Vidéo de la leçon: Comparaison de rapports Mathematics

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir la comparaison de rapports en utilisant des taux unitaires dans des problèmes de la vie courante. Nous commencerons par récapituler la manière dont nous pouvons simplifier les rapports. Si nous considérons les rapports 4 à 10 et 6 à 18, nous pouvons les simplifier en recherchant des diviseurs communs. Quatre et 10 ont comme plus grand diviseur commun deux, de sorte que nous pouvons diviser les deux côtés du rapport par deux. Cela nous indique que le rapport quatre à 10 dans sa forme la plus simple est de deux à cinq.

Nous pouvons répéter ce processus pour le rapport six à 18. Cette fois, le plus grand commun diviseur est six. Comme six divisé par six égale un et 18 divisé par six est trois, alors le rapport dans sa forme la plus simple est de un à trois. C’est très bien si nous voulons un rapport dans sa forme la plus simple. Mais que faire si nous voulons comparer les deux rapports ? Comment pouvons-nous comparer deux à cinq et un à trois ? Pour comparer deux ou plusieurs rapports, nous devons les écrire sous la forme un à 𝑛. C’est ce qu’on appelle le rapport ou le taux unitaire.

Dans notre exemple, le deuxième rapport, un à trois, est déjà écrit sous cette forme. Cela signifie que, pour chaque unité de la première partie, nous obtenons trois unités de la deuxième partie. Pour écrire le rapport deux à cinq sous la forme d’un rapport unitaire, nous devons diviser les deux côtés par deux. Deux divisé par deux égale un. Cinq divisé par deux peut s’écrire comme la fraction cinq demis ou cinq sur deux. Lorsque l’on compare des rapports, il est utile de transformer cette fraction en une décimale. Le rapport quatre à dix ou deux à cinq écrit comme un rapport unitaire est un à 2.5. Pour chaque unité de la première partie, on obtient deux unités et demi ou 2.5 unités de la deuxième partie. Nous sommes maintenant en mesure de comparer les rapports comme le demande la question.

Une autre méthode pour comparer les rapports consiste à considérer la première partie comme une fraction de l’ensemble. Dans notre rapport quatre à dix, la première partie quatre est quatre sur 14 parties au total. De la même manière, la première partie du deuxième rapport, six à 18, représente six parties sur 24 au total. Ces deux fractions peuvent être simplifiées en divisant le numérateur et le dénominateur par deux et six, respectivement.

Nous avons toujours un problème lorsque nous essayons de comparer deux septièmes et un quart. Le plus simple serait de trouver le plus petit multiple commun de quatre et de sept. Il s’agit de 28. Deux-septièmes équivalent à huit vingt-huitièmes, alors qu’un quart équivaut à sept vingt-huitièmes. Comme les dénominateurs sont maintenant égaux, nous pouvons comparer les fractions en examinant les numérateurs. Alors que la deuxième méthode est parfois utile, mais pour la majorité de cette vidéo, nous allons comparer les rapports en utilisant des rapports ou des taux unitaires.

Scarlett utilise deux cuillères à soupe de sucre pour trois verres de limonade, tandis que Natalie utilise trois cuillères à soupe de sucre pour six verres de limonade. Qui fait une limonade plus sucrée ?

Nous pouvons commencer cette question en écrivant un rapport sucre/limonade pour les deux filles. Scarlett a utilisé deux cuillères pour trois verres de limonade. Son rapport est donc de deux à trois. Natalie a utilisé trois cuillères de sucre pour six verres de limonade. Donc, son rapport est de trois à six. Une façon de comparer deux ou plusieurs rapports est de les écrire sous la forme un à 𝑛. C’est ce qu’on appelle le rapport unitaire. Pour trouver un rapport équivalent, nous devons diviser ou multiplier les deux côtés par la même valeur. Deux divisé par deux égale un. Et trois divisé par deux égale 1.5. Cela signifie que, pour chaque cuillère de sucre que Scarlett utilise, elle remplira 1.5 verre de limonade.

En répétant ce processus pour Natalie, nous divisons les deux côtés de son rapport par trois. Le rapport trois à six simplifie en un à deux. Cela signifie que, pour chaque cuillère de sucre que Natalie utilise, elle peut remplir deux verres de limonade. On nous demande de trouver qui fait une limonade plus sucrée. Ce sera la personne qui a le moins de verres par cuillère de sucre. Comme Scarlett ne peut remplir qu’un verre et demi de limonade pour une cuillère de sucre, alors c’est elle qui fait la limonade la plus sucrée.

