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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions de valeur absolue Mathématiques

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction donnée par 𝑓(𝑥) = −4 |𝑥 - 5| - 1.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq moins un.

Nous allons commencer par rappeler ce que nous entendons par ensemble de définition et ensemble image d’une fonction. Nous disons que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble complet des valeurs possibles de notre variable indépendante. En d’autres termes, l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour 𝑥 qui font fonctionner la fonction et assureront qu’elle génère de réelles valeurs de sortie 𝑦.

Formellement, nous disons également que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble complet des valeurs résultantes possibles pour la variable indépendante après avoir remplacé l’ensemble de définition. Autrement dit, nous obtenons les valeurs résultantes 𝑦 après avoir remplacé les valeurs de 𝑥 possibles.

Alors réfléchissons à ce que notre fonction nous dit. Nous prenons une valeur pour 𝑥, et nous la remplaçons dans l’expression 𝑥 moins cinq. Peu importe notre résultat, nous trouvons la valeur absolue de cela. En d’autres termes, nous en faisons un nombre positif. Nous multiplions ensuite cela par moins quatre et soustrayons un. Alors y a-t-il n’importe quelles valeurs de 𝑥 qui empêcheraient la fonction de fonctionner ?

Eh bien, non, toutes les valeurs réelles de 𝑥 nous donneront une valeur réelle pour notre fonction. Et nous pouvons donc dire que l’ensemble de définition de notre fonction est l’ensemble des nombres réels. Et en fait, l’ensemble de définition d’une fonction qui est de la forme la valeur absolue d’un polynôme plus ou moins ou multiplié par des constantes sera toujours l’ensemble de tous les nombres réels. Mais qu’en est-il de l’ensemble image de ceci ?

Eh bien, nous avons deux façons de vérifier ceci. Une façon consiste à le considérer algébriquement. Eh bien, tout d’abord, nous savons que si 𝑥 est égal à cinq, la valeur absolue de 𝑥 moins cinq est la valeur absolue de zéro, qui est juste zéro. Mais si 𝑥 n’est pas égal à cinq, nous le remplaçons. Nous obtenons 𝑥 moins cinq, et nous le rendons positif. Ainsi la valeur absolue de 𝑥 moins cinq sera toujours supérieure à zéro tant que 𝑥 n’égale pas cinq. Et par conséquent, nous pouvons dire que la valeur absolue de 𝑥 moins cinq sera toujours supérieure ou égale à zéro.

Rappelez-vous que, notre fonction est moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq moins un. Multiplions donc les deux membres de notre inéquation par moins quatre. Lorsque nous le faisons, le membre de gauche de notre inéquation devient moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq. Et le membre de droite est toujours égal à zéro.

Mais rappelez-vous, lors de la multiplication d’une inéquation par un nombre négatif, nous devons inverser le symbole de l’inéquation. Nous obtenons donc moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq est inférieure ou égale à zéro.

Ensuite, nous allons soustraire un des deux membres. Et nous obtenons moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq moins un est inférieur ou égal à moins un. Nous pouvons donc voir que la valeur de sortie de cette fonction sera toujours inférieure ou égale à moins un. Et en utilisant la notation d’ensemble, l’ensemble image est comme indiqué. Notre valeur de sortie sera strictement supérieure à moins l’infini mais inférieure ou égale à moins un.

Mais il y avait une autre façon de trouver l’ensemble image. Et c’est par considérer la courbe représentative de notre fonction. Commençons par considérer la courbe de 𝑦 égal à 𝑥 moins cinq. C’est une seule droite qui passe par l’axe des 𝑦 en moins cinq et l’axe des 𝑥 en cinq. 𝑦 est égale à la valeur absolue de 𝑥 moins cinq est comme indiqué.

Essentiellement, nous rendons toutes les valeurs 𝑦 positives. Et à quoi cela finit par ressembler est un reflet de la partie de la courbe qui se trouve en dessous de l’axe des 𝑥 dans l’axe des 𝑥. Notez que ceci inclut le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥.

La multiplication de notre fonction par moins quatre se reflète dans l’axe des 𝑥 et la rend quatre fois plus raide. Ensuite nous en soustrayons un, ce qui donne une translation verticale d’une unité. L’ensemble image représente les valeurs possibles 𝑦 de cette courbe. Nous pouvons voir que le point le plus élevé de la courbe est à cinq, moins un. Ainsi, nos valeurs 𝑦 seront toujours inférieures ou égale à moins un. Et l’ensemble image est la même que précédemment.

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