Vidéo de la leçon : Nombres rationnels et irrationnels Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et à faire la différence entre les nombres rationnels et irrationnels. Commençons par réfléchir aux types ou ensembles de nombres que nous devrions déjà connaître. L’ensemble ou la classification principale des nombres à ce niveau fera entièrement partie de l’ensemble des nombres réels. Le plus petit ensemble à l’intérieur est celui des entiers positifs ou nombres qui servent à compter, et cela fait référence aux nombres un, deux, trois, etc. L’ensemble des nombres naturels englobe cet ensemble, mais il inclut également la valeur zéro. L’ensemble des nombres entiers englobe ces ensembles et comprend les équivalents négatifs des nombres naturels.

Les deux ensembles que nous examinons aujourd’hui comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Nous pouvons voir que ces deux ensembles font toujours partie de l’ensemble des nombres réels. Mais afin de rendre cette figure légèrement plus précise, nous pourrions diviser l’ensemble des nombres réels en nombres rationnels ou irrationnels car il n’y a pas de valeurs qui sont des nombres réels qui ne sont pas inclus dans l’ensemble des nombres rationnels ou irrationnels. Nous allons maintenant voir ce que signifie réellement être un nombre rationnel ou irrationnel.

En commençant par des nombres rationnels, un nombre rationnel est défini comme un nombre qui peut être exprimé comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Nous pouvons décomposer cette définition et examiner tour à tour chaque partie pour voir comment elle fonctionne. Pour être rationnel, nous devons être capables d’écrire le nombre sous forme de fraction. On nous dit que 𝑝 et 𝑞 dans notre fraction doivent être des entiers. On peut rappeler qu’un entier est un nombre qui n’a pas de partie décimale, mais les négatifs et zéro sont autorisés dans l’ensemble des entiers. On nous dit que 𝑞 ne peut pas être égal à zéro. C’est notre dénominateur, donc nous ne pouvons pas avoir zéro au dénominateur. Nous pouvons maintenant jeter un œil à certains nombres et voir si nous pouvons déterminer si ceux-ci seraient rationnels ou non.

En commençant par la valeur entière de cinq, eh bien, ce n’est pas une fraction 𝑝 sur 𝑞, mais pourrions-nous l’écrire comme une fraction ? Eh bien, rappelez-vous que nous pouvons écrire n’importe quel entier sous forme de fraction sur un. Et ici, nous avons 𝑝 et 𝑞 comme entiers. Soit dit en passant, nous pourrions également avoir les fractions équivalentes 100 sur 20 et moins 20 sur moins quatre, et ces deux seraient toujours des nombres rationnels. Et donc, nous pouvons dire que notre valeur cinq est un nombre rationnel. Et que diriez-vous de la fraction un quart ? Serait-ce un rationnel ? Nous pouvons vérifier notre fraction 𝑝 sur 𝑞, c’est-à-dire un sur quatre, que un et quatre sont tous deux des nombres entiers et quatre n’est pas égal à zéro. Donc, un quart est rationnel.

En regardant ensuite la valeur décimale moins 3,75, ce n’est pas une fraction. Mais pourrions-nous potentiellement l’écrire sous forme de fraction ? Vous vous souvenez peut-être que nous pouvons écrire ceci comme le nombre fractionnaire moins trois et 75 sur 100. Nous pourrions encore simplifier cela comme moins trois et trois quarts. Et nous pourrions alors écrire ceci comme la fraction impropre moins 15 sur quatre. Et nous pouvons voir que nous avons ceci sous la forme de fraction 𝑝 sur 𝑞. Et puisque nous avons moins 15 et quatre sont tous les deux des entiers, alors nous pourrions dire que moins 3,75 serait un nombre rationnel.

Notre prochain exemple sera de regarder le nombre décimal périodique de 0,3. Nous pourrions l’écrire sous forme de fraction sous la forme d’un tiers. Dans ce cas, nous pouvons voir que notre numérateur et notre dénominateur sont des entiers, et donc 0,3 périodique serait un nombre rationnel. Et enfin, jetons un coup d’œil à la racine carrée de 25. Nous pouvons nous rappeler que puisque 25 est un nombre carré ou un carré parfait, nous pourrions l’écrire comme étant cinq. Et nous avons déjà vu que cinq est un nombre rationnel.

