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Vidéo de la leçon : Rapports Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser un rapport pour décrire la relation entre deux quantités, et à utiliser cela pour résoudre des problèmes de la vies courante.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser un rapport pour décrire la relation entre deux quantités. Nous verrons aussi comment écrire les rapports sous leur forme la plus simple. Alors, commençons par le début. Qu’est-ce qu’un rapport ? Très simplement, un rapport est une comparaison d’une valeur à une autre. Si nous pensons à une recette, nous pouvons trouver des rapports d’un ingrédient par rapport à un autre. Par exemple, nous pourrions trouver le rapport entre le sucre et le lait. Dans ce rapport, nous allons comparer la quantité de sucre à la quantité de lait. Lorsqu’on travaille avec des rapports, l’ordre est l’une des choses les plus importantes.

Comme on nous demande le rapport du sucre au lait, il faut que la valeur du sucre vienne en premier et celle du lait en second. Dans cette recette, il y a une tasse de sucre et deux tasses de lait. Nous pouvons écrire ce rapport avec le mot « à » entre les deux. Nous pourrions dire une tasse à deux tasses. Mais comme les deux unités sont les tasses, alors nous écrirons que le rapport de sucre au lait est de un à deux, une part de sucre à deux parts de lait. C’est une façon d’écrire un rapport. Une deuxième façon de l’écrire est d’avoir deux points au milieu. Cette deuxième ligne indique toujours 1 à 2. Lorsqu’il y a deux points entre les valeurs, on le lit comme le mot à. Et la troisième option pour écrire ce rapport est de l’écrire comme une fraction, un sur deux.

En utilisant la même recette, voyons un autre rapport, le rapport de la farine au lait. Encore une fois, l’ordre est très important. La première valeur sera la farine, et la deuxième celle du lait. Il y a trois tasses de farine dans cette recette et toujours deux tasses de lait. Nous pouvons d’abord écrire cela avec des mots comme un rapport de trois à deux et ensuite, avec les deux points, 3 : 2. Et enfin, trois sur deux sous forme de fraction. Notez que lorsque nous travaillons avec des fractions, la première valeur sera le numérateur, et la deuxième valeur sera le dénominateur.

Maintenant que nous avons vu quelques rapports de base, nous allons voir comment trouver la forme la plus simple d’un rapport. Pour cela, imaginons qu’il y ait dans une école un club de course à pied et un club de basket-ball. Le club de course compte 150 membres, et le club de basket en compte 75. Et nous voulons savoir quel est le rapport de coureurs aux joueurs de basket à l’école. Encore une fois, l’ordre est très important ici, donc nous avons les coureurs en premier et les joueurs de basket en second. Et donc nous écrivons 150 à 75. Mais pour trouver la forme la plus simple, nous voulons savoir si 150 et 75 ont des diviseurs communs. 150 et 75 sont tous deux divisibles par 25. 150 divisé par 25 égale six. Et 75 divisé par 25 égale trois.

Notre première ligne disait que le nombre de coureurs aux joueurs de basket était de 150 à 75. Une autre façon de dire cela est que pour 150 coureurs, il y a 75 joueurs de basket-ball. Mais une façon plus simple de dire cela serait que pour six coureurs, il y a trois joueurs de basket. Cependant, il faut noter que trois et six ont un diviseur commun de trois. Six divisé par trois, c’est deux, et trois divisé par trois, c’est un. Le rapport entre les coureurs et les joueurs de basket est de deux à un.

On pourrait voir cela d’une autre manière. N’oubliez pas que nous pouvons écrire les rapports sous forme de fractions, avec la première valeur comme numérateur et la deuxième comme dénominateur. Et lorsque nous travaillons avec des rapports, comme lorsque nous travaillons avec des fractions, si nous divisons une des valeurs par un nombre, alors nous devons diviser l’autre valeur par ce même nombre.

