Vidéo : Quel est le lien entre l’aire et la pente ?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Quel est le lien entre l’aire et la pente ?

12:08

Transcription de vidéo

Ici, je veux aborder un type de problème commun où l’intégration se pose : trouver la moyenne d’une variable continue. C’est une chose parfaitement utile à connaître en soi, non ? Mais ce qui est vraiment bien, c’est que cela peut nous donner une perspective complètement différente sur la raison pour laquelle les intégrales et les dérivées sont inverses l’un de l’autre.

Pour commencer, jetez un œil au graphique du sinus de 𝑥 entre zéro et 𝜋, qui est la moitié de la période. Quelle est la hauteur moyenne de cette courbe sur cet intervalle ? Ce n’est pas une question inutile. Toutes sortes de phénomènes cycliques dans le monde sont modélisés en utilisant des ondes sinusoïdales. Par exemple, le nombre d’heures de lever du soleil par jour en fonction du jour de l’année correspond à un modèle sinusoïdal. Donc, si vous voulez prédire, par exemple, l’efficacité moyenne des panneaux solaires en été par rapport à l’hiver, vous voudrez pouvoir répondre à une question comme celle-ci. Quelle est la valeur moyenne de cette fonction sinusoïdale sur la moitié de sa période ? Alors qu’un cas comme ça va avoir toutes sortes de constantes déblayage la fonction, vous et moi juste me concentrer sur une pure fonction sinus de 𝑥. Mais le fond de la démarche serait totalement identique dans toute autre application.

C’est un peu une question étrange à laquelle réfléchir cependant, n’est-ce pas ? La moyenne d’une variable continue. Habituellement, avec les moyennes, nous pensons à un nombre fini de variables, dans lesquelles vous pouvez toutes les additionner et diviser cette somme par leur nombre. Mais il y a une infinité de valeurs du sinus de 𝑥 entre zéro et 𝜋. Et ce n’est pas comme si nous pouvions simplement additionner tous ces nombres et diviser par infini. En fait, cette sensation est très fréquente en maths, et il est bon de le rappeler : vous avez cette vague impression que vous voulez faire, c’est additionner une infinité de valeurs associées à un continuum, même si cela n’a pas vraiment de sens.

Et presque toujours, quand vous aurez ce sentiment, la clé sera d’utiliser une intégrale d’une manière ou d’une autre. Et pour bien comprendre comment faire, une bonne première étape consiste généralement à approximer votre situation avec une sorte de somme finie. Dans ce cas, imaginez que vous échantillonniez un nombre fini de points, régulièrement espacés le long de cet intervalle. Comme il est un échantillon fini, vous pouvez trouver la moyenne par simple addition toutes les hauteurs, le sinus de 𝑥 à chacun de ceux-ci, puis en divisant cette somme par le nombre de points que vous retenues dans l’échantillon, non ! Et vraisemblablement, si l’idée d’une hauteur moyenne parmi un nombre infini de points a un sens, plus nous échantillonnons de points, ce qui impliquerait d’ajouter de plus en plus de hauteurs, plus la moyenne de cet échantillon devrait être proche de la moyenne réelle de la variable continue.

Et cela devrait se sentir au moins un peu lié à la prise d’une intégrale du sinus de 𝑥 entre zéro et 𝜋, même si elle pourrait ne pas être tout à fait clair comment les deux idées correspondent. Pour cette intégrale, rappelez-vous, vous pensez également à un échantillon d’entrées de ce continuum. Mais au lieu d’ajouter la hauteur, le sinus de 𝑥 à chacun, et en divisant par combien il y a, vous ajoutez le sinus de 𝑥 fois d𝑥, où d𝑥 est l’espacement entre les échantillons. C’est-à-dire que vous additionnez de petits domaines, pas des hauteurs. Et techniquement, l’intégrale n’est pas tout à fait cette somme. Quelle que soit la somme approchée, d𝑥 proche de zéro. Mais il est en fait très utile de raisonner par rapport à l’une de ces itérations finies, où nous examinons une taille concrète pour d𝑥 et un nombre spécifique de rectangles.