Jusqu’à présent, il semble que beaucoup de nombres soient rationnels. Nous avons vu que les entiers et les fractions sont rationnels, tout comme les nombres décimaux avec fin comme notre moins 3,75. Nous avons vu que le nombre décimal périodique 0,3 était rationnel. Et nous avons également vu que la racine carrée d’un carré parfait est rationnelle. Alors, quelles valeurs exactement ne seront pas des nombres rationnels ? Nous pouvons obtenir un indice de ces trois dernières catégories, mais examinons plus en détail les nombres qui ne sont pas rationnels.

Les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Cela signifie qu’ils ne peuvent pas être écrits comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Vous vous souvenez peut-être de la figure que nous avons vue précédemment où nous pouvons diviser un nombre réel en un nombre rationnel ou un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’un nombre peut être écrit sous forme de fraction 𝑝 sur 𝑞 ou il ne peut pas l’être.

Nous pouvons maintenant examiner certains nombres et voir s’ils sont irrationnels. Le nombre irrationnel le plus célèbre est peut-être 𝜋. Mais pourquoi est-ce irrationnel ? L’approximation décimale de 𝜋 est 3,141592654 et ainsi de suite, ce qui signifie que la valeur décimale ne se termine pas ou ne se répète pas. Et par conséquent, nous ne pouvons pas l’écrire sous la forme d’une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers, ce qui signifie que 𝜋 est irrationnel. En passant, vous avez peut-être vu 22 sur sept pour 𝜋, mais il s’agit d’une approximation de la valeur décimale et n’est pas la valeur exacte de 𝜋. En regardant un autre exemple, nous avons le nombre décimal 0,3030030003 et ainsi de suite. Bien que les nombres décimaux aient un joli motif, ce n’est pas un motif répétitif. Et comme la partie décimale ne se termine pas ou ne se répète pas, cela signifie que nous ne pouvons pas l’écrire comme une fraction 𝑝 sur 𝑞. Donc, cette valeur décimale serait irrationnelle.

Pour notre prochain exemple, nous allons regarder la racine carrée de 11. Nous avons vu précédemment que la racine carrée d’un nombre carré nous donnera une valeur entière. Cependant, comme 11 n’est pas un nombre carré, nous avons la racine carrée d’un carré non parfait. La valeur décimale dans ce cas serait une valeur qui ne se répète pas et ne se termine pas, ce qui signifie qu’elle ne peut pas être écrite sous forme de fraction. Et donc, la racine carrée de 11 est un nombre irrationnel. Alors, que diriez-vous de la racine carrée de cinq sur deux ? Cela semble assez bon car nous avons une fraction. Cependant, notre numérateur, la racine carrée de cinq, n’est pas un entier, ce qui ne correspond pas à la règle selon laquelle pour notre fraction 𝑝 sur 𝑞, 𝑝 et 𝑞 doivent être des valeurs entières. Et donc, la racine cinq sur deux doit être irrationnelle.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples de questions impliquant des nombres rationnels et irrationnels. Et à chaque fois, nous allons travailler sur la définition d’un nombre rationnel. J’espère donc qu’à la fin de la vidéo, nous aurons une bien meilleure compréhension de chaque partie de cette définition.

Est-ce que 0,456 périodique est un nombre rationnel ou irrationnel ?

On peut rappeler qu’un nombre rationnel peut être exprimé comme une fraction 𝑝 sur 𝑞, où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Ainsi, afin de vérifier si l’état périodique de 0,456 est un nombre rationnel, nous devons vérifier si nous pouvons l’écrire sous la forme d’une fraction 𝑝 sur 𝑞. Ici, nous allons utiliser une méthode soignée pour écrire ce nombre décimal périodique sous forme de fraction. Et il commence par définir une variable 𝑥 qui est égale à 0,456 périodique. On peut dire que 𝑥 est égal à 0,456456456 et ainsi de suite. Dans l’étape suivante, nous créons une autre valeur qui a les mêmes chiffres décimaux que 𝑥. Comme nous avons trois chiffres qui se répètent, alors si nous multiplions par 10 à la troisième puissance, c’est la même chose que multiplier par 1000. Et donc, nous aurons 1000𝑥 soit 456,456456 et ainsi de suite.