Donc 150 sur 75 simplifie à six sur trois, qui peut être simplifié une fois de plus à deux sur un. Nous aurions pu reconnaître que 75 est un diviseur de 150. Et cela signifie que nous aurions pu initialement diviser les deux côtés par 75, ce qui nous aurait également donné deux à un. Avant de voir quelques exemples, il y a encore une chose que nous devons noter à propos des rapports. Il s’agit des rapports équivalents.

Les rapports équivalents expriment la même relation entre les valeurs. Ce que nous avons montré ici — 150 à 75, six à trois et deux à un — sont des rapports équivalents. Ils montrent tous la relation entre les coureurs et les joueurs de basket dans les clubs scolaires. Nous pouvons trouver des rapports équivalents comme nous l’avons fait ici en divisant les deux côtés du rapport par la même valeur. Vous pouvez également trouver un rapport équivalent en multipliant les deux côtés de votre rapport par la même valeur. Ce rapport de 20 à 10 est encore un rapport équivalent de deux à un. 20 à 10 est un multiple de deux à un.

Avec ces informations, nous sommes prêts à voir notre premier exemple.

Pour chaque trois poissons mâles dans un bocal à poissons, il y a sept femelles. Quel est le rapport de poissons mâles aux poissons femelles dans le bol ?

Nous savons qu’un rapport est une comparaison de deux valeurs différentes. Dans ce cas, il s’agira du nombre de poissons mâle par rapport au nombre de poissons femelles. Il est important de maintenir l’ordre ici. Le rapport entre les mâles et les femelles signifie que la valeur qui vient en premier sera le nombre de poissons mâles. Il y a trois poissons mâles pour chaque sept poissons femelles. Et cela signifie que nous avons un rapport de trois à sept. Nous pouvons l’écrire avec deux points au milieu, 3 : 7, ou sous la forme d’une fraction, trois sur sept. Ces deux valeurs indiquent correctement le rapport.

Mais avant de poursuivre, il faut noter que cela ne signifie pas qu’il n’y a que trois poissons mâles et sept poissons femelles dans le bocal. Cela nous indique seulement le rapport entre les mâles et les femelles. Par exemple, dans ce bocal de poissons, il y a six mâles et 14 femelles. Si nous regroupons trois mâles et sept femelles, nous pouvons le faire deux fois. Dans ce cas, nous avons six mâles et 14 femelles, ce qui simplifie en le rapport de trois à sept. Et donc, bien que nous puissions dire avec certitude que le rapport est de trois à sept, nous ne pouvons pas dire avec certitude combien de poissons il y a exactement dans le bocal.

Dans l’exemple suivant, on nous demande de trouver un rapport dans sa forme la plus simple.

Trouvez le rapport du nombre de carrés au nombre de triangles sous sa forme la plus simple.

Lorsque nous travaillons avec des rapports, nous savons que l’ordre est très important. Dans ce cas, nous cherchons le rapport entre le nombre de carrés et le nombre de triangles. Cependant, nous remarquons que nous voulons trouver ce rapport sous sa forme la plus simple. La première chose que nous devons faire est de trouver combien de carrés et combien de triangles se trouvent dans notre image. Au total, nous avons 14 carrés et 8 triangles. Comme c’est le rapport de carrés aux triangles, le nombre de carrés vient en premier et celui de triangles en second. Et cela signifie que nous avons un rapport de 14 à 8. Et lorsqu’il est écrit sous forme de fraction, 14 est le numérateur et huit le dénominateur.

Pour trouver cette valeur sous sa forme la plus simple, nous devons déterminer si 8 et 14 ont des diviseurs communs. 14 et 8 sont tous deux des nombres pairs et donc divisibles par deux. 14 divisé par deux est sept. Huit divisé par deux est quatre. Nous avons donc un rapport équivalent de sept à quatre. Nous savons que sept est un nombre premier, ce qui signifie que sept et quatre n’ont pas d’autres diviseurs communs à part un. Et cela signifie que sept à quatre est la forme la plus simple du rapport des carrés aux triangles ici.