Donc, ce que vous voulez faire ici, c’est recadrer cette expression pour la moyenne, cette somme des hauteurs divisée par le nombre de points échantillonnés, en fonction de d𝑥, l’espacement entre les échantillons. Et maintenant, si je vous dis que l’espacement entre ces points est, disons, 0.1 et vous savez qu’ils vont de zéro à 𝜋, pouvez-vous me dire combien il y a ? Eh bien, vous pouvez prendre la longueur de cet intervalle, 𝜋, et le diviser par la longueur de l’espace entre chaque échantillon. S’il ne va pas de manière parfaitement uniforme, vous devrez arrondir au nombre entier le plus proche. Mais à titre approximatif, c’est tout à fait bien. Donc, si nous écrivons que l’espacement entre les échantillons d𝑥, le nombre d’échantillons est 𝜋 divisé par d𝑥. Et quand nous substituons cela dans notre expression ici, vous pouvez le réorganiser, en plaçant ce d𝑥 en haut et en le distribuant dans la somme.

Mais pensez à ce que cela signifie pour distribuer d𝑥 en haut. Cela signifie que les termes que vous ajoutez ressembleront à sinus 𝑥 fois d𝑥 pour les différentes entrées 𝑥 que vous échantillonner. Donc, ce numérateur ressemble exactement à une expression intégrale. Et ainsi pour les grands et plus gros échantillons de points, cette moyenne approchera l’intégrale réelle du sinus de 𝑥 entre zéro et 𝜋, le tout divisé par la longueur de cet intervalle, 𝜋. En d’autres termes, la hauteur moyenne de cette courbe est cette aire divisée par sa largeur. Au niveau intuitif, et en pensant simplement en termes d’unités, cela semble assez raisonnable, n’est-ce pas ? L’aire divisée par la largeur vous donne une hauteur moyenne.

Donc, avec cette expression en main, résolvons-la. Comme nous l’avons vu la vidéo dernière, pour calculer une intégrale, vous devez trouver une primitive de la fonction dans l’intégrale, une autre fonction dont la dérivée est le sinus de 𝑥. Et si vous êtes à l’aise avec les dérivées des fonctions trigonométriques, vous savez que la dérivée du cosinus est moins sinus. Donc, si vous opposez simplement cela, le moins cosinus est la fonction que nous voulons, la primitive du sinus. Et pour aller vérifier par vous-même, regardez cette courbe de moins cosinus. A zéro, la pente est nulle. Et puis il augmente jusqu’à une pente maximale à 𝜋 divisé par deux, puis redescend à zéro à 𝜋. Et en général, sa pente semble en effet correspondre à la hauteur du graphe sinusoïdal en tout point.

Alors, que devons-nous faire pour évaluer l’intégrale du sinus entre zéro et 𝜋 ? Eh bien, nous évaluons cette primitive à la borne supérieure et soustrayons sa valeur à la borne inférieure. Plus visuellement, qui est la différence de la hauteur de cette courbe moins cosinus au-dessus de 𝜋 et sa hauteur à zéro. Et comme vous pouvez le constater, ce changement de hauteur est exactement deux. C’est plutôt intéressant, n’est-ce pas ? Il s’avère que l’aire sous ce graphe sinusoïdal est exactement deux. Donc, la réponse à notre problème de taille moyenne, cette intégrale divisée par la largeur de la région, se révèle être évidemment deux divisé par 𝜋, qui est d’environ 0.64.

J’ai promis au début que cette question de la moyenne d’une fonction offre une perspective alternative sur la raison pour laquelle les intégrales et les dérivées sont inverses, pourquoi l’aire située sous une courbe n’a rien à voir avec la pente d’une autre courbe. Remarquez comment trouver cette valeur moyenne, deux divisé par 𝜋, est descendu à regarder le changement de la primitive de moins cos 𝑥 sur l’intervalle d’entrée divisée par la longueur de cet intervalle. Et une autre façon de penser à cette fraction est que la pente de fonctionner élévation par rapport au entre le point de la courbe primitive en dessous de zéro et le point de la courbe au-dessus de 𝜋. Et maintenant penser pourquoi il serait logique que cette pente représenterait une valeur moyenne du sinus de 𝑥 sur cette région.

