Transcription de la vidéo
Considérez les matrice 𝐴 est la matrice zéro, un, 𝐵 est la matrice moins quatre, un, moins six, six, 𝐶 est la matrice cinq, trois. Déterminez 𝐴𝐶𝐵 et 𝐵𝐴𝐶 si possible.
Dans ce problème, nous abordons le produit matriciel. Tout d’abord, nous devons nous rappeler du fonctionnement du produit matriciel. Si nous multiplions lds matrices ensemble, le nombre de colonnes dans la première matrice doit être égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Bien, si nous regardons nos trois matrices, la matrice 𝐴 est une matrice deux par un. Cela signifie que nous avons deux lignes et une colonne. La matrice 𝐵 est une matrice deux deux. La matrice 𝐶 est une matrice un par deux.
Tout d’abord, nous allons commencer par regarder 𝐴𝐶𝐵 et voir si cette multiplication est réellement possible. Bien, si nous commençons par multiplier 𝐴 et 𝐶, alors nous voyons que cela fonctionnerait parce que nous pouvons voir que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 est un et que le nombre de lignes dans la matrice 𝐶 est également un. Nous pouvons également voir que si nous faisions 𝐶𝐵 en premier, cela fonctionnerait également. En effet, le nombre de colonnes dans la matrice 𝐶 est de deux et le nombre de lignes dans la matrice 𝐵 est également de deux. Nous pouvons donc voir que nous aurions pu multiplier l’une de ces combinaisons en premier. Nous allons commencer par la matrice 𝐴 multipliée par la matrice 𝐶.
Ainsi, si nous considérons 𝐴𝐶, cela va donner la matrice zéro, un multiplié par la matrice cinq, trois. Nous savons que la multiplication d’une matrice deux par un par une matrice un par deux donne une matrice de résultats qui va être une matrice deux deux parce que nous allons avoir le nombre de lignes de la première matrice et le nombre de colonnes de la deuxième matrice. Maintenant, pour former le premier élément de notre matrice de réponses, nous multiplions les éléments correspondants de la première ligne et de la première colonne de nos premières et deuxième matrices, respectivement. Ainsi, nous allons avoir zéro multiplié par cinq. De même, pour notre prochain élément, nous allons avoir zéro multiplié par trois. En effet, nous utilisons encore notre première ligne, mais maintenant nous examinons la deuxième colonne de notre deuxième matrice.
Alors, si nous regardons le premier élément de la deuxième ligne de la première matrice et que nous le multiplions par le premier élément de la première colonne de la deuxième matrice, alors nous allons avoir un multiplié par cinq. Puis, notre dernier élément est trouvé en multipliant un et trois. Cela nous donne donc une matrice de réponse qui est une matrice deux deux égale à zéro, zéro, cinq, trois, notée 𝐴𝐶.
D’accord, maintenant nous devons, pour trouver 𝐴𝐶𝐵, multiplier cela par 𝐵. Ainsi, nous allons avoir la matrice zéro, zéro, cinq, trois multipliée par la matrice moins quatre, un, moins six, six. Puisque nous multiplions une matrice deux deux par une matrice deux deux, la matrice de réponse sera également une matrice deux deux. Ainsi, afin de travailler sur les différents éléments de notre matrice de réponses, nous allons multiplier les éléments de la première ligne de la première matrice par les éléments correspondants dans la première colonne de la deuxième matrice, puis nous les ajouterons ensemble. Nous avons donc zéro multiplié par moins quatre plus zéro multiplié par moins six.
Puis, nous répétons cela pour l’élément suivant, mais cette fois en multipliant les éléments de la première ligne de la première matrice par la deuxième colonne de la deuxième matrice, puis en les additionnant ensemble. Nous avons donc zéro multiplié par un plus zéro multiplié par six. Puis, en suivant ce modèle, nous aurons cinq multiplié par moins quatre plus trois multiplié par moins six pour l’élément suivant, puis, enfin, cinq multiplié par un plus trois multiplié par six pour l’élément final. Si nous calculons chacun de ces éléments, nous aurons la matrice de réponse zéro, zéro, moins 38, 23. Cela donne la matrice de 𝐴𝐶𝐵.
Bien, maintenant, passons à la partie suivante du problème où nous allons essayer de trouver 𝐵𝐴𝐶. Maintenant, pour 𝐵𝐴𝐶, vérifions à nouveau si nous pouvons faire 𝐵𝐴 pour commencer : nous sommes en mesure de calculer 𝐵𝐴 parce que le nombre de colonnes dans la première matrice 𝐵 est deux et le nombre de lignes dans la deuxième matrice 𝐴 est aussi deux. Nous allons donc pouvoir les multiplier ensemble. De même, si nous voulions multiplier 𝐴 et 𝐶 d’abord, nous pourrions également le faire parce que le nombre de colonnes dans la première matrice 𝐴 est un et le nombre de lignes dans la deuxième matrice 𝐶 est également un.
À ce stade, il convient de montrer un exemple où nous ne pourrions pas trouver la multiplication. Ce serait le cas si nous voulions calculer 𝐴𝐵 parce que, si nous regardons 𝐴𝐵, 𝐴 a une colonne, alors que la matrice 𝐵 a deux lignes. Par conséquent, avec ces valeurs différentes, nous ne pourrions donc pas faire le produit 𝐴𝐵. Très bien. Maintenant, nous avons vu ce que nous pouvons et ne pouvons pas multiplier lorsque nous regardons 𝐵𝐴𝐶. Nous allons faire regarder 𝐵𝐴 en premier.
Maintenant, lorsque nous multiplions la matrice 𝐵 par la matrice 𝐴, nous allons avoir la matrice moins quatre, un, moins six, six multiplié par la matrice zéro, un. Cette fois, puisque nous allons avoir une matrice deux deux multipliée par une matrice deux par un, notre matrice de réponse va aussi être deux par un parce que cela correspond au nombre de lignes dans la première matrice par le nombre de colonnes dans la deuxième matrice.
Ainsi, pour trouver nos valeurs, nous allons faire multiplier à nouveau nos valeurs correspondantes à partir de la première ligne de la première matrice par la première colonne de la deuxième matrice, puis passer à la deuxième ligne de la première matrice fois la première ligne dans la deuxième matrice, qui est en fait la seule ligne dans la deuxième matrice. Nous allons donc avoir moins quatre multiplié par zéro plus un multiplié par un, puis moins six multiplié par zéro plus six multiplié par un, ce qui va nous donner la matrice de réponse pour 𝐵𝐴 de un, six. Très bien. Maintenant, la dernière étape consiste à multiplier 𝐵𝐴 par la matrice 𝐶 pour nous donner 𝐵𝐴𝐶.
Pour ce faire, nous allons multiplier la matrice un, six par la matrice cinq, trois. Nous avons ici une matrice deux un multipliée par une matrice un deux. Ainsi, la matrice de réponse va être une matrice deux deux puisque cela correspond au nombre de lignes de la première matrice par le nombre de colonnes dans la deuxième matrice.
Ainsi, lorsque nous effectuons le produit, nous allons obtenir un multiplié par cinq pour notre premier élément, puis un multiplié par trois, six multiplié par cinq et six multiplié par trois, ce qui va nous donner la matrice de réponse cinq, trois, 30, 18. Nous pouvons donc dire que 𝐴𝐶𝐵 et 𝐵𝐴𝐶 sont possibles et que 𝐴𝐶𝐵 est la matrice zéro, zéro, moins 38, 23 et que 𝐵𝐴𝐶 est la matrice cinq, trois, 30, 18.