Si nous voulons visualiser cela, nous pourrions dire que pour sept carrés, il y a quatre triangles. Nous prenons un deuxième groupe de sept carrés avec un deuxième groupe de quatre triangles, ce qui confirme un rapport carrés-triangles de sept à quatre.

Dans notre exemple suivant, on nous donne un rapport, et nous devons interpréter ce que ce rapport signifie.

Complétez ce qui suit : chez un marchand de glace, le rapport entre les petits cornets de glace vendus et les grands cornets de glace vendus est de cinq à neuf. Pour chaque — blanc — grands cornets de glace vendus, il y a — blanc — petits cornets de glace vendus.

Réfléchissons d’abord à ce que nous savons. Nous avons ce rapport de cinq à neuf. Pour que nous puissions comprendre ce rapport de cinq à neuf, nous devons savoir quelle relation il représente. C’est le rapport entre les petits cornets de glace vendus et les grands cornets de glace vendus. Et cela signifie que notre première valeur de cinq représente le nombre de petits cornets, tandis que neuf représente le nombre de grands cornets dans ce rapport. Cinq à neuf représente donc le rapport entre les petits cornets aux grands cornets.

Si nous lisons attentivement la phrase que nous devons résoudre, nous verrons que nous voulons savoir, pour chaque — blanc — grands cornets vendus, il y a — blanc — petits cornets vendus. Et cela signifie pour nous que la valeur de neuf doit aller avec les grands, et la valeur de cinq doit aller avec les petits. Pour neuf grands cornets vendus, il y a eu cinq petits cornets vendus, parce que le rapport entre les petits et les grands était de cinq à neuf. Le premier espace doit être neuf et le second doit être cinq.

Considérons un autre rapport pour lequel nous devrons trouver une forme plus simple.

Sachant qu’il y a 50 garçons et 20 filles dans une classe, calculez le rapport du nombre de filles au nombre de garçons sous sa forme la plus simple.

Nous cherchons un rapport. C’est une comparaison de deux valeurs différentes. Notre comparaison va porter sur le nombre de filles par rapport aux garçons dans une classe. Lorsque nous travaillons avec des rapports, l’ordre est extrêmement important. Ce rapport devrait être le nombre de filles par rapport au nombre de garçons. Mais quand nous lisons notre problème, nous remarquons qu’ils ont donné les informations dans l’ordre inverse. Ils ont donné 50 garçons et 20 filles. Aucun problème. Il suffit de lire attentivement et de remarquer qu’il y a 20 filles et 50 garçons.

Nous inscrivons la valeur de 20 pour les filles et de 50 pour les garçons, de sorte que nous avons un rapport filles-garçons de 20 à 50. Mais nous n’avons pas terminé ici, car nous cherchons la forme la plus simple. Un rapport est dans sa forme la plus simple lorsque les deux valeurs n’ont aucun diviseur commun, à part un. Actuellement, nous constatons que 20 et 50 sont tous deux divisibles par 10. Pour que ce rapport reste équivalent, nous divisons les deux côtés par 10. 20 divisé par 10 égale deux. 50 divisé par 10 égale cinq. Et nous avons un rapport simplifié équivalent de deux à cinq. Deux et cinq sont tous deux des nombres premiers, ce qui signifie qu’ils n’ont plus de diviseurs communs et sont donc sous leur forme la plus simple. Le rapport du nombre de filles et à celui de garçons dans cette classe sous la forme la plus simple serait de deux à cinq.

La clé pour résoudre ce problème était de savoir dans quel ordre on cherchait. Si vous aviez écrit cinq à deux comme rapport, ce serait le rapport de garçons aux filles, et ce n’est pas ce que nous recherchions ; ce serait donc incorrect. Pour résoudre ces problèmes, il faut lire attentivement.

Pour notre exemple suivant, nous devrons faire une étape de plus avant de trouver un rapport.

Pour chaque sept sacs, Isabella a cinq paires de chaussures. Quel est le rapport entre le nombre de sacs et le nombre total de sacs et de chaussures ?