Si nous avions remarqué que Natalie avait à l’origine deux fois plus de verres que Scarlett, nous aurions pu utiliser une autre méthode pour cette question. En multipliant par deux les deux côtés du rapport de Scarlett, nous obtenons un nouveau rapport, de quatre à six. Comme Scarlett utilisait quatre cuillères de sucre pour six verres de limonade alors que Natalie n’en utilisait que trois, une fois de plus, nous avons prouvé que Scarlett faisait la limonade la plus sucrée.

Michael veut s’inscrire à la compétition sportive de son école. Pour être accepté, il doit être capable de courir 400 mètres en une minute. Michael a mis 20 secondes pour courir 100 mètres. S’il pouvait courir au même rythme, serait-il qualifié pour y participer ?

Dans la question, on nous dit que Michael doit pouvoir courir 400 mètres en une minute. Si nous écrivons cela comme un rapport entre le temps en minutes et la distance en mètres, ce serait un pour 400. On nous dit aussi que Michael peut courir 100 mètres en 20 secondes. Il y a 60 secondes en une minute. Et 20 multiplié par trois est égal à 60. En multipliant 100 par trois, on obtient 300. Donc, si Michael court au même rythme, il parcourra 300 mètres en 60 secondes. Ce rapport entre le temps en minutes et la distance en mètres est de un à 300.

Comme Michael devait couvrir une distance de 400 mètres en une minute, la bonne réponse est non. Il ne serait pas qualifié pour participer. Le fait d’écrire un rapport sous cette forme, un pour 𝑛, est connu sous le nom de rapport ou taux unitaire. Pour chaque unité, ou minute dans ce cas, de temps, nous pouvons voir la distance en mètres que Michael a parcourue.

Dans la question suivante que nous allons voir, nous allons envisager des taux unitaires afin de comparer trois rapports différents.

Mason, Liam et James font du vélo. Mason peut parcourir deux miles en 20 minutes, Liam peut parcourir trois miles en 25 minutes et James peut parcourir six miles en 66 minutes. Qui fait du vélo le plus rapidement ?

Afin de comparer les trois vitesses, nous allons écrire le rapport entre la distance en miles et le temps en minutes. Pour Mason, il s’agit d’un rapport de deux à 20. Pour Liam, le rapport est de trois à 25. Et enfin, pour James, le rapport est de six à 66. Pour comparer les trois rapports, nous devons calculer le taux unitaire ou le rapport unitaire. Cela s’écrit sous la forme un à 𝑛. Dans cette question, cela permettra de calculer le temps qu’il faudrait à chaque garçon pour parcourir à vélo une distance d’un mile. Pour simplifier ou trouver des rapports équivalents, nous devons multiplier ou diviser les deux côtés par le même nombre. Pour Mason, nous devons diviser les deux côtés par deux. Cela signifie que le rapport de deux à 20 équivaut à un à 10. Il faut 10 minutes à Mason pour parcourir un mile à vélo.

Pour que le côté gauche du rapport de Liam soit égal à un, nous devons diviser les deux côtés par trois. 25 divisé par trois est égal à huit et un tiers ou 8.3 récurrent, écrit avec un point ou une barre au-dessus du trois. Il faut à Liam huit et un tiers minutes pour parcourir un mile à vélo. En divisant les deux côtés du rapport de James par six, on obtient le nouveau rapport de un à 11. Il faut 11 minutes à James pour parcourir un mile à vélo. Comme les trois rapports sont maintenant écrits comme taux unitaire, nous pouvons les comparer. La personne qui pédale le plus vite est celle qui met le moins de temps à parcourir un mile. Dans cette question, c’est Liam.

La question suivante consiste à comparer les rapports à l’aide de tableaux.

Utilisez le tableau pour déterminer quels coureurs ont couru au même rythme.

Pour répondre à cette question, nous allons envisager pour chaque coureur le rapport de son temps en heures par rapport à la distance en miles. Pour Liam, ce rapport est de deux à dix. Il a couru 10 miles en deux heures. Pour James, le rapport est de trois à 18, puisqu’il a couru 18 miles en trois heures. Les rapports correspondants pour David et Michael sont respectivement de quatre à 20 et de trois à 12. Pour comparer deux ou plusieurs rapports, nous devons les écrire sous la forme un à 𝑛. Il s’agit du taux unitaire ou du rapport unitaire. Dans cette question, il s’agira de la distance que chaque coureur a parcourue en une heure.

