Vidéo pop :: Dérivation implicite, que se passe-t-il ici ?

Transcription de la vidéo

Permettez-moi de partager avec vous quelque chose que j’ai trouvé particulièrement étrange lorsque j’étais étudiant pour la première fois en analyse. Disons que vous avez un cercle avec un rayon de cinq centré à l’origine du plan 𝑥𝑦. C’est quelque chose défini avec l’équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré égal à cinq carré. Autrement dit, tous les points de ce cercle se trouvent à une distance de cinq de l’origine, telle qu’elle est encapsulée dans le théorème de Pythagore. Où la somme des carrés des deux pieds de ce triangle est égale au carré de l’hypoténuse, cinq carré. Et supposons que vous voulez trouver la pente d’une droite tangente à ce cercle, peut-être au point 𝑥, 𝑦 est égal à trois, quatre.

Maintenant, si vous êtes habitué à la géométrie, vous savez peut-être déjà que cette droite tangente est perpendiculaire au rayon qui la touche à cet endroit. Mais supposons que vous ne le sachiez pas déjà ou que vous souhaitiez peut-être une technique qui généralise les courbes autres que les cercles. Comme pour d’autres problèmes concernant les pentes des droites tangentes aux courbes, l’idée principale ici est d’agrandir suffisamment près pour que la courbe ressemble en gros à sa propre droite tangente. Et posez ensuite des questions sur un petit pas sur cette courbe. La coordonnée 𝑦 de ce petit pas est ce qu’on pourrait appeler d𝑦. Et la coordonnée 𝑥 est un peu plus d𝑥. Donc, la pente que nous voulons est la montée progressive, d𝑦 divisé par d𝑥.

Mais contrairement aux autres problèmes de pente tangente dans le calcul, cette courbe n’est pas la courbe d’une fonction. Nous ne pouvons donc pas simplement prendre une simple dérivée, posant des questions sur la taille d’un petit coup de pouce vers la sortie d’une fonction causée par un petit coup de pouce vers l’entrée. 𝑥 n’est pas une entrée et 𝑦 n’est pas une sortie. Ce ne sont que des valeurs interdépendantes liées par une équation.

C’est ce qu’on appelle une courbe implicite. C’est juste l’ensemble de tous les points 𝑥, 𝑦 qui satisfont une propriété écrite en fonction des deux variables 𝑥 et 𝑦. La procédure de la façon dont vous trouverez en fait d𝑦 d𝑥 pour les courbes comme celle-ci est la chose que je trouve très bizarre en tant qu’étudiant en analyse. Vous prenez la dérivée des deux côtés, comme ça. Pour 𝑥 au carré, vous écrivez deux 𝑥 fois d𝑥. Et de même, 𝑦 carré devient deux 𝑦 fois d𝑦. Et puis, la dérivée de cette constante, cinq carré, à droite est juste zéro. Maintenant, vous pouvez voir pourquoi cela semble un peu étrange, non ? Qu’est-ce que cela signifie de prendre la dérivée d’une expression contenant plusieurs variables ? Et pourquoi est-ce que nous prenons sur le petit d𝑦 et le petit d𝑥 de cette façon ?

Mais si vous avancez aveuglément avec ce que vous obtenez, vous pouvez réorganiser cette équation et trouver une expression pour d𝑦 divisée par d𝑥. Ce qui, dans ce cas, ce qui sort 𝑥 divisé par 𝑦. Donc, au point de coordonnées 𝑥, 𝑦 est égal à trois, quatre, la pente serait moins trois divisé par quatre, évidemment. Ce processus étrange s’appelle la dérivation implicite. Et ne vous inquiétez pas, j’ai une explication sur la façon dont vous pouvez interpréter le fait de prendre une dérivée d’une expression avec deux variables comme celle-ci. Mais d’abord, je veux mettre de côté ce problème particulier et montrer comment il est relié à un autre type de problème d’analyse, appelé problème de taux liés.

