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Vidéo de question : Faire correspondre l’équation d’une fonction rationnelle à partir de sa représentation graphique Mathématiques

Laquelle des courbes suivantes représente 𝑓(𝑥) = 1/(𝑥 + 1)? [A] Figure (a) [B] Figure (b) [C] Figure (c) [D] Figure (d)

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Transcription de vidéo

Laquelle des courbes suivantes représente 𝑓 de 𝑥 égal à un sur 𝑥 plus un?

Nous avons le choix entre quatre options. Pensons à quoi devrait ressembler la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥 et éliminons celles considérées comme incorrectes.

Tout d’abord, réfléchissons à la position des asymptotes verticales de la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥. J’ai marqué les asymptotes verticales de chacune des quatre options. Une fonction rationnelle a une asymptote verticale dont son dénominateur a un zéro. Le dénominateur de notre fonction rationnelle est 𝑥 plus un. Et donc le graphique de cette fonction aura une asymptote verticale lorsque 𝑥 plus un est égal à zéro, en d’autres termes lorsque 𝑥 est égal à moins un.

Passons en revue nos options à tour de rôle et vérifions qu’elles ont une asymptote verticale au bon endroit. Nous pouvons voir que l’option [A] a une asymptote verticale lorsque 𝑥 est égal à zéro, mais aucune asymptote verticale lorsque 𝑥 est égal à moins un. Cela ne peut pas être le graphique de notre fonction. Que diriez-vous de l’option [B]? Ce graphique a une asymptote verticale lorsque 𝑥 est égal à un. Encore une fois, ce n’est pas ce que nous recherchons. L’option [C] a une asymptote verticale au bon endroit à 𝑥 égal à moins un. Cette option est toujours une possibilité. Comme l’option [D], qui a également une asymptote verticale à 𝑥 égal à moins un. Ces deux graphiques ont une asymptote horizontale à 𝑦 égal à zéro.

En regardant la définition de 𝑓 de 𝑥, cela a du sens. Lorsque 𝑥 tend vers l’infini quand 𝑥 devient de plus en plus grand, 𝑓 de 𝑥 qui est un sur 𝑥 plus un se rapproche de plus en plus de zéro. De même, lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini quand 𝑥 passe moins 1000, moins 10000, moins 1000000, etc., 𝑓 de 𝑥 qui est un sur 𝑥 plus un se rapproche de plus en plus de zéro. Alors, comment allons-nous choisir entre ces deux graphiques? Pour le graphique [C], 𝑓 de 𝑥 est négative à gauche de l’asymptote verticale et positive à droite de celle-ci. Par exemple, à partir de ce graphique, il semble que 𝑓 de moins deux est égale à moins un. C’est négatif. Et 𝑓 de zéro égale un.

Pour l’option [D], le contraire est vrai. À gauche de l’asymptote verticale, la fonction semble positive. Et à droite, elle semble être négative. Par exemple, elle montre que 𝑓 de moins deux qui est à gauche de l’asymptote verticale est positive et égale à un, et 𝑓 de zéro qui est à droite de l’asymptote verticale est négative et égale à moins un.

Donc, pour décider entre les deux options qui nous restent, nous devons penser à ce qui se passe à gauche de l’asymptote verticale lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins un. Et que se passe-t-il à droite de l’asymptote verticale lorsque 𝑥 est strictement supérieur à moins un? Vous pouvez prouver que lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 qui est un sur 𝑥 plus un devrait être strictement inférieur à zéro. Et lorsque 𝑥 est strictement supérieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 qui est un sur 𝑥 plus un devrait être strictement supérieur à zéro. Cependant, il existe un moyen plus facile. Nous pouvons simplement trouver 𝑓 de zéro.

Pour l’option [C], il semble que 𝑓 de zéro égale environ un. Peut-être que nous ne savons pas exactement ce que vaut 𝑓 de zéro sur le graphique, mais nous savons qu’elle est positive au moins, alors que pour l’option [D], il semble que 𝑓 de zéro est négative. Nous calculons 𝑓 de zéro en utilisant la définition de la fonction dans la question. En substituant 𝑥 à zéro, nous obtenons un sur zéro plus un. Et c’est bien sûr un. En se basant sur ce fait, nous pouvons éliminer l’option [D] où 𝑓 de zéro semble être moins un et nous allons sélectionner l’option [C] comme réponse correcte.

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