Pour Liam, nous allons diviser les deux côtés du rapport par deux. Cela signifie que Liam a couru une distance de cinq miles par heure. Nous divisons les deux parties du rapport de James par trois. Cela nous donne un rapport de un à six. Donc, James a couru six miles en une heure. En répétant cela pour David et Michael, on obtient que David a couru cinq miles par heure et Michael quatre miles par heure. On nous a demandé d’identifier les coureurs qui ont couru au même rythme. Comme Liam et David avaient tous deux le même rapport unitaire de un à cinq, nous pouvons conclure qu’ils couraient au même rythme.

Notre dernière question porte sur l’utilisation d’une calculatrice pour calculer la densité afin de comparer les populations.

Daniel et Charlotte s’intéressent tous deux au jardinage et sont préoccupés par le nombre de limaces qu’ils ne cessent de trouver dans leurs potagers respectifs. Ils veulent comparer le nombre de limaces dans chacun de leurs jardins. Mais en raison des différences de taille de leurs potagers, ils décident de comparer le nombre de limaces par pied carré. Le potager de Daniel est un rectangle de cinq pieds par trois pieds. Et celui de Charlotte est un potager circulaire d’un rayon de trois pieds. Un samedi matin, Daniel compte 21 limaces dans tout son potager et Charlotte en compte 36. Cette question comporte trois parties. Déterminer la densité des limaces dans le potager de Daniel. Déterminer la densité des limaces dans le potager de Charlotte. Qui a le problème de limaces le plus grave ?

On nous dit que le potager de Daniel est rectangulaire et mesure cinq pieds par trois pieds, alors que celui de Charlotte est circulaire et a un rayon de trois pieds. Il y avait 21 limaces dans le potager de Daniel et 36 dans celui de Charlotte. Nous allons maintenant faire un peu de place pour calculer le nombre de limaces qu’ils avaient par pied carré. Examinons d’abord le potager de Daniel. Son potager est rectangulaire, avec des dimensions de cinq pieds et trois pieds, et il a trouvé 21 limaces dans son potager. Nous pouvons calculer l’aire de n’importe quel rectangle en multipliant la longueur par la largeur. Dans ce cas, nous devons multiplier cinq par trois. Cela équivaut à 15. Ainsi, le potager de Daniel a une aire de 15 pieds carrés.

Pour calculer la densité par pied carré, nous pouvons, tout d’abord, écrire le rapport entre l’aire et le nombre de limaces. Cela est 15 à 21. Pour calculer la densité des limaces dans le potager de Daniel, nous devons calculer le rapport unitaire, c’est-à-dire le nombre de limaces par pied carré. Cela s’écrit sous la forme un à 𝑛. Nous divisons les deux côtés du rapport par 15, ce qui nous donne le rapport de un à 1.4. La densité des limaces dans le potager de Daniel est donc de 1.4 limace par pied carré.

Nous pouvons maintenant répéter ce processus pour Charlotte. Le potager de Charlotte est circulaire et a un rapport [rayon] de trois pieds. Elle a trouvé 36 limaces dans son potager. L’aire de n’importe quel cercle peut être calculée en multipliant 𝜋 par le rayon au carré. Dans cette question, c’est 𝜋 fois trois au carré. Cela équivaut à 28.2743 et ainsi de suite. Cela signifie que l’aire du potager de Charlotte est de 28.27 pieds carrés. Pour les besoins de cette question, nous garderons cette aire comme neuf 𝜋. Le rapport entre la surface et les limaces pour Charlotte est donc de neuf 𝜋 à 36. Pour trouver le rapport unitaire ou la densité, nous pouvons diviser les deux côtés par neuf 𝜋. 36 divisé par neuf 𝜋 est 1.273 et ainsi de suite. En arrondissant à une décimale près, on obtient 1.3 limace par pied carré.

Les trois bonnes réponses sont 1.4 ; 1.3 et Daniel. Comme 1.4 est supérieur à 1.3, donc c’est Daniel qui a le problème de limaces le plus grave.

Nous allons terminer cette vidéo en résumant les points clés. Afin de comparer deux ou plusieurs rapports, nous devons calculer le taux unitaire ou le rapport unitaire. Ceci est écrit sous la forme un à 𝑛. Pour simplifier un rapport ou trouver un rapport équivalent, nous devons multiplier ou diviser toutes les parties du rapport par le même nombre. Par exemple, le rapport quatre à 12 peut s’écrire sous la forme d’un rapport unitaire en divisant les deux parties par quatre. Le rapport quatre à 12 est équivalent au rapport unitaire un à trois. Pour chaque unité de la première partie, nous avons trois unités de la deuxième partie.