Imaginez une échelle de cinq mètres de long contre un mur. Le sommet de l’échelle commence à quatre mètres du sol, ce qui, selon le théorème de Pythagore, signifie que le bas se trouve à trois mètres du mur. Et disons que ça glisse de telle sorte que le haut de l’échelle tombe à un rythme d’un mètre par seconde. La question qui se pose est la suivante : quelle est la vitesse à laquelle le bas de l’échelle s’éloigne du mur ? C’est intéressant, non ? La distance entre le bas de l’échelle et le mur est de 100%, déterminée par la distance entre le haut de l’échelle et le sol. Nous devrions donc disposer de suffisamment d’informations pour déterminer comment les taux de variation de chacune de ces valeurs dépendent réellement les uns des autres. Mais vous ne savez peut-être pas exactement comment vous reliez ces deux choses.

Tout d’abord, il est toujours agréable de nommer les quantités qui nous intéressent. Donc, nous allons étiqueter la distance du haut de l’échelle au sol 𝑦 de 𝑡, écrit en fonction du temps parce que c’est en évolution. De même, l’étiquette de la distance entre le bas de l’échelle et le mur 𝑥 de 𝑡. L’équation clé qui concerne ces termes est le théorème de Pythagore, 𝑥 de 𝑡 carré plus 𝑦 de 𝑡 au carré est égal à cinq carré. Ce qui en fait une puissante équation, c’est qu’elle est vraie à tous les instants. Maintenant, une manière pour résoudre ce serait d’isoler 𝑥 de 𝑡. Et vous savez ce que 𝑦 de 𝑡 doit être fondé ce taux de perte d’un mètre par seconde. Et vous pouvez prendre la dérivée de la fonction résultante, d𝑥 d𝑡, le taux auquel 𝑥 évolue en fonction du temps.

Et c’est bon ; cela implique quelques couches d’utilisation de la règle de la chaîne. Et ça va définitivement fonctionner pour vous. Mais je veux montrer de manière différente que vous pouvez penser au même problème. Ce côté gauche de l’équation est fonction du temps, n’est-ce pas ? Il se trouve que la valeur est constante, ce qui signifie que la valeur ne change évidemment pas alors que le temps passe. Mais elle reste écrite comme une expression qui dépend du temps, ce qui signifie que nous pouvons la manipuler comme toute autre fonction ayant 𝑡 en entrée. En particulier, nous pouvons prendre une dérivée de ce côté gauche. Ce qui est une façon de dire : « Si je laisse passer un peu de temps, quelques petits d𝑡, ce qui fait que 𝑦 diminue légèrement et 𝑥 augmente légèrement, dans quelle mesure cette expression varie-t-elle ?»

D’une part, nous savons que cette dérivée doit être égale à zéro, car l’expression est une constante. Et les constantes ne se soucient pas de vos minuscules poussées dans le temps. Ils restent simplement inchangés. Mais d’autre part, qu’est-ce que vous obtenez lorsque vous calculez cette dérivée ? Eh bien, la dérivée de 𝑥 de 𝑡 au carré est deux fois 𝑥 de 𝑡 fois la dérivée de 𝑥. C’est la règle de la chaîne dont j’ai parlé dans la dernière vidéo. Deux 𝑥 d𝑥 représente la taille d’un changement de 𝑥 au carré causé par un changement en 𝑥, puis nous divisons par d𝑡. De même, la vitesse à laquelle 𝑦 de 𝑡 au carré change est deux fois 𝑦 de 𝑡 fois la dérivée de 𝑦.

Maintenant, évidemment, toute cette expression doit être zéro. Et c’est un moyen équivalent de dire que 𝑥 au carré plus 𝑦 carré ne doit pas changer alors que les mouvements de l’échelle. Au début, le temps 𝑡 est égal à zéro, la hauteur, 𝑦 de 𝑡, est de quatre mètres, et cette distance, 𝑥 de 𝑡, est de trois mètres. Et comme le sommet de l’échelle tombe à un taux de un mètre par seconde, cette dérivée, d𝑦 d𝑡, est négatif d’un mètre par seconde. Maintenant, cela nous donne suffisamment d’informations pour isoler la dérivée, d𝑥 d𝑡. Et lorsque vous vous en sortez, la vitesse est de quatre tiers par seconde.

