au cube.
Alors, lorsque nous considérons le volume de nos deux cubes faits de matériaux A et B, le volume du plus petit objet en matériau A est égal à sa longueur d’arête, deux mètres, au cube et le volume du grand objet est égale à sa longueur d’arête, quatre mètres, au cube. Maintenant, lorsque nous effectuons cette opération, lorsque nous mettons ces longueurs au cube, il est important d’appliquer ce cube à la fois aux unités et aux valeurs. Autrement dit, nous mettons au cube les mètres pour obtenir des mètres cubes et nous mettons au cube le nombre devant cette unité. Alors, le volume de notre plus petit objet est deux fois deux fois deux mètres cubes. Cela fait huit mètres cubes. Et notre objet plus grand a un volume de quatre fois quatre fois quatre mètres cubes ou 64 mètres cubes.
Maintenant, avant de calculer ces masses volumiques, remarquez les unités impliquées. Nous avons l’unité de base SI de la masse, le kilogramme, divisée par l’unité de base SI de la distance, le mètre cube, qui est l’unité de base SI du volume. Cet ensemble d’unités, kilogrammes par mètre cube, est la manière standard d’exprimer les masses volumiques des matériaux. Donc, sachant cela, quelles sont ces masses volumiques, 𝜌 indice A et 𝜌 indice B ? Nous voyons que 𝜌 indice A est 16 divisé par huit soit deux kilogrammes par mètre cube, tandis que 𝜌 indice B est 64 divisé par 64 soit un kilogramme par mètre cube. Donc, selon notre calcul, le matériau B est moins dense que le matériau A, ce qui signifie, par exemple, que si nous jetions ces deux objets dans un liquide, même si l’objet constitué du matériau B est plus volumineux, il aurait plus de chance à flotter dans ce liquide.
Et c’est parce que par rapport au matériau A, sa masse volumique est inférieure. Maintenant, malgré le fait que ces deux objets étaient de forme cubique, et que nous avons pu déterminer leur volume en utilisant cette relation, nous savons que ce ne sera pas toujours le cas pour les objets dont nous voulons calculer la masse volumique. Par exemple, nous pourrions avoir un objet en forme de sphère de rayon 𝑟 ou nous pourrions avoir un objet de forme plus irrégulière avec une longueur, une largeur et une hauteur données. Si cela se produit, nous pouvons rappeler différentes formules pour calculer le volume de notre objet. Le volume d’une sphère est quatre tiers fois 𝜋 fois le rayon de la sphère au cube. Et un objet comme celui-ci, appelé parallélépipède, a un volume égal à sa longueur multipliée par sa largeur multipliée par sa hauteur.
Ces formules peuvent être utiles lorsque nous calculons un volume pour déterminer la masse volumique. La meilleure façon de se familiariser avec la masse volumique est peut-être de passer en revue quelques exemples. Essayons-en un tout de suite.
Deux sphères ont la même masse, mais le volume de la seconde sphère vaut la moitié du volume de la première. Combien de fois plus grande est la masse volumique de la deuxième sphère par rapport à celle de la première ?
Très bien, dans cet exercice, nous avons ces deux sphères différentes. Nous les appellerons sphère un et sphère deux. Quand il s’agit des masses de ces sphères, on nous dit qu’elles sont égales. Nous pourrions écrire cela de cette façon. Nous pourrions admettre que 𝑚 un, la masse de la première sphère, est égale à la masse de la deuxième sphère 𝑚 deux. Mais ensuite, l’énoncé du problème indique que le volume de la deuxième sphère est égal à la moitié du volume de la première. Une autre façon de dire cela est que le volume de la première sphère, nous pouvons l’appeler 𝑉 un, est deux fois plus grand que le volume de la deuxième sphère, 𝑉 deux.
Cela équivaut à dire que la deuxième sphère a un volume deux fois plus petit que la première. Alors, maintenant que nous savons comment la masse et les volumes de ces deux sphères se comparent, nous voulons connaître la masse volumique de la deuxième sphère par rapport à la première. En particulier, nous voulons savoir à quel point la masse volumique de cette seconde sphère est grande par rapport à la masse volumique de la première. Pour résoudre cela, nous pouvons rappeler qu’en général la masse volumique 𝜌 d’un objet est égale à la masse de l’objet divisée par son volume.
Donc allons-y. Admettons que 𝜌 indice un représente la masse volumique de la première sphère, et 𝜌 indice deux représente la masse volumique de la seconde. Nous savons de notre équation que la masse volumique de la sphère un est égale à 𝑚 un divisé par 𝑉 un. Et puis la masse volumique de la sphère deux est 𝑚 deux divisée par 𝑉 deux. Nous voulons faire une comparaison entre ces deux masses volumiques, 𝜌 un et 𝜌 deux. Et pour ce faire, nous exprimerons la masse volumique de la sphère deux entièrement en fonction des variables liées à la sphère un. Voici ce que nous entendons par cela.
