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Vidéo de question : Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant la dérivation logarithmique Mathématiques

Déterminez d𝑦 / d𝑥, sachant que 𝑦 = (8 sin 4𝑥) ^ (2𝑥).

07:03

Transcription de vidéo

Déterminez d𝑦 sur d𝑥, sachant que 𝑦 égale huit fois sinus quatre 𝑥 le tout à la puissance deux 𝑥.

On nous demande de trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Seulement, en regardant notre fonction 𝑦, nous avons un exposant deux 𝑥, qui est une expression en 𝑥. Cela veut dire que nous ne pouvons pas appliquer directement les règles de dérivation habituelles, les règles du produit, du quotient ou de la chaîne. En revanche, nous pouvons utiliser la dérivation logarithmique. Il s'agit d'un processus en quatre étapes pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, où la première étape consiste à appliquer le logarithme népérien aux deux côtés, en rappelant que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒 où 𝑒 est le nombre d'Euler, qui vaut approximativement 2,71828 etc.

Dans notre cas, nous avons 𝑦 égale à huit fois sinus quatre 𝑥 le tout à la puissance deux 𝑥, nous prenons donc le logarithme népérien des deux côtés. À ce moment, nous devons préciser que 𝑦 doit être supérieure à zéro. Ceci est dû au fait que le logarithme de zéro est indéfini et que le logarithme n'existe pas pour les valeurs négatives. Si nous voulons inclure les valeurs négatives, nous devons inclure aussi les signes de valeur absolue autour de 𝑦 et 𝑓 de 𝑥 et, dans ce cas, préciser que 𝑦 est non nulle. Cependant, dans notre cas, nous devons simplement spécifier que 𝑦 est supérieure à zéro.

Notre deuxième étape de la dérivation logarithmique consiste à voir comment les logarithmes peuvent nous aider. Nous utilisons les lois des logarithmes pour développer ou simplifier notre membre de droite. Puisque dans notre argument pour le logarithme du côté droit nous avons un exposant, nous allons utiliser la règle de la puissance pour les logarithmes. Elle dit que le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 puissance 𝑐 vaut 𝑐 fois logarithme de base 𝑎 de 𝑏. Autrement dit, nous ramenons l'exposant 𝑐 devant le logarithme et nous le multiplions par celui-ci. Ainsi, cela se traduit par le fait que le logarithme népérien de 𝑦 est deux 𝑥 fois le logarithme népérien de huit sinus quatre 𝑥. Nous voyons maintenant que sur notre côté droit, nous avons le produit de deux expressions en 𝑥.

Cela nous amène à la troisième étape de la dérivation logarithmique, qui consiste à dériver les deux côtés par rapport à 𝑥. Puisque nous avons un produit sur notre côté droit, nous pouvons utiliser la règle du produit pour la dérivation. Cela dit que si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables de 𝑥, d sur d𝑥 de 𝑢𝑣, est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Maintenant, si nous considérons que 𝑢 est égal à deux 𝑥 et que 𝑣 est le logarithme népérien de huit fois sinus de quatre 𝑥, alors, pour utiliser la règle du produit, nous devons trouver d𝑣 sur d𝑥 et d𝑢 sur d𝑥. d𝑢 sur d𝑥 donne deux. Pour dériver 𝑣, nous pouvons nous servir du résultat que d sur d𝑥 du logarithme népérien d'une fonction différentiable 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑓 de 𝑥 fois d𝑓 sur d𝑥.

Ainsi, d𝑣 sur d𝑥 est un sur huit sinus quatre 𝑥 fois d sur d𝑥 de huit sinus quatre 𝑥. Pour dériver huit sinus quatre 𝑥, nous utilisons le fait que d sur d𝑥 de sinus 𝑢, où 𝑢 est une fonction différentiable de 𝑥, est d𝑢 sur d𝑥 fois cosinus 𝑢 de sorte que d𝑣 sur d𝑥 est un sur huit fois sinus quatre 𝑥 le tout fois quatre fois huit cosinus quatre 𝑥. Nous avons un facteur commun de huit sur le dénominateur et le numérateur qui se simplifie, donc d𝑣 sur d𝑥 est quatre cosinus quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥. Nous avons donc 𝑢 donne deux 𝑥, d𝑢 sur d𝑥 donne deux, 𝑣 est le logarithme népérien de huit sinus quatre 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 donne quatre cosinus quatre 𝑥 sur sinus quatre 𝑥.

Pour simplifier encore plus, puisque cosinus sur sinus donne cotangente, nous pouvons dire que d𝑣 sur d𝑥 est quatre fois cotangente quatre 𝑥. En appliquant maintenant la règle du produit de la dérivation à notre côté droit, nous obtenons deux 𝑥, soit 𝑢, fois quatre fois cotangente quatre 𝑥, soit d𝑣 sur d𝑥, plus le logarithme népérien de huit sinus quatre 𝑥, soit 𝑣, fois deux, soit d𝑢 sur d𝑥. Maintenant, en faisant de la place, nous pouvons réécrire ceci et le réorganiser. Nous avons d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑦 est égal à deux fois le logarithme népérien de huit sinus quatre 𝑥 plus huit 𝑥 fois la cotangente de quatre 𝑥.

Notre troisième étape n'est pas tout à fait terminée puisque nous devons encore dériver le logarithme népérien de 𝑦. Encore une fois, nous pouvons utiliser notre résultat connu que d sur d𝑥 du logarithme népérien d'une fonction 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑓 de 𝑥 fois d𝑓 sur d𝑥. Puisque notre 𝑦 est bien une fonction de 𝑥, notre membre de gauche est simplement un sur 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. Cela nous amène à la dernière étape de la dérivation logarithmique, qui consiste à calculer d𝑦 sur d𝑥.

Il suffit pour cela de multiplier les deux membres par 𝑦, de sorte que du côté gauche, nous simplifions par 𝑦 et nous obtenons d𝑦 sur d𝑥. Sur le côté droit, il est possible de réintroduire notre fonction 𝑦 afin de multiplier par huit sinus quatre 𝑥 puissance deux 𝑥 et de faire sortir un facteur commun de deux. En appliquant la dérivation logarithmique pour dériver la fonction 𝑦 égale huit sinus quatre 𝑥 puissance deux 𝑥, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égale deux fois huit sinus quatre 𝑥 puissance deux 𝑥 fois le logarithme népérien de huit sinus quatre 𝑥 plus quatre 𝑥 fois cotangente quatre 𝑥.

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