La raison pour laquelle je soulève ce problème d’échelle est que je veux que vous compariez ce problème au problème de trouver la pente d’une droite tangente au cercle. Dans les deux cas, nous avons eu l’équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré est égal à cinq carré. Et dans les deux cas, nous avons fini par prendre la dérivée de chaque côté de cette expression. Mais pour la question de l’échelle, ces expressions étaient des fonctions du temps. Donc, prendre la dérivée a un sens clair. C’est la vitesse à laquelle l’expression change avec le temps. Mais ce qui rend la situation de cercle étrange est que, plutôt que de dire que peu de temps, d𝑡, a passé, ce qui provoque une variation de 𝑥 et 𝑦. La dérivée a juste ces petits coups de coude, d𝑥 et d𝑦, juste un flottement libre, non lié à une autre variable commune, comme le temps. Laissez-moi vous montrer une bonne façon de penser à cela.

Donnons cette expression, 𝑥 carré plus 𝑦 carré, un nom, peut-être 𝑆. 𝑆 est essentiellement fonction de deux variables. Elle prend chaque point 𝑥, 𝑦 du plan et l’associe à un nombre. Le nombre de points sur ce cercle est égal à 25. Si vous vous éloignez du centre du cercle, cette valeur sera plus grande. Pour d’autres points de 𝑥, 𝑦 plus proche de l’origine, cette valeur serait plus petite. Maintenant, ce que cela signifie de prendre une dérivée de cette expression, une dérivée de 𝑆, est d’envisager une petite variation à ces deux variables. Certains petits changements, d𝑥, à 𝑥 et un changement minuscule, d𝑦, à 𝑦. Et pas nécessairement celui qui vous maintient sur le cercle, à propos. Il est juste une petite étape dans toutes les directions du plan 𝑥𝑦. Et à partir de là que vous demandez, de combien la valeur de 𝑆 change ? Et cette différence, la différence de la valeur de 𝑆 avant le coup de coude et après le coup de coude, est ce que je vous écris comme d𝑆.

Par exemple, dans cette figure, nous partons du point où 𝑥 est égal à trois et où 𝑦 est égal à quatre. Et disons simplement que cette étape que j’ai dessiné a d𝑥 en moins 0.02 et d𝑦 en moins 0.01. Ensuite, la diminution de 𝑆, la quantité dont 𝑥 carré plus 𝑦 carré change au cours de cette étape, serait environ deux fois trois fois moins 0.02 plus deux fois quatre fois moins 0.01. C’est ce que cette expression dérivée, deux 𝑥 d𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦, signifie en réalité. Elle est une recette pour vous dire combien la valeur 𝑥 carré plus 𝑦 au carré change tel que déterminé par le point 𝑥, 𝑦 où vous commencez et le petit ajout d𝑥, d𝑦 que vous prenez. Et comme pour tout ce qui est dérivé, ce n’est qu’une approximation. Mais c’est de plus en plus vrai pour des choix de plus en plus petits de d𝑥 et de 𝑦. Le point clé est que lorsque vous vous restreignez aux étapes le long du cercle, vous vous dites essentiellement que vous voulez vous assurer que cette valeur de 𝑆 ne change pas. Il commence à une valeur de 25 et vous voulez le garder à une valeur de 25. Autrement dit, d𝑆 devrait être égal à zéro.

Donc, configurer cette expression deux 𝑥 d𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦 égal à zéro est la condition dans laquelle l’un de ces petits pas reste en fait sur le cercle. Encore une fois, ce n’est qu’une approximation. Plus précisément, cette condition est ce qui vous maintient sur la droite tangente du cercle, pas le cercle lui-même. Mais pour des pas assez petits, ce sont essentiellement la même chose. Bien sûr, à propos de l’expression il n’y a rien de spécial 𝑥 au carré plus 𝑦 carré est égal à cinq carré. C’est toujours agréable de penser à plus d’exemples. Alors considérons ce sinus d’expression 𝑥 fois 𝑦 au carré est égal à 𝑥. Cela correspond à tout un tas de courbes en forme de U sur le plan. Et ces courbes, rappelez-vous, représentent tous les points 𝑥, 𝑦 où la valeur du sinus de 𝑥 fois 𝑦 carré arrive à égaler la valeur de 𝑥.