Tout d’abord, nous allons utiliser le fait que 𝑚 deux, la masse de la deuxième sphère, est égale à la masse de la première sphère. Cela signifie que nous pouvons remplacer 𝑚 deux par 𝑚 un. Elles sont identiques. Ensuite, en considérant les volumes de sphères, nous avons cette équation 𝑉 un est égal à deux fois 𝑉 deux. Si nous divisons les deux côtés de cette équation par deux, alors nous voyons que les deux s’annulent du côté droit. Et nous trouvons que 𝑉 deux est égal à 𝑉 un divisé par deux. Ainsi, nous pouvons prendre 𝑉 un divisé par deux et le substituer pour 𝑉 deux dans notre équation pour 𝜌 deux. Lorsque nous faisons cela, nous avons maintenant cette fraction 𝑚 un divisé par 𝑉 un divisé par deux.
Si nous multiplions cette fraction par deux divisé par deux, nous ne changeons pas du tout la valeur car techniquement nous multiplions par un. Mais nous voyons que dans le dénominateur, les deux s’annulent. Et nous nous retrouvons avec un résultat de deux fois 𝑚 un sur 𝑉 un. Maintenant, la masse volumique de notre deuxième sphère est exprimée exclusivement en fonction de la masse et du volume de la première sphère. Puisque 𝜌 un, la masse volumique de la première sphère, est égale à 𝑚 un sur 𝑉 un, nous pouvons remplacer 𝑚 un sur 𝑉 un ici par 𝜌 un. Et nous trouvons que 𝜌 deux, la masse volumique de la deuxième sphère, est deux fois 𝜌 un, la masse volumique de la première. Notre question était la suivante : « Quelle est la masse volumique de la deuxième sphère par rapport à celle de la première ? » Et voici notre réponse. Elle est deux fois plus grande.
Voyons maintenant un deuxième exemple.
Un petit cube de fer a des arêtes de 0,15 mètres de long. Si la masse du cube est de 26,6 kilogrammes, quelle est sa masse volumique ? Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.
Alors, dans cet exemple, nous avons un cube en fer. Et les arêtes sont toutes de la même longueur, 0,15 mètres. En plus de cela, on nous donne la masse du cube - nous pouvons l’appeler 𝑚. Et cela vaut 26,6 kilogrammes. Sur cette base, nous voulons calculer la masse volumique du cube. Pour faire cela, rappelons la relation mathématique entre la masse volumique, la masse et le volume. La masse volumique 𝜌 d’un objet donné est égale à sa masse divisée par son volume. Donc, dans notre cas, la masse volumique de notre cube, nous pouvons l’appeler 𝜌 indice c, est égale à la masse du cube, 26,6 kilogrammes, divisée par son volume.
Pour résoudre en fonction de son volume, nous pouvons rappeler que puisque nous travaillons avec un cube, le volume de notre cube est égal à sa longueur d’arête au cube. Dans notre cas, la longueur de cette arête est de 0,15 mètre. Par conséquent, notre volume est de 0,15 mètre élevé au cube. Ces parenthèses sont importantes car elles nous disent que nous appliquerons cette mise au cube à la fois à l’unité des mètres et à la valeur, 0,15. Le volume de notre cube est donc de 0,15 au cube mètres cubes. Lorsque nous calculons cette masse volumique, nous constatons qu’elle est égale à 7881,48 et ainsi de suite, kilogrammes par mètre cube.
Mais notre énoncé nous demande une réponse à trois chiffres significatifs. Commençons donc par le début de notre réponse et dénombrons trois rangs. Voici un chiffre significatif, un deuxième et un troisième. Maintenant, pour savoir si ce deuxième huit, notre troisième chiffre significatif, va être arrondi par excès ou rester le même, nous allons regarder le chiffre suivant dans notre réponse. Ce chiffre est un un, qui est plus petit que cinq. Donc, ce huit ne sera pas arrondi à un neuf. Il restera tel quel. Alors, à trois chiffres significatifs, notre masse volumique est de 7880 kilogrammes par mètre cube. C’est la masse volumique de ce cube de fer.
Maintenant, résumons ce que nous avons appris sur le calcul de la masse volumique. En commençant, nous avons appris que la masse volumique est une propriété des matériaux qui dépend de la masse et du volume. Pour un matériau donné, sa masse volumique est toujours la même, quelle que soit la taille du morceau de ce matériau. Écrit sous forme d’ équation, la masse volumique d’un objet, symbolisée par la lettre grecque 𝜌, est égale à sa masse divisée par son volume.
Et enfin, nous avons vu que le volume d’un objet dépend de sa forme. Alors que le volume d’un cube est égal à sa longueur d’arête au cube, le volume d’une sphère est égal à quatre tiers fois 𝜋 fois son rayon au cube. Et le volume d’un parallélépipède est égal à sa longueur multipliée par sa largeur multipliée par sa hauteur. Ceci est un résumé du calcul de la masse volumique.
