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Vidéo de question : Déterminer des fonctions objectifs pour minimiser les coûts à partir d’un graphique représentant les contraintes Mathématiques

Un confiseur vend le sachet de guimauves à 5 LE et le sachet de bonbons gélifiés à 6 LE. Un enfant veut acheter les deux types de bonbons et a des restrictions sur la quantité qu’il peut acheter qui sont représentées sur la figure, où 𝑥 représente le nombre de sachets de guimauves, et 𝑦 celui de sachets de bonbons gélifiés. Quel est le prix le plus bas possible dans cette situation ?

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Transcription de vidéo

Un confiseur vend le sachet de guimauves à 5 LE et le sachet de bonbons gélifiés à 6 LE. Un enfant veut acheter les deux types de bonbons et a des restrictions sur la quantité qu’il peut acheter qui sont représentées sur la figure, où 𝑥 représente le nombre de sachets de guimauves, et 𝑦 celui de sachets de bonbons gélifiés. Quel est le prix le plus bas possible dans cette situation ?

Ceci est un exemple de problème d’optimisation linéaire. On nous donne des restrictions ou des contraintes sur la quantité de chaque bonbon. Ces contraintes peuvent aussi s’écrire comme des inégalités. Cela nous donne un ensemble admissible, comme indiqué sur la figure. La solution optimale, dans ce cas le prix le plus bas, se trouve au niveau de l’un des sommets de cet ensemble admissible.

Commençons par déterminer les équations correspondantes aux trois droites sur le graphique. La droite verticale coupe l’axe des 𝑥 en quatre. Cette droite a donc pour équation 𝑥 égal quatre. Puisque la zone colorée est situé à gauche de cette droite et que la droite est continue, cela correspond à l’inégalité 𝑥 inférieure ou égale à quatre. La droite horizontale coupe l’axe des 𝑦 en trois. L’équation est donc 𝑦 égal trois. La zone colorée se trouve en dessous. Puisque la droite est continue, l’inégalité ici est 𝑦 inférieur ou égal à trois.

Enfin, nous avons une droite avec une pente négative. Elle coupe l’axe des 𝑥 et celui des 𝑦 en six. La somme des coordonnées 𝑥 et 𝑦 de chaque point sur cette droite donne six. L’équation de la droite est 𝑥 plus 𝑦 égal six. Il s’agit encore d’une fois une ligne continue. Seulement cette fois, la zone colorée est située au-dessus de la droite, ce qui nous donne l’inégalité 𝑥 plus 𝑦 supérieur ou égale à six. Ce sont les trois contraintes liées au nombre de sacs de bonbons que l’enfant peut acheter. Il peut acheter au plus quatre sacs de guimauves, au plus trois sacs de bonbons gélifiés et il doit acheter six sacs de bonbons ou plus.

La prochaine étape consiste à déterminer la fonction objectif en fonction des variables 𝑥 et 𝑦. On nous dit qu’un sac de guimauves coûte cinq LE. Le coût total des guimauves sera donc égal à cinq 𝑥. Un sac de bonbons au cola coûte six LE. Le coût total des bonbons au cola est donc égal à six 𝑦. Cela nous donne un coût global 𝐶 égal à cinq 𝑥 plus six 𝑦.

Comme déjà mentionné, les valeurs maximale et minimale correspondant à l’un des sommets de l’ensemble admissible. Dans cette question, les sommets ont pour coordonnées trois, trois ; quatre, deux et quatre, trois. Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans l’expression du coût pour calculer le prix le plus bas possible. Au point trois, trois, le coût est égal à cinq multiplié par trois plus six multiplié par trois. Cela fait 15 plus 18, ce qui correspond à 33 LE. Au point quatre, deux, nous avons 𝐶 égal à cinq multiplié par quatre plus six multiplié par deux. Cela fait 20 plus 12, ce qui équivaut à 32 LE. Acheter quatre sacs de guimauves et deux sacs de bonbons au cola coûte 32 LE.

Il est évident qu’en remplaçant 𝑥 par quatre et 𝑦 par trois, nous allons obtenir une valeur supérieure à cela, car nous achetons toujours quatre sacs de guimauves mais cette fois trois sacs de bonbons gélifiés. Pour être exhaustif, nous obtenons 38 LE, soit six livres de plus que la valeur précédente. On nous demande de déterminer le prix le plus bas possible. Le prix le plus bas selon les contraintes données par le graphique est de 32 LE. Cela correspond à 𝑥 égale quatre et 𝑦 égale deux, ce qui signifie que 𝑥 plus 𝑦 est égal à six. L’enfant achète quatre sacs de guimauves et deux sacs de bonbons au cola, soit six sacs au total.

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