Ici, nous cherchons un rapport et nous savons qu’un rapport est une comparaison de deux quantités différentes. Lorsque nous résolvons des problèmes de rapport, nous devons toujours identifier avec soin les quantités que nous comparons. Notre rapport sera celui des sacs par rapport au nombre total de sacs et de chaussures. Notre première valeur est le nombre de sacs, mais notre deuxième valeur sera le nombre de sacs et de chaussures ensemble. Nous savons que pour chaque sept sacs, Isabella a cinq paires de chaussures. Nous pouvons écrire sept à la place du nombre de sacs. Mais pour le total, nous aurons besoin de sept puis de cinq. Sept plus cinq, ça fait 12. Ce rapport est alors de sept à 12.

Encore une fois, la clé pour résoudre ce problème est d’identifier correctement chaque élément du rapport. Nous savions que la première partie représentait le nombre de sacs qu’Isabella avait. Mais nous devions savoir que la deuxième partie, la deuxième quantité que nous comparions, était le nombre de sacs et de chaussures, une valeur totale, qui nécessitait une étape supplémentaire consistant à additionner les chaussures et les sacs. Lorsque nous regardons sept et douze, ils n’ont aucun diviseur commun, à part un. Et donc, sept à douze est dans sa forme la plus simple.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir le rapport entre les longueurs de deux segments de ligne.

Quel est le rapport entre les longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐴𝐸 dans sa forme la plus simple ?

Notre rapport ici sera une comparaison des longueurs. Le premier segment qui nous intéresse est 𝐴𝐶, qui correspond à cette distance. Et la deuxième distance qui nous intéresse est 𝐴𝐸, qui est cette distance. Tout d’abord, il faut noter que notre rapport sera 𝐴𝐶 à 𝐴𝐸. C’est parce que dans le rapport, 𝐴𝐶 est en premier et 𝐴𝐸 en deuxième. Et c’est ce qui détermine l’ordre de notre rapport. Mais quand on regarde de plus près le segment, on se rend compte qu’on ne nous donne pas de distance exacte.

Mais on nous dit que chacun de ces segments est de longueur égale. Et 𝐴𝐶 contient deux de ces segments égaux, alors que 𝐴𝐸 en contient quatre. Et cela signifie que nous pourrions définir un rapport de deux à quatre. Si vous n’êtes toujours pas sûr que cela soit vrai parce que nous n’avons pas de mesure, imaginez que la longueur du segment 𝐴𝐵 était de cinq pouces. Cela voudrait dire que chacun de ces segments mesure cinq pouces. Cela ferait de 𝐴𝐶 10 pouces et de 𝐴𝐸 20 pouces. Ce serait un rapport équivalent. Le rapport des longueurs des côtés sera de deux à quatre, quelle que soit la façon dont nous mesurons la distance.

Cependant, on nous a dit que nous voulons la forme la plus simple. Et cela signifie que nous devons voir si deux et quatre ont des diviseurs communs. Ces deux valeurs sont divisibles par deux. Deux divisé par deux est un. Quatre divisé par deux est deux. Et cela signifie que, dans la forme la plus simple, le rapport des longueurs de ces côté serait de un à deux. Le rapport de 𝐴𝐶 à 𝐴𝐸 est de un à deux. Si vous voulez une autre façon de visualiser cela, pour chaque segment sur 𝐴𝐶, il y a deux segments sur 𝐴𝐸. Là encore, on trouve un segment sur 𝐴𝐶 et deux segments sur 𝐴𝐸, soit un rapport de un à deux.

Nous sommes maintenant prêts à résumer brièvement ce que nous avons appris. Un rapport est une comparaison d’une quantité à une autre. Voici les trois notations que nous utilisons lorsque nous écrivons des rapports — des pommes à des bananes, des pommes, deux points, bananes, que nous lisons comme des pommes à des bananes, ou pommes sur bananes. Et lorsqu’il s’agit de rapports, nous lisons toujours pommes sur bananes comme des pommes à des bananes. Et enfin, un rapport est dans sa forme la plus simple lorsque les deux quantités n’ont pas de diviseurs communs.

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