Nous avons maintenant deux valeurs qui ont les mêmes chiffres décimaux. Et donc, si nous devions calculer 1000𝑥 soustraire 𝑥, cela nous donnerait 456 car chaque chiffre décimal sera soustrait d’un autre de valeur égale. Poursuivant notre calcul, nous pouvons écrire que 999𝑥 est égal à 456. Et réorganiser en divisant les deux côtés par 999 nous donnera 𝑥 égale 456 sur 999. Comme nous avons déjà défini 𝑥 comme étant 0,456 périodique, nous avons prouvé que ce nombre décimal peut être écrite comme une fraction. Comme le numérateur et le dénominateur sont des entiers et que le dénominateur n’est pas égal à zéro, il correspond à la définition d’un nombre rationnel. Ainsi, 0,456 périodique est un nombre rationnel.

La racine carrée de deux est-elle un nombre rationnel ou irrationnel ?

Commençons par rappeler ce qu’est un nombre rationnel. Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Et un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Donc, nous avons ici la racine carrée de deux. Nous savons que la racine carrée de deux se situe entre la racine carrée de un et la racine carrée de quatre, car un et quatre sont les nombres carrés les plus proches. La valeur positive de la racine carrée de un est un, et la valeur positive de la racine carrée de quatre est deux.

À l’aide d’une calculatrice, nous pouvons calculer la racine carrée de deux comme un 1,414213562 et ainsi de suite. Le nombre décimal n’est pas périodique. Et nous pouvons également voir que ce nombre décimal ne se termine pas. Par conséquent, nous n’avons pas pu écrire une fraction pour représenter ce nombre décimal qui représente la racine carrée de deux, ce qui signifie que la définition rationnelle n’y correspondrait pas, ce qui signifie que la racine carrée de deux est un nombre irrationnel.

Dans l’exemple suivant, nous verrons un problème écrit, et nous devons établir si le résultat d’un calcul est rationnel ou irrationnel.

Selon l’US Mint, le diamètre d’un quart est de 0,955 pouces. La circonférence du quart serait le diamètre multiplié par 𝜋. La circonférence d’un quart est-elle un nombre entier, un nombre rationnel ou un nombre irrationnel ?

Donc, nous avons ici le quart. On nous dit que le diamètre est de 0,955 pouces. C’est la distance d’un côté du cercle à l’autre à travers le centre. Et on nous dit que la circonférence est égale à 𝜋 fois le diamètre. Et donc, nous pouvons dire que la circonférence de ce quart sera de 0,955 𝜋. On nous demande de déterminer s’il s’agit d’un nombre entier, d’un nombre rationnel ou d’un nombre irrationnel. On peut rappeler qu’une approximation décimale pour 𝜋 commence par 3,141592654 et ainsi de suite. Et donc, lorsque nous multiplions cela par 0,955, nous n’allons certainement pas obtenir un nombre entier. Alors, regardons un nombre rationnel.

Un nombre rationnel peut être exprimé comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Si nous ne pouvons pas exprimer un nombre comme une fraction 𝑝 sur 𝑞, alors ce serait irrationnel. Nous pouvons simplement dire qu’un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Rappelons que 𝜋 est un nombre irrationnel. Et c’est parce que nous ne pouvons pas l’exprimer comme une fraction 𝑝 sur 𝑞. Nous savons que c’est le cas parce que la valeur décimale pour 𝜋 ne se termine pas, et ce n’est pas un nombre décimal périodique. Donc, nous avons ici 𝜋, un nombre irrationnel, multiplié par 0,955, qui est un nombre rationnel. On peut dire que c’est rationnel car c’est équivalent à la fraction 955 sur 1000.

Et par conséquent, nous multiplions un nombre rationnel par un nombre irrationnel, ce qui donnera un nombre irrationnel, ce qui est vrai dans tous les cas, sauf lorsque le nombre rationnel est un zéro. Donc, notre réponse est que la circonférence du quart 0,955 𝜋 est un nombre irrationnel.

Nous allons maintenant essayer une dernière question, et vous voudrez peut-être mettre la vidéo en pause après avoir vu la question et vous y mettre d’abord.