Eh bien, par définition, le sinus de 𝑥 est la dérivée de cette fonction primitive. Cela nous donne la pente du moins cosinus en chaque point. Donc, une autre façon de penser à la valeur moyenne du sinus de 𝑥 est que la pente moyenne sur toutes les droites tangentes ici entre zéro et 𝜋. Et lorsque vous visualisez des choses de ce genre, n’est-il pas vraiment logique de penser que la pente moyenne d’une courbe sur tous ses points d’un certain intervalle doit être égale à la pente totale entre les points de départ et de fin ?

Pour digérer cette idée, il est utile de réfléchir à ce à quoi cela ressemble pour une fonction générale. Pour toute fonction 𝑓 de 𝑥, si vous voulez trouver sa valeur moyenne sur un intervalle, disons entre 𝑎 et 𝑏, ce que vous faites est de prendre l’intégrale de 𝑓 sur cet intervalle, le diviser par la largeur de cet intervalle, 𝑏 moins 𝑎. Vous pouvez imaginer que l’aire sous la courbe est divisée par sa largeur. Ou plus précisément, il s’agit de la aire signée de cette courbe, car toute aire située au-dessous de l’axe 𝑥 est considérée comme négative. Et cela vaut la peine de prendre un moment pour rappeler ce que cette aire a à voir avec la notion habituelle de moyenne finie, où vous additionnez plusieurs nombres et divisez par le nombre.

Quand on prend un certain échantillon de points espacés par d𝑥, le nombre d’échantillons est approximativement égale à la longueur de l’intervalle divisé par d𝑥. Donc, si vous ajoutez les valeurs de 𝑓 de 𝑥 à chaque échantillon et diviser par le nombre total d’échantillons, il est le même que l’addition du produit, 𝑓 de 𝑥 fois d𝑥, et en divisant par la largeur de l’intervalle entier. La seule différence entre cela et l’intégrale est que l’intégrale demande ce qui se passe lorsque d𝑥 approche de zéro. Mais cela correspond simplement à des échantillons de plus en plus de points qui se rapprochent de plus en plus de la moyenne réelle.

Maintenant, pour tout intégrale, l’évaluation, il se résume à la recherche d’une primitive de 𝑓 de 𝑥, communément désignée grande 𝐹 de 𝑥. Ce que nous voulons est le changement à cette primitive entre 𝑎 et 𝑏, le grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎, que vous pouvez penser que le changement de hauteur de cette nouvelle courbe entre les deux bornes. J’ai commodément choisi une primitive qui passe par zéro à la limite inférieure ici. Mais gardez à l’esprit, vous pouvez librement changer cela, en ajoutant la constante que vous voulez. Et ce serait toujours une primitive valide. Donc, la solution au problème moyen est la variation de la hauteur de cette nouvelle courbe divisé par la variation de la valeur de 𝑥 entre 𝑎 et 𝑏. En d’autres termes, il s’agit de la pente de la courbe de la primitive entre les deux extrémités.

Et encore, quand vous arrêtez d’y penser, cela devrait faire beaucoup de sens parce que peu 𝑓 de 𝑥 nous donne la pente de la droite tangente à cette courbe à chaque point. Après tout, il est par définition la dérivée de grand 𝐹. Alors, pourquoi les primitives sont-elles la clé de la résolution des intégrales ? Eh bien, mon intuition préférée reste celle que j’ai montrée dans la dernière vidéo. Mais une deuxième perspective est que, lorsque vous reformulez la question de la moyenne d’une valeur continue au lieu de rechercher la pente moyenne d’un ensemble de droites tangentes, cela vous permet de voir la réponse simplement en comparant les points finaux, plutôt que de devoir compter tous les points entre les deux.

Dans la dernière vidéo, j’ai décrit la sensation que les intégrales devraient apporter à votre esprit. À savoir, si vous sentez que le problème que vous résolvez peut être approché en le décomposant de manière ou d’autre en ajoutant un grand nombre de petites choses. Et ici, je veux que vous veniez en reconnaissant une deuxième sensation qui devrait également apporter des intégrales à votre esprit. Si vous avez une idée que vous comprenez dans un contexte fini et qui implique l’addition de plusieurs valeurs, comme la moyenne d’un groupe de nombres, et si vous souhaitez généraliser cette idée pour l’appliquer à une gamme infinie de valeurs, essayez de voir si vous pouvez mettre les choses en phase en termes d’intégrale. C’est un sentiment qui revient tout le temps, surtout en probabilité. Et ça vaut vraiment la peine de s’en souvenir.

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