Maintenant, imaginez que vous fassiez un petit pas avec les composants d𝑥, d𝑦 et pas nécessairement ceux qui vous tiennent sur la courbe. Prendre la dérivée de chaque côté de cette équation va nous dire à quel point la valeur de ce côté change au cours de l’étape. Sur le côté gauche, la règle de produit dont nous avons parlé à travers la dernière vidéo nous indique que cela devrait être gauche d droite, plus droite d gauche. Autrement dit, le sinus de 𝑥 fois le changement 𝑦 au carré, ce qui est deux 𝑦 fois d𝑦, plus 𝑦 fois au carré le changement au sinus de 𝑥, qui est cos de 𝑥 fois d𝑥. Le côté droit est tout simplement 𝑥, de sorte que la taille d’un changement à cette valeur est exactement d𝑥, non ? Maintenant, mettre ces deux côtés sur un pied d’égalité est une façon de dire : « Quel que soit votre petit pas avec les coordonnées d𝑥 et d𝑦, si cela nous maintient sur la courbe, les valeurs des côtés gauche et droit Le côté gauche doit changer du même montant ». C’est la seule façon pour cette équation supérieure de rester vraie.

À partir de là, selon le problème que vous essayez de résoudre, vous avez quelque chose avec lequel travailler de façon algébrique. Et peut-être que l’objectif le plus courant est d’essayer de comprendre ce que d𝑦 divisé par d𝑥 signifie. Comme dernier exemple, je voudrais montrer comment vous pouvez réellement utiliser cette technique de dérivation implicite pour trouver de nouvelles formules dérivées. J’ai déjà mentionné que la dérivée de 𝑒 de 𝑥 est lui-même. Mais qu’en est-il de la dérivée de sa fonction inverse, le logarithme naturel de 𝑥 ? Eh bien, la courbe du logarithme naturel de 𝑥 peut être considérée comme une courbe implicite. Ce sont tous les points 𝑥, 𝑦 sur le plan où 𝑦 arrive à l’égalité ln de 𝑥. Il se trouve être le cas que les 𝑥 et 𝑦 de cette équation ne sont pas aussi entremêlés comme ils l’étaient dans nos autres exemples. La pente de cette courbe, d𝑦 divisé par d𝑥, soit la dérivée de ln de 𝑥, non ? Eh bien, pour trouver que, réorganisons d’abord cette équation, 𝑦 est égal à ln de 𝑥, pour être 𝑒 de 𝑦 est égal à 𝑥. Ceci est exactement ce que le logarithme naturel de 𝑥 signifie. Cela dit 𝑒 de quoi égale 𝑥.

Puisque nous connaissons la dérivée de 𝑒 de 𝑦, nous pouvons prendre ici la dérivée des deux côtés. En effet demander comment un petit pas avec les composants d𝑥, d𝑦 modifie la valeur de chacun de ces côtés. Pour vous assurer qu’une étape reste sur la courbe, le changement de ce côté gauche de l’équation, qui est 𝑒 à la 𝑦 fois 𝑑𝑦, doit être égal au changement du côté droit, qui dans ce cas est juste d𝑥. Réarrangeant, cela signifie que d𝑦 divisé par d𝑥, la pente de notre graphe, est égale à un divisé par 𝑒 de 𝑦. Et quand nous sommes sur la courbe, 𝑒 de 𝑦 est par définition la même chose que 𝑥. Donc, évidemment, la pente est un divisé par 𝑥. Et bien sûr, une expression de la pente d’une courbe d’une fonction écrite en fonction de 𝑥 comme ceci est la dérivée de cette fonction. Donc, évidemment, la dérivée de ln de 𝑥 est un divisé par 𝑥.

À propos, tout ceci est un petit aperçu de l’analyse à plusieurs variables. Où vous considérez les fonctions qui ont plusieurs entrées et comment elles changent lorsque vous peaufinez ces entrées. Comme toujours, l’essentiel est d’avoir une image claire de ce que de minuscules coups de pouce jouent et de la manière dont ils dépendent les uns des autres.