Un carré de côté de longueur 𝑥 centimètres à une aire de 280 centimètres carrés. Lequel des énoncés suivants est vrai à propos de 𝑥 ? C’est un nombre entier. C’est un nombre entier positif. C’est un nombre rationnel. C’est un nombre irrationnel. Ou, c’est un nombre négatif.

Commençons cette question en visualisant notre carré. Comme il s’agit d’un carré, nous savons que les quatre côtés seront de 𝑥 centimètres. On nous dit que l’aire est de 280 centimètres carrés. Et comme nous trouvons l’aire d’un carré en multipliant la longueur par la longueur, cela signifie que 𝑥 au carré est égal à 280. Nous pourrions donc calculer la valeur de 𝑥 en prenant la racine carrée des deux côtés, ce qui signifie que 𝑥 est égal à la racine carrée de 280. Alors, que pouvons-nous dire à propos de 𝑥 ?

Eh bien, commençons par regarder la valeur de 280. Si nous calculons la valeur de certains nombres carrés proches de 280, nous verrions que 16 au carré est égal à 256 et 17 au carré est égal à 289. Par conséquent, 280 n’est pas un carré parfait ou un nombre carré. Et sa racine carrée n’aura pas de valeur entière. Si nous utilisions une calculatrice, nous obtiendrions une approximation décimale de 16,73320053 et ainsi de suite.

Examinons donc certains des choix de réponse. Un nombre entier n’a pas de partie fractionnaire et pas de chiffres après la virgule décimale, donc la racine carrée de 280 n’est pas un entier. Un nombre entier positif est un nombre positif excluant zéro. Ceux-ci sont souvent appelés les nombres qui servent à compter lorsqu’ils commencent par un, deux, trois, etc. L’ensemble des nombres entiers positifs est inclus dans les nombres entiers. Donc, si ce n’est pas un entier, ce n’est pas non plus un nombre entier positif.

On peut rappeler qu’un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Alors, pourrions-nous écrire la racine carrée de 280, qui est le nombre décimal 16,73320053 et ainsi de suite, sous la forme d’une fraction 𝑝 sur 𝑞 ? Et la réponse est non, nous ne pouvons pas. Un moyen rapide de vérifier si un nombre décimal est rationnel est de voir s’il se termine ou se répète. Soit cela signifierait que le nombre décimal est un nombre rationnel. Mais puisque notre valeur n’a pas cela, alors ce n’est pas rationnel.

En explorant ensuite l’option suivante, nous pouvons nous rappeler qu’un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Il convient de souligner que cela ne fait partie que de l’ensemble des nombres réels dans lesquels nous travaillons ici. Comme nous avons établi qu’il ne s’agit pas d’un nombre rationnel, cela signifie que notre valeur doit être irrationnelle. Il semble que nous ayons notre réponse ici, mais revérifions l’option (E).

Alors, la racine carrée de 280 pourrait-elle être un nombre négatif ? Eh bien, en fait, cela pourrait être dû au fait que la racine carrée de 280 pourrait être la valeur positive de 16,733 et ainsi de suite ou la valeur négative de moins 16,733 et ainsi de suite. Mais nous pouvons exclure le fait qu’il s’agit d’un nombre négatif simplement en raison du contexte de la question. Nous ne pouvions pas réellement avoir un carré qui a une longueur négative, et donc cela ne peut pas être l’option (E). Donc, notre réponse finale pour 𝑥 est que c’est un nombre irrationnel.

Alors, résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons vu qu’un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme une fraction 𝑝 sur 𝑞 où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞 n’est pas égal à zéro. Par exemple, certains nombres rationnels seraient deux tiers, moins 1,75, 4,22 périodique ou la racine carrée de 25.

Si nous avons un nombre décimal que nous voulons vérifier s’il est rationnel, alors s’il s’agit d’un nombre décimal périodique ou d’un nombre décimal avec fin, cela signifierait qu’il est rationnel. Si nous avons une valeur de racine carrée, nous pouvons vérifier si c’est la racine carrée d’un carré parfait. Si c’est le cas, alors c’est un nombre rationnel.

Et enfin, nous avons appris qu’un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Quelques exemples de nombres irrationnels seraient 𝜋, la racine carrée de deux, ou 0,303003 et ainsi de suite. Et maintenant, nous pouvons identifier les nombres rationnels et irrationnels.