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Vidéo de question : Calcul d’une longueur par utilisation du théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes Mathématiques

Un cercle a deux cordes, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷, se coupant en 𝐸. Sachant que 𝐴𝐸:𝐵𝐸 = 1:3 et 𝐶𝐸 = 6 cm, déterminez la longueur de 𝐷𝐸.

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Transcription de vidéo

Un cercle a deux cordes, les segments 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷, qui se coupent en 𝐸. Sachant que le ratio 𝐴𝐸 sur 𝐵𝐸 est égal à un sur trois et que 𝐶𝐸 mesure six centimètres, calculez la longueur de 𝐷𝐸.

Indiquons sur la figure les informations fournies. On sait que 𝐶𝐸 mesure six centimètres. On sait aussi que le ratio des longueurs des segments 𝐴𝐸 sur 𝐵𝐸 est égal à un sur trois. Les longueurs de ces deux segments peuvent donc être notées 𝑥 centimètres et trois 𝑥 centimètres pour 𝑥 non nul. On nous demande de calculer la longueur du segment 𝐷𝐸. Les informations fournies concernent les longueurs des segments de deux cordes différentes d’un cercle.

Rappelons un cas basique du théorème de la puissance d’un point, qui donne une relation entre les longueurs des segments de deux cordes différentes. Soit 𝐸 un point à l’intérieur d’un cercle 𝑀. Soient 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont des points du cercle tels que les segments 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 soient deux cordes sécantes en 𝐸 ; alors 𝐴𝐸 multiplié par 𝐶𝐸 est égal à 𝐵𝐸 multiplié par 𝐷𝐸. C’est exactement la configuration que nous avons ici. Nous connaissons la longueur de 𝐶𝐸. Il mesure six centimètres. Et nous avons les expressions des longueurs 𝐴𝐸 et 𝐵𝐸. Nous recherchons la longueur de 𝐷𝐸. Nous pouvons donc substituer les valeurs et expressions que nous connaissons et écrire une équation. 𝑥 multiplié par six est égal à trois 𝑥 multiplié par 𝐷𝐸.

Pour trouver la valeur de 𝐷𝐸, nous divisons les deux côtés de cette équation par trois 𝑥. Il est possible de le faire car, rappelez-vous, nous avons dit que 𝑥 était non nul. Nous avons six 𝑥 sur trois 𝑥 est égal à 𝐷𝐸. Encore une fois, comme 𝑥 est non nul, nous pouvons simplifier le 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Nous obtenons six sur trois égale 𝐷𝐸. Et bien sûr, six divisé par trois égale deux. Donc, en utilisant le théorème des cordes sécantes, qui est un cas particulier du théorème de la puissance d’un point, nous obtenons que 𝐷𝐸 mesure deux centimètres.

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