Transcription de la vidéo
Un rayon de lumière est réfléchi par un miroir, comme le montre le schéma. La longueur 𝐴𝐵 est égale à quatre centimètres, la longueur 𝐵𝐶 est égale à quatre centimètres et la longueur 𝐶𝐸 est égale à cinq centimètres. Quelle est la longueur 𝐷𝐸?
Donc, cette question concerne un rayon de lumière réfléchi par un miroir. En regardant le schéma, voici le rayon de lumière incident et voici le rayon réfléchi. D’ailleurs, ce rectangle gris est le miroir depuis lequel le rayon de lumière est réfléchi. Nous pouvons rappeler que lorsq’un rayon de lumière est réfléchi par une surface, ce phénomène obéit à une loi particulière de la physique. Cette loi est connue comme la loi de la réflexion, et elle dit ceci : Au point où le rayon incident rencontre la surface réfléchissante, nous pouvons tracer ce qu’on appelle la normale à la surface.
Dans le schéma de la question, la normale à la surface est cette ligne pointillée. La normale est une droite qui est perpendiculaire à la surface. C’est-à-dire qu’elle rencontre la surface à un angle de 90 degrés. L’angle entre le rayon lumineux incident et la normale à la surface est connu comme l’angle d’incidence et est souvent appelé 𝜃 𝑖. D’autre part, l’angle entre le rayon réfléchi et la même normale à la surface est connu comme l’angle de réflexion et est souvent appelé comme 𝜃 𝑟.
Eh bien, la loi de réflexion dit que l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion. Autrement dit, la loi dit que 𝜃 𝑖 est égal à 𝜃 𝑟. Si nous regardons à nouveau notre schéma, nous voyons que nous pouvons définir deux triangles. Le premier ici est dessiné en orange et le second en bleu. Ces deux triangles sont des triangles rectangles car l’un de ses angles est 90 degrés. Nous savons également que le triangle orange a un deuxième angle égal à 𝜃 𝑖 et le triangle bleu a un deuxième angle égal à 𝜃 𝑟.
Donc, à partir de notre loi de réflexion, nous savons que 𝜃 𝑖 est égal à 𝜃 𝑟. En plus, vu que ces deux angles sont égaux, nous les appellerons pareil c’est-à-dire 𝜃. Nous pouvons également déterminer le troisième angle pour chacun des triangles. Pour ce faire, nous devons nous rappeler que la somme des angles internes dans un triangle est égale à 180 degrés. Donc, pour le triangle orange, nous appellerons ce troisième angle 𝜙 un. Nous savons que la somme des angles internes de ce triangle doit être égale à 180 degrés. Donc, nous avons que 𝜃 plus 𝜙 un plus 90 degrés est égal à 180 degrés. En réarrangeant cette expression, nous obtenons que 𝜙 un est égal à 180 degrés moins 90 degrés moins 𝜃, que nous pouvons également écrire simplement comme 90 degrés moins 𝜃.
Ensuite, nous pouvons faire la même chose pour le triangle bleu. Dans ce cas, nous appellerons le troisième angle 𝜙 deux. Puisque la somme des trois angles internes de ce triangle donne 180 degrés, nous avons donc 𝜃 plus 𝜙 deux plus 90 degrés est égal à 180 degrés. Nous pouvons réorganiser et simplifier exactement de la même manière que pour le triangle orange. Et nous constatons que 𝜙 deux est égal à 90 degrés moins 𝜃. Ainsi, 𝜙 un est égal à 90 degrés moins 𝜃, et 𝜙 deux est également égal à 90 degrés moins 𝜃. Cela signifie que 𝜙 un doit être égal à 𝜙 deux.
Donc, pour les deux triangles de notre schéma, nous allons appeler ce troisième angle 𝜙. Et maintenant il devrait être clair que ces deux triangles sont des triangles semblables, puisque ils ont tous les deux les mêmes trois angles internes. Le rapport des côtés correspondants de
deux triangles semblables est le même. Les côtés correspondants sont des côtés qui ont les mêmes deux angles dans chaque triangle. Par exemple, dans notre schéma, le côté 𝐴𝐵 s’étend entre l’angle marqué 𝜙 et l’angle de 90 degrés dans le triangle orange. Le côté 𝐷𝐸 s’étend entre l’angle marqué 𝜙 et l’angle de 90 degrés dans le triangle bleu.
Par conséquent, les côtés 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sont des côtés correspondants. Nous pouvons indiquer que ces deux côtés sont des côtés correspondants en traçant une petite ligne sur chaque côté. De même, le côté 𝐵𝐶 dans le triangle orange correspond au côté 𝐶𝐸 dans le triangle bleu. En effet, chacun de ces côtés s’étend entre un angle marqué 𝜃 et un angle de 90 degrés. Indiquons que ces deux côtés sont des côtés correspondants avec deux petites lignes de chaque côté.
On nous dit dans la question que la longueur 𝐵𝐶 est égale à quatre centimètres et la longueur 𝐶𝐸 est égale à cinq centimètres. Le rapport entre ces deux côtés est donné par 𝐶𝐸 divisé par 𝐵𝐶. Et ce rapport est de cinq centimètres divisé par quatre centimètres, ce qui équivaut à un rapport de 1,2. Eh bien, du fait que nos deux triangles sont des triangles semblables, nous savons que les paires de côtés correspondantes doivent avoir le même rapport. Puisque les côtés 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sont également des côtés correspondants, nous savons que le rapport de 𝐷𝐸 divisé par 𝐴𝐵 doit également être égal à 1,2. En prenant cette équation et en multipliant les deux côtés par la longueur 𝐴𝐵, nous avons la longueur 𝐷𝐸 égale à 1,2 fois la longueur 𝐴𝐵.
On nous dit dans la question que la longueur 𝐴𝐵 est égale à quatre centimètres. Et donc, nous pouvons remplacer 𝐴𝐵 par cette valeur dans cette équation. Cela nous donne que 𝐷𝐸 est égal à 1,2 fois quatre centimètres. Le calcul de ce côté droit donne un résultat de cinq centimètres.
Et donc, pour répondre à la question, « quelle est la longueur de 𝐷𝐸? » nous concluons que 𝐷𝐸 est égal à cinq centimètres.
